1、LyleRen 第 1 页 共 3 页关于求函数 最小值的十种解法01xy一、 均值不等式， ，当且仅当 ，即 的时候不等式取到“=” 。0x21xyx1当 的时候， min二、 法0112yxxy若 的最小值存在，则 必需存在，即 或 （舍）422y找到使 时，存在相应的 即可。2yx通过观察当 的时候，1x2miny三、单调性定义设 210x 2121212121 xxff 211x当对于任意的 21,x，只有 时， ， 此时 单调递增；,0ff0f当对于任意的 ，只有 时， ， 此时 单调递减。21x21xx当 取到最小值，1xminfy四、复合函数的单调性 2xxy在 单调递增， 在
2、单调递减；在 单调递增t1,02ty0,0又 x,tx,1,t原函数在 上单调递减；在 上单调递增10LyleRen 第 2 页 共 3 页即当 取到最小值，1x21minfy五、求一阶导 2xyxy当 时， ，函数单调递减；当 时， ，函数单调递增。1,00,1x0y当 取到最小值，21minfy六、三角代换令 ， ，则tanx2,0cotxsincott1y,02,0当 4，即 时， ， ，显然此时12sinmax2iny1x七、向量， baxxy11,bxbacoss2根据图象， 为起点在原点，终点在 xy图象上的一个向量， 的几何意义为0xcosa在 上的投影，显然当 时， 取得abb
3、最小值。此时， ，1x2miny八、图象相减，即 表示函数 和 两者之间的距离xxyyxy1求 ，即为求两曲线竖直距离的最小值minLyleRen 第 3 页 共 3 页平移直线 ，显然当 与 相切时，两曲线竖直距离最小。xyxy1关于直线 轴对称，若 与1xy在 处有一交点，根据对称性，在xy处也必有一个交点，即此时 与10xy相交。显然不是距离最小的情况。xy所以，切点一定为 点。1,此时， ， 2miny九、平面几何依据直角三角形射影定理，设 ，则xEBA1,xAD1显然， 为菱形的一条边，只用当 ，即 为直线 和 之间的距离时，x1BC取得最小值。即四边形 为矩形。CD此时， ，即 ，x12miny十、对应法则设 tfmin2x21， ，对应法则也相同,0,0xtfmin221122xfx左边的最小值 右边的最小值（舍）或2tt t当 ，即 时取到最小值，且2xP12miny
