1、 恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB=50km,A、B 到直线 X 的距离分别为 10km和 40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P,向 A、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图(AP 与直线 X 垂直，垂足为 P),P 到 A、B 的距离之和 S1=PA+PB； 图（2）是方案二的示意图(点 A 关于直线 X 的对称点是 A，连接 BA交直线 X 于点 P),P 到 A、B 的距离之和 S2=PA+PB. (1).求 S1 、S2 ,并比较它们
2、的大小.(2).请你说明 S2=PA+PB 的值为最小.(3).拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B 到直线 Y 的距离为 30km,请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 解:图（1）中过 B 作 BCAP,垂足为 C,则 PC=40,又 AP=10,AC=30 在 RtABC 中，AB=50 AC=30 BC=40 BP=S1= 图（2）中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC=50，又 BC=40BA=由轴对称知：PA=PAS2=BA= (2)如 图（2），在公路上任找一
3、点 M,连接 MA,MB,MA，由轴对称知 MA=MAMB+MA=MB+MAABS2=BA为最小 （3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B，连接 AB,交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求 过 A、 B分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G,AB=所求四边形的周长为 （2011?成都）如图，已知线段 ABCD，AD 与 BC 相交于点 K，E 是线段 AD 上一 动点 （1）若 BK= 5/2KC，求 CD/AB 的值； （2）连接 BE，若 BE 平分ABC，则当 AE= 1/2AD 时，猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有
4、怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当 AE= 1/nAD（n2），而其余条件不变时，线 段 AB、BC、CD 三者之间又有怎样的等 量关系？请直接写出你的结论，不必证 明 （1）由已知得 CK/BK= 2/5，由 CDAB 可证KCDKBA，利用 CD/AB= CK/BK 求值； （2）AB=BC+CD作ABD 的中位线，由中位线定理得 EFABCD，可知 G 为 BC 的中点，由平行线及角平分线性质，得GEB=EBA=GBE，则 EG=BG= 12BC，而 GF= 1/2CD，EF= 12AB，利用 EF=EG+GF 求线段 AB、BC、 CD 三者之间的数量关系； 当 AE=
5、 1/nAD（n2）时，EG=BG= 1/nBC，而 GF= 1/nCD，EF= n-1n/AB， EF=EG+GF 可得 BC+CD=（n-1）AB 本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定 与性质，角平分线的性质关键是构造平行线，由特殊到一般探索 规律在 RtABC 中，ACB=90，BC=30，AB=50点 P 是 AB 边上任意一点，直线 PEAB，与边 AC或 BC 相交于 E点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EM=EN， sinEMP=12/13（1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 EM 的长；（2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时
6、，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP=x，BN=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME 的顶点 A、M、E 分别与ENB 的顶点 E、N、B 对应），求 AP 的长解：（1）ACB=90，BC=30，AB=50AC=(50-30)=40当点 E 与点 C 重合时，PE=PC=ACBC/AB=4030/50=24又 sinEMP=12/13=PE/EM，EM=13PE/12=1324/12=26.（2）tanA=EP/AP=BC/AC=30/40=3/4，AP=xEP=AP3/4=3x/4又 sinEMP=12/13cosEMP=5/13tanE
7、MP=12/5=EP/MP，MP=5EP/12=(53x/4)/12=5x/16又 EM=ENPN=PM=5x/16BN=AB-AP-PN=50-x-5x/16=50-21x/16即 y=50-21x/16，(0x32).（3）（i）当 E 在 AC 边上（不包含 C）时，由（2）知 AM=AP-MP=x-5x/16=11x/16，EN=EM=EP/sinEMP=(3x/4)/(12/13)=13x/16，NB=y=50-21x/16AME=ENB当 AM/ME=EN/NB 时，AMEENB即(11x/16)：(13x/16)=(13x/16)：(50-21x/16)，解得 x=22，即 AP
8、=22；（ii）当 E、C 重合时，由（1）知 EP=24，EN=EM=26，PM=PN=10，AM=AP-MP=32-10=22，NB=50-32-10=822/2626/8，即 AM/MEEN/NB，AMEENB 不成立（iii）当 E 在 BC 边上（不包含 C）时，设 EP=12k，则 EM=EN=13k，PM=PN=5k，又 tanB=EP/PB=AC/BC，即 12k/PB=40/30，解得 PB=9kNB=PB-PN=4k，AM=AB-PM-PB=50-5k-9k=50-14kAME=ENB当 AM/ME=EN/NB 时，AMEENB即（50-14k）：13k=13k：4k，解得 k=8/9PB=9k=8，AP=50-8=42.综上所述，若AMEENB，则 AP=22 或 42
