1、蚂蚁怎样走最近有这样一个有趣的问题：如图 1 所示，有一个圆柱，它的高等于 12cm，底面半径等于3cm。在圆柱的下底面的 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 相对的 B 点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？（ 的值取 3）图 1这个问题最终的解决，是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形（如图2 所示），从而把曲面上的路线问题转化为平面上 A、B 两点间的路线问题。像这种，将空间问题转化为平面问题的方法，对发展我们的空间观念是很有好处的。图 2上面我们是规定蚂蚁必须沿圆柱的侧面从 A 到 B，那么无论圆柱的形状如何，上述的走法路线一定是最短的。但是，如果问题没有规定
2、，结论就不一定了。例如：我们把圆柱的形状加以改变：高是 7 厘米，底面半径为 8 厘米，此时从 A 到 B 的最短路线还是图 2 中的线段 AB 吗？我们可以很容易算得 AB245，但是，若从 A 沿着圆柱母线以上底面的C，再到 B，这时蚂蚁所走过的距离为 CB723。图 2 中的线段 AB 已经不是从 A 到 B 的最短路线了，为什么会这样呢？其实把圆柱展开，点 B 的对应点是不惟一的，如图 3 所示， B12， 都是圆柱上 B 点的对应点。所以在把圆柱中由 A 到 B 这样一个曲面路线问题转化为平面上的路线问题时，应考虑到 A，B 两点间的线段是不惟一的，A，B 间的最短路线问题，应通过比
3、较21，的长度进而作出判断。图 3看来，这个“最短路线”与圆柱的形状有关，也就是说，圆柱的高 h 与底面半径 r 的大小关系会影响最短路线的选择。下面我们作进一步的探讨：一般的，我们设圆柱的高为 h，底面半径为 r，则ABhrr2221224()如果我们取 3，则ABhrrhrABABrh2121 12 21 144554()， 故当 时 ， ， 此 时 最 短 路 线 为 ；当 时 ， ， 此 时 最 短 路 线 为 ；当 时 ， ， 此 时 最 短 路 线 为 或 。其实，在这个问题中，对于 AB2，大家不难想到，而对于 AB2 的考虑又能很好的巩固圆柱的表面展开图，发展大家的空间观念，更
4、能使得问题的考虑变得全面。下面我们把圆柱换成长方体，再来讨论“最短路线”的问题：例：如图 4 所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为 5，3，4。在点 A处有一只蚂蚁，它想吃到与点 A相对的 C 点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？图 4若把长方体的 6 个面分别称为上面、下面、前面、后面、左面、右面。显然，从 A到 C 的最短路线一定是从 A出发，经过长方体两个面到达 C。具体来说，它可能有“前上”、“前右”、“左上”、“左后”、“下右”、“下后”6 种不同的情况（当然，“下右”、“下后”2 种情况，在实际问题中不具有可行性）。在这 6 种情况中，共有 3 种长度结果：第一种结果：如图 5 所示， AC()1225347；（“前上”、“下后”）图 5第二种结果：如图 6 所示， AC()342235490；（“左上”、“下右”）图 6第三种结果：如图 7 所示， AC()52245380；（“前右”、“左后”）图 7综上，最短路程应为 74，路线如图 5 所示。对于这个问题我们还可以作进一步的推广，设题中的长方形长、宽、高分别为a，b，c，且 bc。则最短路程应为 abc22()，路线应为以长为折痕展开图中的线段 AC1或 2（即图 5 中的线段 AC1 或 AC2）。
