1、书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库高考数学必胜秘诀在哪？概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结二、函 数1.映射 : A B 的概念。在 理解映射概念时要注意： A 中元素必须都有象且唯一；fB 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1 ）设 是集合 到:fMN的映射，下列说法正确的是 A 、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个NM元素在 中必有原象 C 、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中MN所在元素的象的集合（答：A ） ；（2）点 在映射 的作用下的象是 ，则),(baf ),(ba在 作用下点 的原象为点_（答：（2，1） ） ；（3）若 ，
2、f),3( 4321A， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个， 到,cbaBRABA的函数有 个（答：81,64,81） ；（4）设集合 ，映射1,0,5N满足条件“对任意的 ， 是奇数” ，这样的映射 有_个:fNx()fxf（答：12） ；（5）设 是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2，则 一定是2:f B_（答： 或1）.2.函数 : A B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集！据此可知f函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任xy意个。如（1）已知函数 ， ，那么集合()fxF中所含元素的个数有 个（答： 0
3、 或 1） ；(,)|(),|1yfy（2）若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 （答：4212,b2）3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数” ，那么解析式为 ，值域为4，1 的“天一函数 ”共有_个（答：9）2yx4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数 中logax且 ，三角形中 , 最大角 ，
4、最小角 等。如（1）函数0,xa10A3的定义域是_(答： )；（2）若函数24lg3xy(,2),(,4的定义域为 R，则 _(答： )；（3）函数 的定义域27kxk0,()fx是 ， ，则函数 的定义域是_(答： )；,ab0()(Fxfx,a（4）设函数 ，若 的定义域是 R，求实数 的取值范围；2()lg1fa)若 的值域是 R，求实数 的取值范围（答： ； ）()f 1a1a（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知 的定义域为 ,其复合函数 的定义()fxb()fgx域由不等式 解出即可；若已知 的定义域为 ,求 的定义域，()agxbg相当于当 时
5、，求 的值域（即 的定义域） 。如（1）若函数 的,() y书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库定义域为 ，则 的定义域为_（答： ） ；（2）若2,1)(log2xf 4|x函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_（答：1,5 ） ()fx,1()fx5.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问,mn题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） ，如（1）求函数 的值域（答：4,8） ；（2）当 时，25,1,
6、2yx2,0(x函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是_（答：3)1(4)(2axf a） ；（3）已知 的图象过点（2,1） ，则a(4)xbf的值域为_（答：2, 5）1212()()()Ff（2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1） 的值域为2sin3cos1yx_（答： ） ；（2） 的值域为_（答： ） （令74,81yx(,)， 。运用换元法时，要特别要注意新元 的范围） ；（3）xt0t的值域为_（答： ） ；（4）sincosincyxA1,2的值域为_（答： ） ；249,324（3）函数有界性法
7、直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数 ，sin1y， 的值域（答： 、 （0,1） 、 ） ；13xy2sin1coy1(,23(,2（4）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求 ， ， 的值域为(9)x229sisinyx53log1xy_（答： 、 、 ） ；80,1,0（5）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点 在圆 上，求 及 的取值范围（答：(,)Pxy21y2yxx、 ） ；（2）求函数 的值域（答：3,5, 2()(8)
8、） ；（3）求函数 及0)26345yx的值域（答： 、 ）注意：求两22614yx,)(6,)点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使x两定点在 轴的同侧。（6）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库 型，可直接用不等式性质，如求 的值域（答： ）2bykx 23yx3(0,2 型，先化简，再用均值不等式，如（1）求 的值域（答：mn 1xy） ；（2）求函数 的值域（答： ） 1(,
9、23xy10,2 型，通常用判别式法；如已知函数 的定义xyn 238log1mxny域为 R，值域为0，2，求常数 的值（答： ）, 5mn 型，可用判别式法或均值不等式法，如求 的值域2mx 2x（答： ）(,31,)（7）不等式法利用基本不等式 求函数的最值，其题型特2(,)abaR征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设 成等差数列， 成等比数列，则12,xy12xby的取值范围是_.（答： ） 。21)(ba(,04,)（8）导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数 ，32(40fxx的最小值。 （答：48）3,x提醒：
10、（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 时，一定首先要0()fx判断 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内0x不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数 ，则使21.()4()fx得 的自变量 的取值范围是_（答： ） ；（2）已知()fxx ,0,，则不等式 的解集是_（答：0)1( (2)5xfx）3(,27.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数
11、的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式： ；零点式：2()fxabc2()fxamn，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式） 。12)(x如已知 为二次函数，且 ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线(xf段长为 2 ,求 的解析式 。（答： ）f 21)（2）代换（配凑）法已知形如 的表达式，求 的表达式。如（1）(fg()f已知 求 的解析式（答： ） ；,sin)co1(2xf2f 242(),2fxx（2）若 ，则函数 =_（答： ） ；（3）若函数1x)1(xf书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库是定义在 R 上的奇函数，且当 时，
12、，那么当)(xf ),0(x)1()3xxf时， =_（答： ）. 这里需值得注意的是所求解析式的0,)(xf 31定义域的等价性，即 的定义域应是 的值域。g（3）方程的思想已知条件是含有 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特()f征对等式的进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。如（1）已知x，求 的解析式（答： ） ；（2）已知 是()2)2fxfx()f 3fx()fx奇函数， 是偶函数，且 + = ,则 = _（答： ） 。gg1()18. 反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 值，都有唯一的 值与之对yx应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函
13、数只有 有反函数；()0)fx周期函数一定不存在反函数。如函数 在区间1, 2上存在反函数的充要条23yxa件是 A、 B、 C、 D、 ,a,a1,1a2,（答：D）（2）求反函数的步骤：反求 ；互换 、 ；注明反函数的定义域（原来函y数的值域） 。注意函数 的反函数不是 ，而是 。如设(1)yfx1()fx1()yfx.求 的反函数 （答： ） )0()1()2xxf )(1xf （3）反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数 满足条件 = x ，其中 0 ，若 的反函数 的定义域)(f)3(afa)(xf)(1xf为 ，则 的定义域是_
14、（答：4,7 ）.a4,1x函数 的图象与其反函数 的图象关于直线 对称，注意函数()yf1()yfxy的图象与 的图象相同。如（1）已知函数 的图象过点(1,1),()f() ()fx那么 的反函数的图象一定经过点_（答：（1,3） ） ；（2）已知函数4x，若函数 与 的图象关于直线 对称，求132f ygx)1(xf y的值（答： ） ； ()g7 。如（1）已知函数 ，则方程1()fabfa)24(log)(3xf的解 _（答：1） ；（2）设函数 f(x)的图象关于点（ 1,2）对称，且存在4)(1x反函数 ，f (4)0，则 （答：2）4f互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函
15、数性。如已知 是 上的增函数，fR点 在它的图象上， 是它的反函数，那么不等式 的解1,3AB1fx 12logx集为_（答：（2,8） ） ；设 的定义域为 A，值域为 B，则有 ，()fx 1()fxB()f，但 。(11()f9.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数 ，)(xf2sin(3)为奇函数，其中 ，则 的值是 （答：0） ；25,3x)2,0(（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断
16、其奇偶性）：定义法：如判断函数 的奇偶性_（答：奇函数） 。2|4|9xy利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （ ） 。如()0fx()1fx()0f判断 的奇偶性_.（答：偶函数）1()2xf图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。y（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若 为偶函数，则 .如若定义在 R 上的偶函数 在()fx()(|)fxfx()fx上是减函数，且 =2，则不等式 的解集为_.（答：(,0312log
17、81）.5)(2,)若奇函数 定义域中含有 0，则必有 .故 是 为奇函数的fx()0f()f()fx既不充分也不必要条件。如若 为奇函数，则实数 _（答：1）.2()1xaf a定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ”。如设 是定义域为 R 的任一函数， ，xf ()2fxF。判断 与 的奇偶性； 若将函数 ，()2fxG)(FxG)10lgf表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，则 _（答： 为偶函数，)(gh)(g)(x为奇函数； ）)(1x复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的
18、任意一个数集）.()0f10.函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间内，若总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，(,)ab()0fx()fx()fx(,)ab则 ，请注意两者的区别所在。如已知函数 在区间 上是增0fx 31函数，则 的取值范围是_(答： ）)；,3在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 (0yx型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ，减区间0)b (,)ba为 .如（1）若函数 在区间（，4 上是,(ba 2)1)(2xxf书利华教育网 【www.ShuLiH
19、】您的教学资源库减函数，那么实数 的取值范围是_(答： ）)；（2）已知函数a3a在区间 上为增函数，则实数 的取值范围_（答： ）；1()2xf,1(,)2（3）若函数 的值域为 R，则实数 的取值范围是log40,1afx且 a_(答： 且 ）)；041复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数 的单21logyx调递增区间是_(答：（1,2）)。（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间 上为减函数，求 的取值范围（答： ）；2(log(3)afxx(,2aa(,23)二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或
20、不等式表示 （3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，)(xf)( 0)12()(mff求实数 的取值范围。（答： ）m123m11. 常见的图象变换函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单axfy)0(xfya位得到的。如设 的图像与 的图像关于直线 对称， 的图像)2,g()fy()hx由 的图像向右平移 1 个单位得到，则 为_(答： )()gxh2()log1函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单f)f位得到的。如（1）若 ，则函数 的最小值为_(答：2) ；2943xx()x（2）要
21、得到 的图像，只需作 关于_轴对称的图像，再向_平3lgyylg移 3 个单位而得到(答： ；右 )；（3）函数 的图象与 轴的交点个()21fx数有_个(答：2)函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上平移 个单xfa0(xfya位得到的；函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向下平移 个单y)y位得到的；如将函数 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得axb图象如果与原图象关于直线 对称,那么 y0,1)(baARbaB,1)(答：C)0,1)(baCRD0)(函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得fyxfy到的。如（1）将函数 的图像上所有点的横坐标变为原
22、来的 （纵坐标不变） ，再()fx 3将此图像沿 轴方向向左平移 2 个单位，所得图像对应的函数为_(答： )；x (6fx（2）如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴方程是_(答：1yf(2)yfx)函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍xaf)0(fya书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库得到的. 12. 函数的对称性。满足条件 的函数的图象关于直线 对称。如已知二次fxafbx2abx函数 满足条件 且方程 有等根，则)0()(2f )3()5(ff xf)(_(答： )； x21点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为(,)y(,)xyxfy；
23、fy点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为,x,； 点 关于原点的对称点为 ；函数 关于原点的对称曲线方程为(,)y(,)xyxf； fy点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于,xa(),a(,)0fxy直线 的对称曲线的方程为 。特别地，点 关于直线a(),0f的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为(,)y,)0xyyx,；点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线0,(,)fy的对称曲线的方程为 。如己知函数 ,若yx(,f3,()2x的图像是 ,它关于直线 对称图像是 关于原点对称的图像为)1(f1Cyx,C对应的函数解析式是_（答： ） ；3,C则 1x曲线
24、 关于点 的对称曲线的方程为 。如若函(,)0fxy(,)ab(,)0faby数 与 的图象关于点（-2，3）对称，则 _（答：y2g )g）76x形如 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(,)acdcx dxc(由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定)，对称中心是点 。yx(,)a如已知函数图象 与 关于直线 对称，且图象 关于点C 2:1)1ayxC（2，3）对称，则 a 的值为_（答：2） 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴|()|fx(fx x的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图(|)fx()fy象，擦去 轴左
25、方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。如（1）yyy作出函数 及 的图象；（2）若函数 是定义在 R 上的2|log(1)|2log|1|x奇函数，则函数 的图象关于_对称 （答： 轴） )(xffxF提醒：（1）从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像 与 的对称性，需证两方面：证明1C2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 上； 证明 上任意点关于对称中1C 2心（对称轴）的对称点仍在 上。如（1）已知函数 。求证：函C)()(R
26、axf数 的图像关于点 成中心对称图形；（2）设曲线 C 的方程是 ,将)(xf(,)Ma xy3书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库C 沿 轴, 轴正方向分别平行移动 单位长度后得曲线 。写出曲线 的方程（答：xy,ts1C1） ；证明曲线 C 与 关于点 对称。3()()tts12,stA13. 函数的周期性。（1）类比“三角函数图像”得：若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且()yfx,()xab()yfx一周期为 ；2|Tab若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，,0),ABa且一周期为 ；|如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函()yfx(,
27、()xba数 必是周期函数，且一周期为 ；()yfx4|Tb如已知定义在 上的函数 是以 2 为周期的奇函数，则方程 在 上R()f 0f2,至少有_个实数根（答：5）（2）由周期函数的定义“函数 满足 ，则 是周期为xxaf()()x的周期函数”得：a函数 满足 ，则 是周期为 2 的周期函数；()fxaf()f若 恒成立，则 ；1(0)afT若 恒成立，则 .()()fxxa如(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时，f),)()2(xfxf10，则 等于_(答： )；(2)定义在 上的偶函数 满足f)(5.475.0R，且在 上是减函数，若 是锐角三角形的两个内角，则2()xf3,2,的大
28、小关系为_(答： )；（3）已知sin,cos(sin)(cosff是偶函数，且 =993， = 是奇函数，求 的值(答：993) ；()f1f()gx1)f 205（4）设 是定义域为 R 的函数，且 ，又f 2fx1fx，则 = (答： )2f206f14.指数式、对数式：， ， ， ， ， ， ，mna1mna0log10al1alg251， ， ，loglexlog(,)bNbNloaNloglcab， 。如（1） 的值为_(答：8) ；（2）mnaa 235llog49A的值为_(答： )2log81()6415. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或
29、作商法；（3）利用中间量（0 或 1） ；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 16. 函数的应用。 （1）求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。 （2）常见的函数模书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库型有：建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；建立指数函数模型；建立 型。byax17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些
30、条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： - ；()0)fxk()()fxyfy幂函数型： - ， ；2(fxyx指数函数型： - ， ； ()xfa)()fy()(ffy对数函数型： - ， ； log(fxyxf三角函数型： - 。如已知 是定义在()tanfx()1fyf)(R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T，则 _（答：0）)2（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数 表示 除以 3 的余数，则对任意的
31、 ，都有 A、()fxNx,xyNB、 C、 D、(3fx()()fyfy(3)(ffx（答：A ） ；（2）设 是定义在实数集 R 上的函数，且满足)yy，如果 ， ，求 （答：1） ；)1(2xfff2lg1f 15lg(f20f（3）如设 是定义在 上的奇函数，且 ，证明：直线 是函数)R)xxx图象的一条对称轴；（4）已知定义域为 的函数 满足 ，)(xf f )4()(ff且当 时， 单调递增。如果 ，且 ，则(xf 421(21的值的符号是_（答：负数）)21（3）利用一些方法（如赋值法（令 0 或 1，求出 或 、令 或x0)f(fyx等） 、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若 ， 满足yx xR)()(ff，则 的奇偶性是_（答：奇函数） ；（2）若 ， 满足(f，则 的奇偶性是_（答：偶函数） ；（3）()fy()fx已知 是定义在 上的奇函数，当 时，3,0x的图像如右图所示，那么不等式 的解集()cosfA是_（答： ） ；（4）(,1),22设 的定义域为 ，对任意 ，都有()fxRxyR，且 时， ，又 ，()fyy()0f1()f求证 为减函数；解不等式 .（答： ） f 25x0,14,5O 1 2 3 xy
