1、高等量子力学第二章习题1、已知角动量算符满足算符关系 ，试证： Ji(a)力学量算符 ， 构成体系转动性质的力学量完全集。2J3(b)若 ， 共同本征矢为|,相应的本征值分别为 和 ，试用角动量算符的厄米性23 2证明： 。2(c)利用量子力学的一般测不准关系： ，证明2|,|21BA2(提示：取 , )1JA2、此题讨论角动量算符的矩阵表示：角动量算符 ， 的共同本征基矢量由|j m给出，这样的 Hilbert 空间的基矢量满足正交2J3性条件: 描述物理体系转动部分的 Hilbert 空间可以分解为子空间|mjj的直和 )(jjRRH其中 是由相同 j 的基矢量|j m所张成的一个 2j+
2、1 维子空间,试求力学量算符 ， ,)(jRH2J3和 相对子空间 的矩阵表示，并将你所求的结果取 情况与熟知的结果1J2)(jR 12jj和比较之。3、自旋为 1 的两个粒子,总自旋为 ,应用 C.G 系数表达式的结果，求合成总自旋)()(IIS， 所有可能的共同本征态。要求将其表示成子系统自旋本征态乘积的叠加形式2Sz4、此题讨论有限转动变换的一些性质：（a）试证：绕 x 轴转动 角的有限转动可以通过先绕 z 轴转动 角，再绕 y 轴转动 角，最2后再绕 z 轴转动 这样的复合操作来完成。2（b）试求绕 x 轴转动 角在 ， 完全集表象的矩阵元 ( 应用 函数表之 )。J3 )(jd5、试
3、证明有限转动变换的 D 函数满足下述展开性质 )(| )()( 2121212121 jmjmjjjmjmj DC6、设总角动量 是由两个子系统角动量 和 合成的角动量，其合成角动)()(IIJ)(IJ)(I量 ， 的共同本征态矢为|j m, 求证：2J3(a) mjIJmjjImj 33 |)(|)(| (b) 1,|)(|1|)(| jIjjIJj(c) 当 时, 1|j 0|)(|jmIJj7、笛卡尔坐标系中四极矩张量 定义为：ijQijjiijrx23其分量形式为： xy3yzz zxQ3， ， 22zxQ22xy22yz它们满足无迹条件： 只有 5 个独立分量。由 此 知,0zxQi
4、j（a）试证明 适当线性叠加后，可构成二阶球张量 。 （提示：建立起 与球谐函数ij m2mQ2,m=2,1,0,-1,-2 的联系, 球谐函数的表达式为：mY2 ,)(1822iyxrY。,)(8152,2rziyx )(16520,2zr（b）通常以四极矩动量的期望值 作为实验测量参量，jmjjeQz ,|)3|,2试应用(a)中的结果计算下述矩阵元，jyxjme|)(|2最后的结果应为 和 C.G 系数的表达式。z8、本题目的为进一步了解球谐函数与 D 函数的关系，作为转动变换不可约张量算符的一些重要性质：已知球谐函数与 D 函数的关系为 ),(124),() lmlmYloo(a) 试
5、证明球谐函数满足下述乘积展开规则： ),()12(4),(),( 2122121 01 mll llmmll ClY (b) 利用球谐函数为无自旋系统轨道角动量在坐标系表象中的波函数，其满足正交归一化条件：其中 为立体角的积分元，试求：),(),( mlmllmd d?),(),(),(213 mlmlml YYd（c）球谐函数 为转动变换下 秩不可约张量,利用(a) 和 (b)的结果，求在 共同本征表lm 32J和象中的矩阵元 ,并利用 Winger-Eckart 定理求出约化矩阵元 的表lLM| lYL|达式。9、此题讨论不可约张量算符的性质（a）已知 为 k 秩不可约张量算符,试证:一般而言, 并不构成不可约张量算符。qTkqT（b）如果定义这样的张量算符 , 试证这一张量为 k 秩不可约张量算符。qkkqT)1(（c）试证明: (b)中定义的不可约张量算符的约化矩阵元和初始出发的不可张量的约化矩阵元满足关系：)1(| jkkjTj *)|(jTk
