1、1复合函数问题一、复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知 的定义域，求 的定义域fx()fx()思路：设函数 的定义域为 D，即 ，所以 的作用范围为 D，又 f 对 作用，作用范f gx()围不变，所以 ，解得 ，E 为 的定义域。g)( g例 1. 设函数 的定义域为（0 ，1） ，则函数 的定义域为 _。fufx(ln)解析：函数 的定义域为（0，1 ）即 ，所以 的作用范围为（0，1）u0， f又 f 对 lnx 作用
2、，作用范围不变，所以 1l解得 ，故函数 的定义域为（1，e）xe()， fx(ln)例 2. 若函数 ，则函数 的定义域为_。ff()解析：先求 f 的作用范围，由 ，知x()1x即 f 的作用范围为 ，又 f 对 f(x)作用所以 ，即 中 x 应xR| fRfx()()且 1f()满足 即 ，解得xf1()x1x12且故函数 的定义域为fR|且（2 ） 、已知 的定义域，求 的定义域gx()fx()思路：设 的定义域为 D，即 ，由此得 ，所以 f 的作用范围为 E，又 f 对 x 作f gxE()用，作用范围不变，所以 为 的定义域。xE， fx()例 3. 已知 的定义域为 ，则函数
3、 的定义域为_。f()3212， fx()解析： 的定义域为 ，即 ，由此得x， x， 3215x，所以 f 的作用范围为 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以15， ，2即函数 的定义域为 例 4. 已知 ，则函数 的定义域为-fx()15， fxx()lg2248fx()解析：先求 f 的作用范围，由 ，知fxx()lg224820解得 ，f 的作用范围为 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 ，x24()， x()4，即 的定义域为f()()， （3 ） 、已知 的定义域，求 的定义域fgfhx()思路：设 的定义域为 D，即 ，由此得 ， 的作用范围为 E，又 f 对 作x
4、()gxE()f hx()用，作用范围不变，所以 ，解得 ，F 为 的定义域。hEfh例 5. 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为_。fx()21， (lo)2解析： 的定义域为 ，即 ，由此得fx()， x1， 12x，的作用范围为 ，又 f 对 作用，所以 ，解得f12，log2log2x， x24，即 的定义域为fx(log)24，评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有 “得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题（ 1）引
5、理证明已知函数 .若 在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(xgfy)(xguba,(在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 在区间 ）上是增函数.)(ufy )(xgfyba,(证明：在区间 ）内任取两个数 ，使ba, 21,21因为 在区间 ）上是减函数，所以 ,记 , 即x,()1xu)(2xgu),21,21dc且3因为函数 在区间(c,d)上是减函数，所以 ,即 ，)(ufy )(21uff)()(21xgff故函数 在区间 ）上是增函数.xgba,(（2 ） 复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： )(
6、ufy增 减 xg增 减 增 减 )(fy增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3 ）、复合函数 的单调性判断步骤：)(xgf 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数： 与 。)(ufy)(xg 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函)(xgfy数），则复合后的函数 为减函数。)(xgfy（4 ）例题演练例 1、 求函数 的单调区间，并用单调定义给予证明 奎 屯王 新 敞新 疆)32(lo
7、1解：定义域 102 xx或单调减区间是 设 则 ),3(221),3(,且log121y )3log21y=)(2x)(2x)(x 312010124 又底数 )32(1x)32(x120 即 0y1y 在 上是减函数 奎 屯王 新 敞新 疆),(同理可证： 在 上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆),例2、讨论函数 的单调性.)23(log(xxfa解由 得函数的定义域为0123.,|x或则当 时，若 ， 为增函数， 为增函数.ax123xu )123(log)(xxfa若 ， 为减函数.312 为减函数。)1(log)(fa当 时，若 ，则 为减函数，若 ，则0x)123(log(xxfa
8、 31x为增函数.)23(l)(xfa例 3、.已知 y= (2- )在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.alogx解：a0 且 a1当 a1 时，函数 t=2- 0 是减函数x由 y= (2- )在0，1上 x 的减函数，知 y= t 是增函数，lx aloga1由 x 0，1时，2- 2-a0,得 a2,xa1a2当 00 是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆x由 y= (2- )在0，1上 x 的减函数，知 y= t 是减函数，alogx alog0a1 奎 屯王 新 敞新 疆由 x 0，1时，2- 2-10, 0a1x综上述，0a1 或 1a2 奎 屯王 新 敞新 疆例 4、已
9、知函数 （ 为负整数）的图象经过点 ，设2)3()(2axf Rm),02(.问是否存在实数 使得 在区间 上是减函),()( fxpgFxfg )0(p)(xFf数，且在区间 上是减函数？并证明你的结论。)0,(f解析由已知 ，得 ，2m2)3(2ama5其中 即 ，.0,aRm0923a解得 .713721 为负整数，aa ，1)2(34)( xxf即 ，.12 242)() xfg .()(4pfpF假设存在实数 ，使得 满足条件，设 ，)0)(xF21x .()( 212121 xx ，当 时， 为减函数，3f )3,)( ，0)(21F .01,02121 pxp , ,x8x ,6
10、)(21pp .06当 时, 增函数,)3(,21x(xF.0)(21xF , ,62)21pp . 06由、可知 ，故存在6.1一指数函数与对数函数 同底的指数函数 与对数函数 互为反函数；xyalogayx（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方法有：以 和 为桥梁；利用函数的单调性；作差0（三）例题分析：例 1 （1 ）若 ，则 ， ， 从小到大依次为 ；21ablogbalbloga（2）若 ，且 ， ， 都是正数，则 ， ， 从小到大依次为 ；35xyz
11、xyz2x3y5z（3）设 ，且 （ ， ） ，则 与 的大小关系是 （ ）00b（ ） （ ） （ ） （ ）AB1CD1ab解：（1）由 得 ，故 21abalogblbaloga6（2 ）令 ，则 ， ， ， ，35xyzt1lg2txl3tylg5tz ， ；2lgl(98)03lt2xy同理可得： ， ， （3）取 ，知选（ ） 0xz5xzyz1B例 2已知函数 ，2()1fa()求证：（1）函数 在 上为增函数；（2 ）方程 没有负数根,()0fx证明：（1）设 ，12x则 22() 1xfxfa，12 121 1223()x xxa ， ， ， ，12x00 ；3() ，且 ，
12、 ， ，121a12xa12x ，即 ，函数 在 上为增函数；()0fxf()ff()f1,)（2 ）假设 是方程 的负数根，且 ，则 ，0002xa即 ， 0 003(1)3xxa当 时， ， ， ，而由 知 ，0101x0312x1a0x式不成立；当 时， ， ， ，而 ，0x01x0300x式不成立综上所述，方程 没有负数根()f例 3已知函数 （ 且 ） log()xa1a求证：（1）函数 的图象在 轴的一侧；fy（2）函数 图象上任意两点连线的斜率都大于 () 0证明：（1）由 得： ，10x1x当 时， ，即函数 的定义域为 ，此时函数 的图象在 轴的右侧；a()f(,)()fxy
13、当 时， ，即函数 的定义域为 ，此时函数 的图象在 轴的左侧0函数 的图象在 轴的一侧；()fy（2 ）设 、 是函数 图象上任意两点，且 ，则直线 的斜率 ，1,Ax2(,)B()fx12xAB12ykx7，112212log()log()logxxxaaay 当 时，由（ 1）知 ， ， ，101120xxa ， ，又 ， ；120x2y2xk当 时，由（1）知 ， ， ，a1012xa120xx ， ，又 ， 12x220函数 图象上任意两点连线的斜率都大于 ()f8同步练习（二）同步练习：1、 已知函数 )x(f的定义域为 1,0，求函数 )x(f2的定义域。答案： ,2、 已知函数
14、 )23(f的定义域为 3,，求 )(f的定义域。答案： 9,3、 已知函数 )x(fy的定义域为 )0,1(，求 |)1x2(|f的定义域。答案： 23,1)0,(4、设 ，则 的定义域为（ ）xxflgxff2A. B. 4,0,4,1,C. D. 21 2解：选 C.由 得， 的定义域为 。故 ，解得0x()fx|x2,.x。故 的定义域为4,1,xxff24,1,5、已知函数 的定义域为 ，求 的定义域。)(xf )3,1()0()(axffxg解析由已知，有 .23,231,axax（1 ）当 时，定义域为 ；a|（2 ）当 ，即 时，有 ，23102a定义域为 ；|ax（3 ）当
15、，即 时，有 ，a2312a定义域为 .|x9故当 时，定义域为 ；1a231|ax当 时，定义域为0.|点评对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。练习二（5）同步练习：1函数 y （x 23x2）的单调递减区间是（ ）1logA （，1） B （2，）C （ ， ） D （ ，）3解析：先求函数定义域为（o，1 ）（2，） ，令 t（x ）x 23x2 ，函数 t（x）在（，1 ）上单调递减，在（ 2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y （x 2 3x2）在（2 ，）上单调递减lg答案：B2 找出下列函数的单调区间.（1 ） ；)1(23
16、ayx（2 ） .2答案：(1)在 上是增函数，在 上是减函数。,(),23（2 ）单调增区间是 ，减区间是 。113、讨论 的单调性。)0,(),logaayx且答案： 时 为增函数， 时， 为增函数。,0()0,(4求函数 y （x 25x4 ）的定义域、值域和单调区间31l解：由 （x）x 25x4 0，解得 x4 或 x1，所以 x（，1）（4 ，） ，当x （ ，1 ） （4 ，） ， x 25x 4R ，所以函数的值域是 R 因为函数y （x 25x4 ）是由 y （x ）与 （x） x25x4 复合而成，函数 y （x ）在3log31log 31log其定义域上是单调递减的，函
17、数 （x）x 25x 4 在（ ， ）上为减函数，在 ，上为25增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y （x 25x 4）的增区间是定义域内使 y31log（x ）为减函数、 （ x）x 25 x4 也为减函数的区间，即（ ，1） ；31log10y （x 25x4 ）的减区间是定义域内使 y （x）为减函数、 （x）x 25x4 为增函数31log 31log的区间，即（4，） 变式练习一、选择题1函数 f（x） 的定义域是（ ）)1(log2xA （1，） B （2，）C （，2） D (，解析：要保证真数大于 0，还要保证偶次根式下的式子大于等于 0，所以 解得 1x 2)(log12 x答案：D2函数 y （x 23 x2）的单调递减区间是（ ）1lA （，1 ） B （2，）C （， ） D （ ， ）23解析：先求函数定义域为（o，1 ）（2，） ，令 t（x ）x 23x2 ，函数 t（x）在（，1）上单调递减，在（ 2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y （x 23 x2）在（2，）上单调递减lg答案：B3若 2 （x 2y） x y，则 的值为（ ）llgxA4 B1 或 4C1 或 4 D错解：由 2 （x2 y） x y，得（x 2y） 2xy，解得 x4y 或 xy，则有 或lglg 411yx
