1、书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库高考数学必胜秘诀在哪？概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结五、平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量 按向量 （1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0） ）ABa（2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；0（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是B)；|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个
2、向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，ab记作： ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线ab向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有)；三点 共线 共线；0ABC、 、 A、（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。aa如下列命题：（1）若 ，则 。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点ab相同，终点相同。 （3）若 ，则 是平行四边形。 （4）若 是
3、平行四边DBCABCD形，则 。 （5）若 ，则 。 （6）若 ，则 。其中正确AB,ca/,bc/的是_（答：（4） （5） ）2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；abc（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量xy， 为基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量ij a,ij,xy的坐标， 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标a,xy与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面
4、内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。如（1）若(1,)ab，则 _（答： ） ；（2）下列向量组中，能作为平面内所(1,)(,2)cc3b有向量基底的是 A. B. C. 12(0,)(1,)e12(,)(5,7)12(3,5)(6,0)eD. （答：B） ；（3）已知 分别是 的边 上的中12(,3)4e ADBEACB线,且 ,则 可用向量 表示为_（答： ） ；（4）已知ADaEbC,ab3ab中，点 在 边上，且 ， ，则 的值是BC 2 srCsr_（答：0）4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度
5、和方向规定如下： 当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0；当 P12点在线段 P P 的延长线上时 1；当 P 点在线段 P P 的延长线上时121；若点 P 分有向线段 所成的比为 ，则点 P 分有向线段 所成的比012 为 。如若点 分 所成的比为 ，则 分 所成的比为_（答： ）1AB34AB73书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库（3）线段的定比分点公式：设 、 ， 分有向线段 所成1(,)Pxy2(,)xy(,)Px12P的比为 ，则 ，特别地，当 1 时，就得到线段 P P 的中点公式12xy12。在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， 、 的意义，12xy (
6、,)xy1,)2(,)xy即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 。如（1）若 M（-3，-2 ） ，N（6，-1） ，且，则点 P 的坐标为_（答： ） ；（2）已知 ，1MPN3 7(6,)3(,0)3,2)AaB直线 与线段 交于 ，且 ，则 等于_（答：或）2yaxABM2ABa11.平移公式：如果点 按向量 平移至 ，则 ；曲线(,)xy,hk(,)Pxyxhyk按向量 平移得曲线 .注意：（1）函数按向量平移(,)0fhk()0fxy与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 如
7、（1）按向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点_（答：（，） ）a,3(1,2)a7,2；（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则xysin2cosxy_（答： ）),4(12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，特别地，当 同向或有|abab ab、 0|ab；当 反向或有 ；当| 、 0|不共线 (这些和实数比较类似 ). b、 |（3）在 中，若 ，则其重心的坐标为ABC123,xyBCxy。如若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4） 、 123123,xyG（-1，-1） ，则ABC 的重心的坐标为_（答： ） ；4(,)3 为 的重心，特别地()3PABPCGAB为 的重心；0 为 的垂心；C向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在()(0| BAC直线)； 的内心；|ABPCAPBA书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库（3）若 P 分有向线段 所成的比为 ，点 为平面内的任一点，则12M，特别地 为 的中点 ；12MP12P（4）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 ABC、 、 ABC、 、 、且 .如平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 ,1O)13(A,若点 满足 ,其中 且 ,则点 的轨)31(B O 2R21,21C迹是_（答：直线 AB）
