1、1基本不等式一. 基本不等式公式： ，常用 (0,)2abab2ab升级版： 2,R选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二考试题型【题型 1】 基本不等式求最值求最值使用原则：一正 二定 三相等一正： 指的是注意 范围为正数。,ab二定： 指的是 是定值为常数三相等：指的是取到最值时 ab典型例题：例 1 .求 的值域(0)2yx分析： 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解： 1()2yx00xx()2xx得到12(,y2例 2 .求 的值域12(3)yx解： （“添项” ，可通过减 3 再加 3，利用基本不等式后可出现定值）3x12()630x12(3)x， 即26y6,y
2、例 3.求 的值域sin(0)xx分析： 的范围是 ，不能用基本不等式，当 取到最小值时， 的值是 ，但i(,1)ysinx2不在范围内2解：令 sin(0,1)txt，是对钩函数，利用图像可知：2yt在 上是单减函数，所以 ， （注： 是将 代入得到） (0,1)23t1t(3,)y注意：使用基本不等式时，注意 取到最值， 有没有在范围内，yx如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。3例 4求 的值域21(2)xyx分析：先换元，令 ，其中,0tt2xt解：22()()1616ttty t1028ttt,)y总之：形如 的函数，一般可通过换元法等价变形化为2(0,)cxdf
3、yacb pyt型函数，要注意 t 的取值范围；()p为 常 数【失误与防范】1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用重要不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定” “等”的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致【题型 2】 条件是 或 为定值，求最值（值域） （简）ab例 5若 且 ，则 的最大值是_0,xy18xxy解析：由于 ，则 ，所以 ，则 的最大值为,218xyxy81例 6已知 为正实数，且满足 ，则 的最大值为
4、_,xy43xy解析： ， 当且仅当 即 时，432y123x4312xy3x取得最大值 .xy例 7已知 ，且 ，则 的最小值为_0,mn81mn解析： ， ，当且仅当 时，等号成立,29n4总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型 3】 条件是 或 为定值，求最值（范围） （难）ab1方法：将 整体代入1例 8.已知 且 ，则 的最小值是_0,xy1xxy解析： 1()224yxyxxy所以最小值是 4例 9. 已知 ， ，则 的最小值是_0,ab2a14yab解析： 21则 142()2abaabb52529aba所以最小值是 9例 10.已知 ，且 求 的最小值是_0,xy12,x
5、yxy解析： 12,xy则 2()14yx259yx从而最小值为 95【题型 4】 已知 与 关系式，求取值范围ab例 11. 若正数 满足 ，求 及 的取值范围,ab3ab解析：把 与 看成两个未知数，先要用基本不等式消元解：求 的范围 （需要消去 ：孤立条件的 将 替换）ababab2ab ，33 2ab （消 结束，下面把 看成整体，换元，求 范围）3ababab令 ，则 变成(0)tbt3223tt解得 或 （舍去） ，从而319ab求 的范围 （需要消去 ：孤立条件的 将 替换）ab 2()abab， 32,ab（消 结束，下面把 看成整体，换元，求 范围）2ababab令 (0)tt则有 ， ， ，得到 或 （舍去）23tt241tt410t6t2t得到 6ab
