1、用心 爱心 专心 1423 直线与圆的方程的应用学习目标主要概念：坐标法建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题。教材分析一、重点难点本节教材的教学重点是掌握直线和圆的方程在实际生活中的应用，以及用坐标法研究几何问题的基本思想。难点是如何把一个实际问题转化为数学问题，即数学建模，以及在运用坐标法证明几何问题时，如何能根据具体问题灵活地建立适当的直角坐标系。二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、题型介绍、思考交流三个板块组成。第一板块 问题提出 解读直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用。理解、掌握知识的最终目的在于应用，
2、通过知识的应用，问题的解决，一方面可使学生亲身体验到学习数学的意义和作用，培养学生学习的自觉性；另一方面联系实际的目的就是为了更好地掌握基础知识，增加用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力。第二板块 题型介绍 解读直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用通过介绍直线与圆的方程在实际生活中的应用，其目的在于让学生了解应用问题就是在已学数学知识的基础上，从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概括，把实际问题抽象成数学问题，建立相应的数学模型。让学生掌握解决实际问题的全过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过介绍直线与圆的方程在平面几何中的应用，其目的在于让学生了解坐标法的数学思想，掌握用坐
3、标法解决平面几何问题的“三步曲” ，让学生从另一个角度再次体会“数形结合”的思想方法。第三板块 思考交流 解读课本 P.138 例 4 中提出：如果不建立坐标系，你能解决这个问题吗？通过让学生思考和解答，试图让学生比较坐标法和几何法在解决这一问题时的优劣，从而发现坐标法在解决一些问题时的优越性。拓展阅读数学来源于实际又服务于实际，新的课程标准越来越注意对学生在数学素养、数学能力方面的要求，要求学生能应用数学知识、观点、方法去处理实际问题，从而把数学用心 爱心 专心 2的应用与大众生活紧密地结合起来，使数学教学更具有现实意义与教育意义。在现行中学数学教学大纲中提到：“使学生学好从事社会主义现代化
4、建设和进一步学习现代科学技术所必需的数学基础知识和基本技能，培养学生的运算能力，以逐步形成应用数学知识来培养分析和解决实际问题的能力” 。1993 年国家教委基础教育课程教材研究中心召开的“数学课程内容改革研讨会”上也强调“数学教学应联系实际” ， “要重视从实际问题中建立数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题这个全过程。 ”当前国际数学教育界提出了“大众数学”的口号，其目的是根据社会对数学的不同需求，发挥数学在解决实际问题中的作用提高学生学习数学的兴趣，支持和引导中学数学从学生所熟悉的生活、生产和其它学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和
5、规律，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步把数学知识应用到生产、生活的实际，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力。随着科学技术的进步，特别是计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济活动到社会活动的各个领域。而建立数学模型则是数学应用的关键环节。所谓数学模型就是对于现实世界的一个特定的对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的过程可以分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环。现实对象的信息 表
6、述(归纳)数学模型现实对象的解答 数学模型的解答求解 (演绎)解释验证 由此可知，解决数学应用问题可分为三个步骤：一是审题；二是建立数学模型；三是求解数学模型。其中审题是基础，建立数学模型是关键，解题是目标。综上所述，我们可以利用数学模型的方法来解决数学应用问题。网站点击用心 爱心 专心 3典型例题解析例 1：在平行四边形 ABCD 中，用坐标法证明： 222222 | BDACCDBA。点拨 用坐标法证题的关键是选择适当的直角坐标系，设出关键的点的坐标（或曲线的方程） ，据此推出未知的点的坐标，再通过代数计算证明所要求证的结论。解答 以 CA 所在的直线为 x 轴，线段 CA 的中点 O 为
7、坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系。设 A（ a, 0）,B( b, c), 则 C( a, 0), D(b, c). 2222 | DACB=2( |)=2 22()(cbacb= 24a2222 )()()(| acACBD 24cb | BDACD总结 用坐标法证题的关键是选择适当的直角坐标系，直角坐标系的建立一般遵循下列原则：（1）原点取在定点，坐标轴以定直线或定线段所在的直线或图形的对称轴；（2）尽量利用图形的对称性；（3）设出所需点的坐标时，能使所用的字母尽量少。用坐标法证题时，不能把一般情况视为特殊情况，如本题中如把平行四边形 ABCD 视为矩形或正方形加以证明，就失去了一般
8、性。变式题演练等腰直角三角形 ABC 中， 90A，BD 是 AC 边上的中线，AE BD 交 BC 于 E，用坐标法证明： CDEB。例 2： 船行前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为 9m，拱圈内水面宽22m船只在水面以上部分高 6.5m、船顶部宽 4m，故通行无阻近日水位暴涨了 2.7m，船已经不能通图 1422965463O1OxyCyA B9图 2OACBDxy用心 爱心 专心 4过桥洞了船员必须加重船载，降低船身试问船身必须降低多少，才能顺利地通过桥洞？点拨 当船行驶在河道的正中央时，要使船能够通过桥洞的最低要求是船顶最宽处的角点在圆拱桥的拱圈上。解答 画出正
9、常水位时的桥、船的示意图如图 1；涨水后桥、船的示意图如图 2以正常水位时河道中央为原点，建立如图 2 所示的坐标系设桥拱圆顶的圆心在 O1(x1,y1)，则 x1=0，因此桥拱圆顶在坐标系中的方程为 x2+(y-y1)2=r2其中 r 为桥拱半径桥拱最高点 B 的坐标为(0,9)，桥拱与水线的交点 A 的坐标为(11,0)圆 O1过点A,B，因此02+(9-y1)2=r2，11 2+(0-y1)2=r2，两式相减后得121+18y1-81=0, y1=- 90-2.22；回代到两个方程之一，即可解出 r11.22所以桥拱圆顶的方程是x2+(y+2.22)2=125.94当船行驶在河道的正中央
10、时，船顶最宽处角点 C 的坐标为( x,y)，则 x=2使船能通过桥洞的最低要求，是点 C 正好的圆 O1上，因此 C(2,y)应满足圆 O1的方程，即 22+(y+2.22)2=125.94，解出 y8.82扣除水面上涨的 2.70, 点 C 距水面为 8.82-2.70=6.12船身在水面以上部分原高 6.5，所以为使船能通过桥洞，必须降低船身 6.5-6.12=0.38(m)以上 总结 求解本题的关键是要得到桥拱圆的方程，有了圆的方程，计算点 C 距水面高度等，问题就迎刃而解了 变式题演练据气象台预报：在 A 市正东方向 300km 的 B 处有一台风中心形成，并以每小时 40km的速度
11、向西北方向移动。在距台风中心 250km 以内的地区将受其影响，问从现在起经过多长时间，台风将影响 A 市？持续时间多长？答案：以 A 为圆心，250km 为半径作A，当台风中心移动经过的直线 l与A 相交或相切时，A 市将受到台风影响。以 A 为坐标原点，正东方向为 x 轴，建立直角坐标系，则 A 点的坐标为（0,0） ，B 点坐标为（300,0） ，A 的方程为 2250y，直线 l的方程为用心 爱心 专心 5,135sin40cotyx（ )0t即 t2 （ )t当点 C（ )0,30在A 上或A 内时，有2250( tt即 0751062tt，解之，得 47521471t近似地，得 6
12、.8.2t8.6-2.0=6.6这样，大约在 2 小时后，台风将影响 A 市，并持续约 6.6 小时。例 3：求一宇宙飞船的轨道，使得在轨道上任一点处看地球和月球的视角都相等。点拨 所谓在一点处看地球的视角，在数学上反映即从此点处所引的关于地球的两条切线间的夹角，故本题可从两个视角相等得到轨道上任一点应该满足的条件。解答 设地球和月球的半径分别为 R、r，球心距为 d，以地球、月球球心连线的中点为原点，连线所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系（如图）.设地球大圆圆心 )0,2(1dO，月球大圆圆心 )0,2(d，轨道上任一点 M(x, y)，从M 点向圆 1作切线，切点为 A，从 M 点向圆
13、 2O作切线，切点为 B，由题意知， BO21， ARt1 Mt2 |1A |2， 21| 2|r 2)(Rydx 2)(rydxOA BM（x, y）y x12用心 爱心 专心 6整理得 04)(222dxrRdyx满足条件的宇宙飞船的运行轨道为圆 04)(222dxrRdy。总结 本题实质是一道求轨迹方程的问题，但在解题时关键是要审清题意，理解视角的概念，建立适当的直角坐标系，恰当地运用平面几何知识，以简化运算。变式题演练有相距 100km 的 A、B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是 B 地的 2 倍。问怎样确定 A、B 两批发市场的
14、售货区域对当地居民有利？答案：建立以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，则 A（50,0） ，B（50,0） 。设 P（x, y） ，由 2PAPB，得 025302xy所以在圆 0530xx内到 A 地购物合算；在圆5302yx外到 B 地购物合算；在圆 2xyx上到A、B 两地购物一样合算。知识结构知识点图表直线和圆的方程的应用在平面几何中的应用在实际生活中的应用 数学建模坐标法学法指导1、 数学建模分析的步骤：（1）读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。“整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象；“局部理解”是指抓住题目中的关键字句，
15、正确把握其含义；“分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系或空间形式；“领悟实质”是指抓住题目中的主要问题，正确识别其类型。（2）建立数学模型。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段，从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。用心 爱心 专心 7（3）求解数学模型。根据所建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件。（4）检验。既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题作出合乎实际意义的回答。2、用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论。这就是用坐标方法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。
