1、1三角函数专题讲义一、终边相同的角：1、角的顶点在原点，始边在 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限x的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。2、与 角终边相同的角的集合： ,360|Zk与 角终边在同一条直线上的角的集合： ；与 角终边关于 轴对称的角的集合： ；x与 角终边关于 轴对称的角的集合： ；y与 角终边关于 轴对称的角的集合： ；一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；终边在四个象限的平分线上角的集合： ；3、象限角：第一象限角： ；第三象限角：
2、；第一、三象限角： ；4、正确理解角：“ 间的角”= ； “第一象限的角 ”= ；o90“锐角”= ； “小于 的角”= ；o90例 1、已知 0360，且 角的 7 倍角的终边和 角终边重合，求 .例 2、已知集合 A=第一象限角，B=锐角 ，C =小于 90的角 ，下列四个命题：A= B=C A C C A A C=B,其中正确的命题个数为 ； 例 3、若角 是第三象限角，则 角的终边在 ，2 角的终边在 .22二、弧度制1、弧度与角度的互化： 2、弧长公式： ；扇形面积公式： ；例 4、圆的半径变为原来的 3 倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.例 5、已知扇
3、形的周长为 20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？例 6、如下图，圆周上点 A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知 A点 1 分钟转过 (0 ) 角，2 分钟到达第三象限，14 分钟后回到原来的位置，求 .三、任意角的三角函数：1、任意角的三角函数定义：以角 的顶点为坐标原点，始边为 轴正半轴建立直角坐标x系，角 的终边与单位圆的交点为 ，),(yP则 ； ； sincostan定义拓展：在角 的终边上任取一个异于原点的点 ，),(yx点 到原点的距离记为 ，则 ； ； ；Prsista2、各象限角的各种三角函数值正负符号：一全二正弦,三切四余弦 si
4、ncostan例 7、角 的终边上一点 ，则 。)3,(asico3例 8、试写出所有终边在直线 上的角的集合并指出上述集合中-180 01800 之间的xy3角.例 9、sin2cos3tan4 的值 （ ）(A)大于 0 (B)小于 0 (C)等于 0 (D)不确定例 10、在ABC 中,若 cosAcosBcosC0，则ABC 是（ ）(A)锐角 (B)直角(C)钝角 (D)锐角或钝角例 11、若 sincos0, 则 是第 象限的角;2、在单位圆中画出角 的正弦线、余弦线、正切线；xyO a xyOa xyOayOa例 12、比较 ， ， ， 的大小关系： 。)2,0(xxsintax
5、四、同角三角函数的关系与诱导公式：1、同角三角函数的关系：平方关系是 商式关系是 例 13、已知 sincos= ,且 ，则 cossin 的值为 8142例 14、已知 = ,则 tan 的值是 sinco23s51例 15、若 tan= , ,则 sincos 的值124例 16、若 是三角形的一个内角，且 sin+cos= ,则 为32例 17、已知 tan=2,则 2sin23sincos2cos 2= ;例 18、设是第二象限角,则 =2sin1coi例 19、化简 ( 为第四象限角）= ;1coscs例 20、sinx= ,cosx= ,x( ,),求 tanx35m425例 21
6、、已知关于 的方程 的两根为 和 ：x2310xmsinco（1）求 的值； （2）求 的值sincosinco12、诱导公式：5： ， ， k2；： ， ， ； ： ， ， ；： ， ， ；： ， ， 2；： ， ， ；： ， ， 2；： ， ， 3；： ， ， 2；诱导公式可用概括为： ， 。例 22、已知 sin(+)= ,且 是第四象限角，则 cos(2 )的值是45例 23、 = . 化简 = .tan(150)cos(7)cs(140)2in69 21sin0co1co76例 24、sin 2( x)+sin 2( +x)= .36例 25、是否存在角 、 ，(- , )，(0,
7、)，使等式 sin(3-)= cos( -), 22cos (-)= cos(+)同时成立？若存在，求出 、 的值;若不存在，请说明理由.327五、三角恒等变形1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ；cos ； ；sin ； ta（变形： ） ；ntatn1tan t（变形： ） ttt2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ；sin（变形： ； ）2i1 2sin1 = = co（变形： ， ） ；2cos12coin 2tant13、化一公式： ，其中 2sicossinAAtanA例 26、化简： =40in1例 27、已知 tan，tan 是方程 两根，且 ， ，则 + 等于( )234
8、0x )2,(A) (B) 或 (C) 或 (D)32323例 28、 ( ) sin16sin5i1()2A()B()2C2D例 29、求下列各式的值： ; tan17+tan28+tan17tan2875tan18例 30、 已知锐角 , 满足 cos= ,cos(+)= ,求 cos.53135例 31、 已知 ， （1）求 的值；（2）求 的值 奎 屯新 疆王 新 敞2)4tan(tan2cos1ina例 32、 已知 , 且 sin( + )= ,cos =- .求 sin .20,653135例 33、化简 sin2 sin2 +cos2 cos2 - cos2 cos2 .1六、
9、三角函数的图象和性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当 时，2xk；may当 时，in1当 时，2xk ；may当 时，kin1既无最大值也无最小 值周期性 22函 数性质9奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在 3,上是减函数k在 上,2kk是增函数；在 ,上是减函数 在 ,2k上是增函数对称性对称中心,0对称轴 2xk对称中心 ,02k对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴2、三角函数的图像变换(1)先相位后周期：函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数sinyx
10、的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长sinyx（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图象；再将1sinyx函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横sinyx A坐标不变） ，得到函数 的图象sinyxA(2)先周期后相位：函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不siyx 1变） ，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）sinxsinyx平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标sinyx A不变） ，得到函数 的图象siyxA3、函数 的性质：i0, 振 幅
11、 ： ； 周 期 ： ； 频 率 ： ； 相 位 ： ； 初 相 ： 212fx例 34、 对于函数 y=sin( -x） ，下面说法中正确的是 ( )13(A) 函数是周期为 的奇函数 (B) 函数是周期为 的偶函数(C) 函数是周期为 2 的奇函数 (D) 函数是周期为 2 的偶函数例 35、函数值 sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 例 36、函数 y=2cosx(0x2)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）10(A) 4 (B)8 (C)2 (D)4例 37、.函数 y=cosx 的图象向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 ，纵坐
12、标扩大到原312来的 3 倍，所得的函数图象解析式为 ( ) (A) y=3cos( x+ ) (B) y=3cos(2x+ ) (C) y=3cos(2x+ ) (D) y= cos( x+ )12331326例 38、要得到函数 的图像。可以由诱导公式先把它变成 ( ) cos( sin然后由 的图像先向 平移 个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标xysin变为原来的 倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍, 就可以得到 的图像.)32cos(例 39、函数 部分图象如图所示，则函数为（ in(0,)2yAxxR）A B)48si()48sin(yC Dnxy x例 40、已知 f(x)=5sinxcosx- cos2x+ （xR）35求 f(x)的最小正周期；求 f(x)单调区间；求 f(x)图象的对称轴，对称中心。例 41、已知函数 f(x)=cos +2sin sin .32x4xx(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数 f(x)在区间 上的值域.2,1
