1、发 展 历 程,初识哈尔 (Haar),1,重温傅立叶 (Fourier),2,邂逅马拉特 (Mallat),3,3,拜访道太 (Daubechies),4,4,取经斯维尔登 (Sweldens),5,小试三角网格,6,重 温 傅 立 叶,乍看小波,重 温 傅 立 叶,用傅立叶变换分析地震波和岩层的结构,地震波的到达时间反映了反射岩层的位置,地震波的振动频率反映了岩层的精细结构,重 温 傅 立 叶,傅立叶变换：将信号表示成一组正弦和余弦之和,重 温 傅 立 叶,傅立叶变换：将信号表示成一组正弦和余弦之和,重 温 傅 立 叶,傅立叶变换：将信号表示成一组正弦和余弦之和,重 温 傅 立 叶,傅里叶
2、变换是否胜任分析岩层的任务？地震波的振动频率地震波的到达时间傅立叶变换只能提供频率信息！不具有时-频分析能力,重 温 傅 立 叶,窗口傅立叶变换,重 温 傅 立 叶,窗口傅立叶变换,时间分辨率：差频率分辨率：好,时间分辨率：好频率分辨率：差,时间分辨率：中频率分辨率：中,为了实现很好的时-频局部化分析，需要用窄的时域窗来反映信息的高频成分，用较宽的时域窗来反映信息的低频成分,重 温 傅 立 叶,窗口傅立叶变换的不足窗口的大小和形状是固定的，没有自适应性海森堡测不准原理没有任何一种窗口傅立叶变换，能使时间分辨率和频率分辨率同时达到任意小只能牺牲时间分辨率来换取频率分辨率，或者以频率分辨率换取时间
3、分辨率,重 温 傅 立 叶,用傅立叶变换分析非平稳的信号Gibbs (吉布斯)效应傅立叶变换对非平稳信号的稀疏表示和分析不强！现实世界中，很多信号都是非平稳的，如语音、视频等,初 识 哈 尔,小波函数的定义设 ，即 为一平方可积函数，若其傅立叶变换 满足条件 示例,则称 为一个基本小波或小波母函数，该式称为小波函数的可容许条件。,初 识 哈 尔,小波函数的定义小波母函数的特点小：在时域和频域都具有紧支集或近似紧支集 波动性：必具有正负交替的震荡波形,初 识 哈 尔,连续小波基函数的定义将小波母函数 进行伸缩和平移可得 通常 称为依赖于参数 和 的小波基函数， 、 分别被称为尺度因子和平移因子。
4、它们是由同一母函数经过伸缩和平移后得到的函数族。,初 识 哈 尔,连续小波变换将 空间中任意函数 在小波基下展开，称这种展开为函数的连续小波变换：与窗口傅立叶变换的比较支集Wave与Wavelet窗口的影响,初 识 哈 尔,1909年，哈尔利用Haar函数给出了一个规范正交系统，用来表示定义在实数域上的平方可积函数空间Haar尺度函数 (Scale Function)的定义,初 识 哈 尔,令所有能用尺度函数线性表示的函数组成的集合为 是所有不连续点仅在整数集中的分段常量函数所组成的集合（空间）,初 识 哈 尔,令所有能用 线性表示的函数组成的集合为 是所有不连续点仅在半整数集中的分段常量函数
5、所组成的集合（空间）,初 识 哈 尔,设j是一非负整数，所有能用 线性表示的函数组成的集合为 是一分段常量函数空间，其间断点在下列集合中,初 识 哈 尔,Haar尺度函数的性质一致单调性：伸缩完全性： 当且仅当 当且仅当平移不变性：渐进完全性：正交基存在性： 是 的一个标准正交基,初 识 哈 尔,上述所有的子空间 称为由同一 经伸缩后的平移系列张成的多分辨率的尺度空间,初 识 哈 尔,空间 的构造：设 为某个函数 及其平移系构成 是 的成员，即 与 正交：满足上述条件的一个函数为Haar小波函数,初 识 哈 尔,空间 的构造：设 为某个函数 及其平移系构成 是 的成员，即 与 正交：满足上述条
6、件的一个函数为Haar小波函数同理，空间 是由形如 的函数构成的 能被分解为无限个正交直和,初 识 哈 尔,的多分辨率分析 (Multi-Resolution Analysis) MRA为正交小波基的构造提供了一个简便方法为小波的分解与重构提供了快速算法，即Mallat算法,V4分量,W7分量,V8分量,V7分量,邂 逅 马 拉,Mallat算法由 可知：j尺度空间的剩余系数 和小波系数 可由尺度空间的剩余系数 经滤波器系数 和 加权求和得到 小波分解算法,邂 逅 马 拉,Haar小波变换举例确定滤波器系数 可知令 ，计算 、 、 和,Haar小波变换举例令 ，计算 、 、 和,邂 逅 马 拉
7、,拜 访 道 太,正交小波的分类非紧支集正交小波：除了Haar小波外，很多尺度函数和小波函数的支集都是无限的，实际应用中不得不将相应的滤波器系数截断 紧支集正交小波：滤波器对应的正交小波是有限支撑的函数。Daubechies于1988年首先提出了紧支集正交小波的构造方法 除Haar小波外，紧支集正交小波不可能具有线性相位。具有线性相位特性的充要条件是滤波器的冲击响应关于它们的中心点对称 滤波器的对称性与精确重构也是互不相容的在紧支撑、正交性、光滑性、精确重构、线性相位等性质之间进行折衷，适当放宽对正交性的限制,拜 访 道 太,双正交小波举例双正交(1,5) 小波图像,拜 访 道 太,小波构造过
8、程的三个阶段 代数阶段：选择合适的滤波器组来实现快速小波变换 分析阶段：考察与所选滤波器组对应的小波函数的存在性、稳定性和正交性，以及小波函数在时间域特性，诸如振荡性等 几何阶段：分析小波函数的正则性第一代小波的不足在一些特殊的应用场合，比如曲线和曲面分析、加权数值逼近、非均匀采样的数据分析等，不同尺度下的尺度函数和小波函数之间并不是简单的伸缩和平移关系传统的基于傅立叶变换的小波构造方法不再有效,取 经 斯 维 尔 登,提升小波变换的基本步骤 分裂：将输入信号划分成两个样本集合。常用的划分方法是将信号分解为偶数样本集合 和奇数样本集合 ，这称为惰性小波变换 预测：减少两个样本集合间存在的冗余。
9、用 通过某个预测算子P来预测 ，进而产生幅值较小的误差系数更新：为了使某一全局性质得以保持，比如需要原始信号的平均值与 的平均值相同，通过一个算子U对 进行更新,取 经 斯 维 尔 登,提升方案5/3小波正向变换举例预测算子更新算子s0 = 99 101 95 98 93 105 100 98 93 87 90 92d1,l= s1,l= ,4,4,8,1,-5,2,101,97,96,102,92,89,取 经 斯 维 尔 登,提升方案5/3小波逆向变换举例逆更新算子逆预测算子s0 = 101 4 97 4 96 8 102 1 92 -5 89 2s0,2l= s0,2l+1= s0 =
10、99 101 95 98 93 105 100 98 93 87 90 92,101,98,105,98,87,92,99,95,93,100,93,90,取 经 斯 维 尔 登,提升方案5/3小波的名称由来,x2n+2,x2n,x2n+1,x2n+3,x2n+4,dn,dn+1,sn,sn+1,sn+2,1,1,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,1,1/4,1/4,-1/8 1/4 3/4 1/4 -1/8,-1/2 1 -1/2,1/4,1/4,取 经 斯 维 尔 登,提升方案Haar小波正变换x = 99 101 95 98 93 105 100 98 93 87 90 92s0
11、= 99 95 93 100 93 90 d0 = 101 98 105 98 87 92d1 = 2 3 12 -2 -6 2s1 = 100 97 99 99 90 91 ,取 经 斯 维 尔 登,提升方案9/7小波正变换,取 经 斯 维 尔 登,提升方案小波的优势变换速度更快可以实现原位运算(in-place calculation) 构造过程中不需要傅立叶变换的辅助 精确重构 正向小波变换和逆向小波变换的结构几乎相同 应用范围更加广泛,小 试 三 角 网 格,将小波应用于三角网格的案例来源文献：P. Schrder and W. Sweldens. Spherical wavelets
12、: efficiently representing functions on the sphere. In: Proc. SIGGRAPH, 1995, pp.161-172.,小 试 三 角 网 格,将小波应用于三角网格的案例,小 试 三 角 网 格,将小波应用于三角网格的案例,小 试 三 角 网 格,将小波应用于三角网格的案例来源文献： Ingrid Daubechies and Igor Guskov and Peter Schrder and Wim Sweldens. Wavelets on Irregular Point Sets. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 1999, vol.357, 2397-2413.,二 维 小 波 分 解,小波变换的总体流程,超 小 波 分 析,后小波时代的发展脊波曲波轮廓波梳状波剪切波,
