1、第 1 页（ 共 12 页）夹逼准则在求极限中的应用数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2008 级 敖欢指导教师 刘学文摘要：极限的思想方法贯穿于整个数学分析中，一些基本概念如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。极限是高等数学的理论基础和重要工具。不同形式的极限求解的方式各不相同，解题思路不同所得到的效果也是不一样的。本文主要举例讨论并分析夹逼准则的应用，特别是其在求极限中的应用。关键词：极限；夹逼准则；函数；数列Abstract：The thinking method of limit throughout the mathematical analysis, some basic
2、 concepts such as differential, integral and limit are inseparable links. Limit of higher mathematics is the theoretical foundation and important tool. Different forms of the solution to the limit the way is also different, different thoughts of solving the effect is not the same.This paper mainly d
3、iscussed by examples and analysis of squeeze rule applications, especially in the limit of application.Key words：Limit;Squeeze rule;Function;Series极限是从初等数学跨向高等数学的一座重要桥梁。在青少年阶段或者更早吸收了解极限先进思想和概念，无疑对他们的人生发展有着不可估量的影响。极限理论是数学分析的入门和基础，是人们把握无限的金钥匙。不论是函数的连续性、导数、定积分还是无穷级数这些数学分析的核心内容，无一例外地都是通过极限来定义和推演的。鉴于其在高等
4、数学中的特殊重要地位，极限亦成为数学考研的必考内容之一。极限概念最初产生于求曲边形的面积与求曲线在某一点处的切线斜率这两个基本问题。我国古代数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是用极限思想研究几何问题。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又第 2 页（ 共 12 页）割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。 ”他的这段话是对极限思想的生动描述。在我们高中阶段初步认识了极限，同时也接触了一些简单的求极限的方法。与以前不同的是：高等数学中，我们是从变化的过程认识极限的；我们是从逼近认识极限的；我们又是从不等式认识极限的。另一要注意的是在趋向极限的过程中，既有同向趋近，也有双向
5、趋近的。而且面临的极限不再是单一、简单的运算，可能会涉及更多的知识，运用更多的理论支撑。极限概念是微积分最基本的概念，微积分的其他基本概念都用极限概念来表达。极限方法是微积分的最基本的方法，微分法与积分法都借助于极限方法来描述，所以掌握极限概念与极限运算便是非常重要的了。求极限或证明极限的方法众多，灵活性强，题型也千变万化。在求极限时一些常用的方法，像利用两个重要极限，利用两个重要准则，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则等。不同形式的极限求解的方式各不相同，解题思路不同所得到的效果也是不一样的。中心问题无外乎两个：一是证明极限存在，二是求极限的值。人们在初学数学分析阶段却往往不易掌握各种解题方
6、法的思想实质，而难以融会贯通地处理形形色色不同的问题。函数是高等数学的主要研究内容，而极限又是研究函数的方法。因此，极限是高等数学的基础知识和主要内容。如何求数列极限、函数极限是教师和学生都共同关心的问题。本文通过举例，本文主要举例讨论并分析夹逼准则的应用，特别是其在求极限中的应用。定理 1 如果存在 0，使得当 0 0 时， x()fxg,并且 = , = ,则 = 。()hx0limx()fA0lix()h0limx()gA证明 如果对任何 n， n 0， n 0，并且可不妨假设 n （ 0， ） 0，O第 3 页（ 共 12 页）有 ( n) ( n) ( n)，fxghx以及 ( n)
7、 , Ah( ) ( ),由数列极限得：( n) ( )，gx这就证明了：( n) ( 0)。Ax此准则多适用于：所求极限的函数比较容易适当放大和缩小，且经过放大和缩小后的函数（或数列）易求得相同极限的情形。利用此准则可把所求极限转化为求放大和缩小后的函数（或数列）的极限。夹逼准则所适用的不等式可在充分大以后成立。利用夹逼准则求极限的关键在于，找到两个具有相同极限值的函数和 ，使得 ，这样所求函数 的极限就等于 和()fxh()fxg()hx()gx()fx的极限。下面将通过一些典型的例题探讨夹逼准则的应用，特别是它在求极限中的应用。1 夹逼准则在求极限中的应用1.1 含有乘方和（阶乘）形式的
8、函数这类函数的极限可用夹逼准则求解或证明。这类函数的自变量 （或 ）包nx含在幂指数、根指数或对数中，且有两处出现该自变量。为了利用夹逼准则，先用伯努利不等式: 1+ （其中 -1， 为任意自然数） ，或者(1)nppn=1+ + + ,若将它适当地放大或者缩小，这样就把(1)np2n（或 ）从幂指数、根指数或对数中 “去掉”了，然后就可以利用夹逼准则求x函数的极限了。第 4 页（ 共 12 页）例 1.1 证明 =0；limxn2!分析 记 = ，其自变量 包含在幂指数中，C其中分子分母均出现了自变量 。此时可以用伯努利不等式放n大、缩小，即0 。n2!4这样就找到左右两边均可直接求出极限，
9、并且它们的极限值相同，均等于 0。满足夹逼准则的应用条件。证明 因为 0 ，n2!4且 =0；limx4!n因此由夹逼准则得：=0。lixn2!例 1.2 计算 （ 1） ；limx! n分析 设 = h（ ）=1+ + + (1)2!nnh （0 1） ，记 = ，其自变量 包含在幂指数中，其中分子分母均出Cn! 现了自变量 。此时可以用伯努利不等式放大、缩小，即0 。! n2(1)h这样放缩后左右两端的极限均可以直接求出，并且它们的极限值相等，均等于 0。满足夹逼准则的应用条件。证明 设 = 1nh（ ）=1+ + + ()2!nh （0 1）1n从而有：0 ；! n2(1)h第 5 页（
10、 共 12 页）因为 =0，limx2(1)nh所以由夹逼准则知：=0。lix! n例 1.3 计算 limn32si(!)1分析 记 = ，其自变量 包含在幂指数、根指数中，Cn其中自变量 出现了两次。此时可以用伯努利不等式放大、缩小，即：0 = ，32sin(!)1321n31n于是： 。31n2si(!)1n3这样放缩后左右两端的极限均可以直接求出，并且它们的极限值相等，均等于 0。满足夹逼准则的应用条件。解 由于 0 = ，32sin(!)1321n31n即是 ，31n2si(!)1n3而且 = =0，lim3()lin所以由夹逼准则得：=0。lin32si(!)11.2 已知或者容易
11、求出双向不等式的数列（或者函数） ，可以用夹逼准则求它的极限。例 1.4 求极限 ( + + )。limn212n2n分析 记 = ，易知 关于 单调递增，C21k2k即得 21n2n当 + 时，上式左、右两端各趋于 0 和 1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩。第 6 页（ 共 12 页）解 对 各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变。21nk就得如下不等关系：= = 12()n21nkC21nk2(1)n令 + 时，上式左、右两端各趋于 ，由夹逼准则可得：( + + )=limn21n2n2n12例 1.5 证明 （ + + ）=1。lix212nn分析 记 =
12、 ，易知 关于 单调递减，C12nk21k即得 2n21n当 + 时，上式左、右两端均趋于 1，满足夹逼准则的应用条件。证明 由于 + + ，2n21n221n21n而且 =1；limx2n=1；x21故由夹逼准则知：（ + + ）=1。limx21n221n例 1.6 求极限 （ + + ）limn212 21n分析 记 = ，易知 关于 单调递减，C21k2kn即得 2n21n当 + 时，上式左、右两端均趋于 0，满足夹逼准则的应用条件。解 由于 + + 2n212n21n21而且 = ，2n1又 = =0。limn1lin21第 7 页（ 共 12 页）于是由夹逼准则知：（ + + ）=
13、0。limn212n21n例 1.7 设 = ，求 。x3limnx分析 因为 =n1n=3 ，112()n记 = +1。C(12)3n由于对于任意的自然数 有：0 1，(2)3n所以 1 3。(2)13n两边同时乘以 得： +1 n再两边分别求 方根得：3 312n13n当 + 时，上式左、右两端均趋于 3，此时可以运用夹逼准则求解。解 因为 =3 ，nx112()3n对任意的 有：1 3(2)13n所以：3 3 ；12n1n又因为 3 =3，所以由夹逼准则知：limnn=3。x1.3 对于含有较多乘除因子的数列，我们可以通过夹逼准则去分析。例 1.7 设 = , = ,12x134= ,n
14、x35(n)246 求 。limn分析 记 = ,显然 单调递减且恒正。U135(2n1)246 U第 8 页（ 共 12 页）故 的存在性毋庸置疑，但单调有界原理对于我们求limnU收敛数列的极限没有帮助。现在采用放缩法证明。证明一 因为： = ，所以：n135(2n1)246 2462n357(+1) 2 =Un135()46 7(+) n即得： ，12n12n并且 （ ）=0 ；lim=0；n12所以由夹逼准则得：=0linU证明二 除了上述证法，我们若能联想到公式= 20sinxd135(2n1)46 2再由 =0lm20in（因为 0，由于 1， ，使得当 时， cos2NnNcos
15、2n当 时， = +nNI0inxd2sinxd( ) +2i() + ）cosn便可取得要证结论。证明三 我们也可以用数学归纳法证明当 =1 时，n = ，不等式成立。1213设 = 时，不等式成立，k即是 ，5(21)246k 21k则对 = +1 时，有：n = 135(1)2462k 21k212()3k（ ） 13k第 9 页（ 共 12 页）因为（2 +1）(2 +3)= k2483k =2k所以： = ，135(21)246+k 123k1()k根据数学归纳法，对任意的自然数 ，有 。nnx12又由于 0 ，x12并且 =0，limn12所以由夹逼准则知：=0。linx1.4 极
16、限号下函数含有取整函数，其极限可用夹逼准则求之。极限号下函数含有取整函数 = 时，常用该函数满足的不等式：yx +1 或 1 ,然后根据夹逼准则求其极限。xx例 1.8 计算极限 。limx分析 根据取整函数的性质可得：1 ，x再通过 的取值范围，分段讨论。即：x当 0, ,即是 1 1；1xx当 0， ，即是 1 1；由于当 + 时， （1 ）=1，limxx此时可以用夹逼准则求解。解 因为 1 ，得到：（1）当 0, ,x1xx即是 1 1；（2）当 0， ，1xx即是 1 1；因为当 + 时，有 （1 ）=1，limxx第 10 页（ 共 12 页）=1， =1limxlix所以由夹逼准
17、则得到：故 =1。lix例 1.9 计算 ( 0， 0);0limxb分析 根据取整函数的性质可得： 1 （x0） ,bxxb又由于 0 ，各项乘以 ，得：x ；bxb又 （ ）= ，0limxx满足夹逼准则，此时可运用此准则。解 因为 1 （x0）,bxxb当 0 时，各项乘以 ，得： ；bxb又 （ ）= ，0limx于是由夹逼准则得到： = 。0lixbx以上通过一些典型的例题探讨了夹逼准则在极限计算中夹逼准则的应用。但是夹逼准则的运用远不止于此，它的运用范围非常广。2 夹逼准则的其他应用领域2.1 用夹逼法求方程的近似解在解决实际问题时常常需要求一个方程的实根，但除了一些简单的方程，大都很难求它的准确解。因此求方程的近似解在数学的应用上具有重大意义。下面介绍一种新的求方程近似解的方法，成为夹逼法。此法比已有的方法如二分法、切线法、弦位法具有逼近更快、更准的特点，并且能够进行误差估计。
