1、第五单元数列、推理与证明,第35讲,数列求和,1.熟练掌握等差、等比数列的求和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法.,1.若数列an为等比数列，S5=10,S10=50,则S15= .,210,2.若an=1+2+n，则数列 的前n项和Sn= .,因为an=1+2+n= ,所以 = =2( - ),故Sn=2(1- )+( - )+( - )= .,3.数列1 ，3 ，5 ，7 ，的前n项和Sn= .,n2+1-,S=(1+3+5+2n-1)+( + + )=n2+1- .,4.已知数列an的前n项和Sn=1-3+5-7+(-1)n-1(2n-1)(nN*)，则S2008+S
2、2009+S2010=（ ）,B,A.-2008 B.-2009C.2009 D.2010,当n=2k(kZ)时，Sn=(1-3)+(5-7)+(2n-3)-(2n-1)=k(-2)=-n.当n=2k-1(kZ）时，Sn=1+(-3)+5+(-7)+9+-(2n-3)+(2n-1)=1+（k-1）2=n. n (n为奇数） -n (n为偶数）,所以S2008+S2009+S2010=-2008+2009-2010=-2009.,所以Sn=,5.设f(x)= ，则f(x)+f(1-x)= ，并利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为
3、 .,f(x)+f(1-x)= + = + = + = = .又设S=f(-5)+f(-4)+f(6),则S=f(6)+f(5)+f(-5),所以2S=f(6)+f(-5)+f(5)+f(-4)+f(-5)+f(6).所以2S=12 =6 ,所以S=3 .,1.公式法常用的公式有：(1)等差数列an的前n项和Sn= = .(2)等比数列an的前n项和Sn= = (q1).(3)12+22+32+n2= .(4)13+23+33+n3= .,na1+ d,n(n+1)(2n+1),n2(n+1)2,2.倒序相加法将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易于求和，则这样
4、的数列可用倒序相加法求和.3.分组转化法分析通项虽不是等差或等比数列，但它是等差数列和等比数列的和的形式,则可进行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和，如求n(n+1)前n项的和.,4.错位相减法利用等比数列求和公式的推导方法求解，一般可解决型如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和，如求数列n3n的前n项和.5.裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，它适用于通项为 的前n项求和问题，其中an为等差数列，如 = ( - ).,常见的拆项方法有：(1) = ;(2) = ;(3) = ;(4) = ;(5)nn!= .6.并项法将数列的每两项(或多次)并
5、到一起后，再求和，这种方法常适用于摆动数列的求和.,(n+1)!-n!,题型一 分组求和及并项法求和,例1,求和：(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+(2n-1+2n+3n-2);(2)Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.,(1)因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+（3n-2）= = n2- n,所以Sn= (12+22+32+n2)- (1+2+n)= n(n+1)(5n-2)(nN*).,(2)当n是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)= .当n是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-
6、1)2=1+5+9+(2n-1)= .故Sn=(-1)n-1 (nN*).,求数列的前n项和，首先要研究数列的通项公式的特点，再确定相应的求和方法.如本题中的(1)小题运用分组求和法；(2)小题中，由于an的项是正负相间，故采用并项求和法，但解题中要注意分奇数、偶数讨论.,题型二 裂项相消法求和,例2,已知等比数列an的首项a1= ,公比q满足q0,且q1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列.(1)求数列an的通项；(2)令bn=log3 ,试求数列 的前n项和Sn;(3)试比较 + + + 与 的大小.,(1)依题意，10a3=a1+9a5，即 q2= + q49，整理得9q4-10q2+
7、1=0，解得q2= 或q2=1，又q0，且q1，所以q= ，此时，an=a1qn-1=( )n.,(2)因为bn=log3 =-log3an=n, = = - ,所以Sn=b1+b2+bn= ( - )+( - )+( - )=1- = .,(3)因为 = = ( - ),所以原式= ( - )+( - )+( - )+( - )+( - )+( - )= (1+ - - )= - ( + ) 对nN*恒成立.,（1）若数列的通项能转化为an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项相消法求和，关键是裂项成功，如本例第（2）（3）问.（2）使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，
8、保留了哪些项.,题型三 错位相减法求和,例3,求和 + + + + (a0).,(1)当a=1时，Sn=1+2+3+n= .(2)当a1，且a0时，Sn= + + + , Sn= + + + , ,由-，得(1- )Sn= + + - = - .两边同除以(1- )并整理得Sn= . (a=1) (a1).,综上所述,Sn=,（1）若数列an为等差数列，bn为等比数列，则数列anbn的前n项和可采用错位相减法求和；（2）当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论.（3）将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.,题型四 倒序相加及综合应用,例4,f(x)对任意xR都有f
9、(x)+f(1-x)= .(1)求f( )和f( )+f( )(nN*)的值；(2)数列an满足:an=f(0)+f( )+f( )+f( )+f(1),数列an是等差数列吗？请给予证明;(3)令bn= ,Tn=b12+b22+b32+bn2,Sn=32- .试比较Tn与Sn的大小.,(1)因为f( )+f(1- )=f( )+f( )= ,所以f( )= ,令x= ，得f( )+f(1- )= ,即f( )+f( )= .,(2) an=f(0)+f( )+f( )+f(1),又an=f(1)+f( )+f( )+f(0),两式相加2an=f(0)+f(1)+f( )+f( )+f(1)+f
10、(0)= ,所以an= ,nN*,又an+1-an= - = .故数列an是等差数列.,(3) bn= = ,Tn=b12+b22+bn2=16(1+ + + )161+ + + =161+(1- )+( - )+( - )=16(2- )=32- =Sn.所以TnSn.,（1）如果一个数列an与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和；（2）关于数列前n项和的不等式，常转化为先求和，再放缩；或者先放缩变形，再求和.,已知数列f(x)=ax+b,当xa1,b1时，f(x)的值域为a2,b2，当xa2,b2时，
11、f(x)的值域为a3,b3,以此类推，一般的，当xan-1,bn-1时，f(x)的值域为an,bn，其中a、b为常数，a1=0,b1=1. (1)若a=1,求数列an、bn的通项公式； (2)若a0，求证：bn-an是等比数列.,(1)当a=1时,f(x)=x+b在R上是增函数,由已知,当xan-1,bn-1时,f(x)的值域为an,bn,所以an=f(an-1)=an-1+b,bn=f(bn-1)=bn-1+b,所以an、bn都是公差为b的等差数列，所以an=(n-1)b,bn=(n-1)b+1.(2)证明:当a0,且a1)的图象上一点.等比数列an的前n项和为f(n)-c.数列bn(bn0
12、)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1= + (n2). (1)求数列an和bn的通项公式； (2)若数列 的前n项和为Tn,问Tn 的最小正整数n是多少?,(1)因为f(1)=a= ,所以f(x)=( )x.a1=f(1)-c= -c,a2=f(2)-c-f(1)-c=- ,a3=f(3)-c-f(2)-c=- .因为数列an是等比数列，所以a1= = =- = -c，所以c=1.又公比q= = ，所以an=- ( )n-1=-2( )n(nN*).,因为Sn-Sn-1=( - )( + ) = + (n2),又bn0, 0,所以 - =1.所以数列 是一个首项为1，公差为1的等差数列，所以 =1+(n-1)1=n，则Sn=n2.当n2时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.而b1=1也适合上式.所以bn=2n-1(nN*).,(2)Tn= + + + = + + + = (1- )+ ( - )+ ( - )+ ( - )= (1- )= .由Tn= ,得n .故满足Tn 的最小正整数为112.,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,
