1、对数运算和对数函数对数的定义若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真(0,1)xaNa且 xaNlogaxNN数负数和零没有对数。对数式与指数式的互化： 。log(0,1)xax常用对数与自然对数常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 ） lgN10lolnNle2.78对数函数及其性质函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ayx1)1a01a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时，(1,0)1x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况log1()l0aaxlog01()laax变
2、化对图象的影响a在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高。01 xyO(,)xlogyx01 xyO(,)xla类型一、对数公式的应用1 计算下列对数3log6l22 31log2l 2lg5610lg48)4(l32 )2log)(l3o( 9843log23log2 16lo7g3 9l5l3cba842lll 209lg4l 3lg84225.0og15 25 )65(lo(lo22 解对数的值：0 1)2(lgl-118l73l4l的值 014log2l+(lg2l5)8提示：对数公式的运算 如果 ，那么0,1,0aMN（1）加法： （2）减法： logllog(
3、)aaalogllogaaaMN（3）数乘： （4） （5） nnRlNlog(0,)bnabnR（6）换底公式： （7） （8）llog(0,1)baN且 1logaba bal1l类型二、求下列函数的定义域问题1 函数 的定义域是)13lg(1)(2xxf )1,3(2 设 ，则 的定义域为 f2l xff24,1,3 函数 的定义域为（ ）34()lg(1)xf1,0(),提示：（1）分式函数，分母不为 0，如 。,xy（2） 二次根式函数，被开方数大于等于 0， 。0,（3）对数函数，真数大于 0， 。0,logxya类型三、对数函数中的单调性问题1 函数 的单调递增区间为（ ）2()
4、lg43)fxx)1,(2 函数 的单调递增区间是 15n53 函数 的递增区间是（ ）)2(lo25.0xy )1,(4 已知 3lg,981fx，则 fx的最小值为（ -2 ）5 若函数 在区间 上是增函数， 的取值范围。2lo()yax(,3)a23,6 不等式 的解集为 )g327 设函数 ，且 满足 ，求 的最大值。12.22lo4lgfxx 24170xfx提示：（1）在对数函数中 中，当 ， 在其定义域上是增函数；当 ， 在falo)()(f 01a)(xf其定义域上是减函数。（2）在复合函数 中，函数的单调性复合同增异减。)(lg)(xfa类型四、对数函数中的大小比较1 已知
5、，比较 ， 的大小。log4lmnn01mn2 已知 ，比较 的大小关系 4log,3,2543cba cba, abc3 设 3l,l,2，则 的大小关系 ,4 若 ， ，则 B （A） （B） （C） （D）01ccbaloglccloglcbbac5 若 ，且 ，则 与 之间的大小关系是（ ）1ayxyaxlogx 0yx提示：在 比较大小题型中，当 ， ；当 ， 。byal1a0y1a1类型五、对数函数求值问题1 已知函数 ，若 ，则 2xflg)()(f )(22bff2 解方程 或08log9ol 32228x413 已知 ,若 ， ，则 ， 。 1ba5llaba ab 2,ba
6、4 已知函数 ，若 ，则 的值为_0_g)(32xxf 4)201(f )201(f提示：在对数函数求值过程中，主要用到对数公式类型六、对数函数中的分段函数问题1 设函数 ，则 的值为（ 2 ）123 log xef x， ， f2 已知 则 _7_.2()0lxf， ， ， 21(8)log)4f3 已知函数 ()f满足：当 ，则 fx (x；当 时 ()fx 1)f，则 2(log3)f 144提示：分段函数中涉及到对数公式，需要注意函数的定义域问题类型七、对数函数中含参数问题1 若 ，则 的取值范围是 12loga4+，2 若关于 的方程 的所有解都大于 1，求 的取值范围。x)lg(2
7、axa)10,(3 函数 ，当 时， ，则 的取值范围是（ 0l)(fa且 ),|)(|xf）212或4 设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 4()logafx,2a12a提示：对数函数中有参数以及求参数的取值范围，需要考虑对数函数的单调性，综合性很强。类型八、对数函数中的图像问题1 当 时，函数 和 的图象只可能是( )afal)(xf)1(2 函数 的大致图象是( )xxf2log)(3 图 2-2-2 中的曲线是对数函数 的图象，已知 取 四个值。则相应 的 值依xyaloga10,5344321,ca次为（ ）53,10,4提示：函数的图像题型，先看奇偶性再看单调性，然
8、后用特指排除。类型九、对数函数中的奇偶性问题1 若函数 是奇函数，则 。)2(log)(axxfaa22 若函数 为偶函数，则 1 lnf3 若函数 是偶函数，则 _ _.axexx13 a324 若函数 是偶函数，且在 上最大值为 2，则 的值 2mflog)( 4,ma提示：偶函数必有 ，然后求参数。)(ff类型十、对数函数中的绝对值问题1 已知函数 ，若 ，求 的取值范围xfln)(bfaa),(2 已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围是 )1g)(fb0（ ， ）3 已知函数 ,若 ,且 ,则 的取值范围是xfl)(0)(f2(3,)提示：已知对数函数 的图像，只需要把 轴下方的图像翻
9、到 轴上方。如果当 ，且falo)( xx)(bfa，必有 ，以及 。ba1,0ba类型十一、对数函数中的综合问题1 若函数 在 上的最大值和最小值之和为 ，则 a 的值为( 2 )(lg)(xxf ,02 若 ，则 的最小值为（ ）42log3oabab7433 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为（ ）Pxey1Q)2ln(xyPQ1ln4 已知两个函数 ， ，(1)若 ，在 的最大值为 18，求 值；(2)falg)(x)( )(xgfh4,a对任意的 时， ，求 的取值范围。 【答案】 （1） ；（2） 。 4,1xxaa),2)0(提示：对数函数中可以和不等式，单调性，导
10、数等进行综合，解答中需要多个知识点相结合多种考虑。习题类型一、关于对数公式的应用1 求下列各式中的 的值： x(1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ；（6）3x64192x125x17x2 )4(lg10(lo)9lg322 化简下列各式：(1) ；(2) ；(3) ；(4)51lg32lg4536lg274093lg70l120lg5l2(5) (6) (7) (8)4log3log54)()1( 2lolo4log7101.31 6lg3log2log14975 31log27log1log25943(9) ； (10) （11）)2l(l)l(l 9384 l8ll)3l(
11、4626 l283 设 ，且 ，则 25abm1abm104 计算 的值 2.31102log8 )8(2()3(64l3 5 计算： 的值 310log230.77l4lgl6g0.2 536 计算： 的值 1022202 31lgl516.A7 计算： -1)(log)4)(l(l 14218 计算： 的值是(0 )3l5llog5339 计算： 的值是( 2 )logl2)l2(l 32310 已知 为正数，且 ，求使 的值。 1zyx, 14yx yx11 已知 ， 是方程 的两个根，则 的值是（ 2 ）lgab202(lg)ab12 已知 ， ，且 ，则 与 的大小关系_ _4896
12、mnbn1.0.81.0.8ab13 设方程 的两个根分别为 ，求 的值0212x, 224)(log14 已知 ，求 的值。4)lg(lgyyyx2log15 实数 ，且 ， ，求 的值。1，5，9)(,cba)1l()l(1l2cab 1,2cbacba,16 已知 为正整数， 且 ，且 ，nm0a nmnmaa logl)(logog 求 的值。nm,2. ，类型二、对数函数的应用1 函数 的定义域是_ _ 2 函数 的定义域为 .)1(log)(2xf ,1( xxf6log21)(6,0(3 函数 的定义域是( ) 4 函数 的定义域_ _。4lf ,643f )4,3,5 若 ()
13、log()fxx，则 )fx的定义域为（ (, ） 6 函数 的定义域是( )7 求函数 的定义域)34l1)(5.0f 1,43( )23(log1l)(3xxf8 函数 的定义域为( ),10 2)lgxf ,9 函数 的定义域是（ ）10 函数 的定义域是（xf)2ln(),0(,1)23(log5)xfa） 11 函数 的定义域是（ 5,1(32 86log2)1(xxfx ),4(),1） 12 函数 的定义域是（ ）4)(log)5.02xxf ,013 函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是_ _(,1)(l2xf 4,214 函数 的定义域是（ ）4l)5.0xf 1,4(,0
14、15 函数 的定义域是（ ） 16 函数 的定义域是)16(log)()xxf )2,(, 12log)()3(xxf（ ） 17 函数 的定义域是（ ）,32,12log5xy2,518 已知函数 的值域为 ，则函数 的定义域是( )xf21log)(1,)f ,19 函数 的值域是（ ）l5.0y,(20 函数 的值域是( )ogx2521 函数 在 上的值域是( )f2l)(,411,22 函数 的值域是（ ）)3xy,323 函数 的值域是( ).log2 )2(24 函数 的值域是( ).)64xy,125 函数 的值域是( ).)64(log21xy 1,(26 函数 的单调减区间
15、是（ ）3,027 若函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围是)1,0( )(log)(3axxfa ),2(a)1,4328 已知函数 ，使 是单调增函数的 值的区间是( )22(xfx,129 如果函数 与 的增减性相同，则 的取值范围是_ _xf)(alog(a2(30 函数 的单调递减区间是_ _14log231y )2,(31 函数 是单调增函数的区间是( )(x,332 函数 在定义域上( A ) A是增函数 B是减函数 C先增后减 D先减后增l)axf33 已知 ，如果 ，则 的取值范围是 _ _10,b1)3logxb )4,(34 设偶函数 在 上单调递减，则 与 的大小关
16、系是（ A ）|lo)(fa,0(2bf1afA. B. C. D. 不能确定 )2)()2aff )()(35 函数 （ B ）|lgxyA. 是偶函数，在区间 上单调递增 B. 是偶函数，在区间 上单调递减)0,()0,(C. 是奇函数，在区间 上单调递增 D. 是奇函数，在区间 上单调递减, ,36 已知函数 )1lg()xf,若 1)(2(xff，求 的取值范围； 312x37 设 是奇函数，则使 的 的取值范围是（ ）2(xa0(,0)38 若 ，那么 满足的关系（ ）0lolnmnm, mn39 三个数 的大小关系是（ ）3g,130 3log1l3040 如果 ，那么下面不等关系
17、式中正确的是( )2llba 1ba41 设 ，则 的大小关系( )6log,og533ccba,c42 若 ，且 ，则下列不等式成立的是 C01（A） （B）21lab21logabab（C） （D）2logab 2l a43 若 ，则 的大小关系（ ）1 3()ln2llnxexbcx， ， ， ， cba,bc44 若 ， ， ，则 的大小关系（ ）0.52alog3b2lsin5ccba,abc45 设 2l,(),ee则 的大小关系,46 设 cba,均为正数，且 aa21log， bb21log， cc2log.则 的大小关系（ cba ba,）47 已知 则 的大小关系 324l
18、og0.log3.4log3.65,5cc,c48 若 ,则 的大小关系 ablnlln,abba49 已知 ，比较 的大小关系og43og432cc, c50 若 ，令 ，则 的大小关系( )dx1 )(logl)(l22 xxxaddd， a, cab51 已知 则 _ _.,0lne)(gx )31(g52 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）13og 2xf， 2faa31 ，53 已知函数 1),(log)(21xf,若 )(f,则 )1(f（ 2 ）54 函数 ，若 ,则 的值是（ 2）23l1xffa55 已知函数 则 _ _)(xf42xf， ，（ ） ， )3log2
19、(f12456 已知 ，那么 .732log(l)012x57 设函数 21log(,(),xf, 2()log1)ff( 9 )58 已知函数 ，且 ，则 =- 1)(log)(2xf 3)(af)6(af7459 已知函数 ，则满足不等式 的实数 的取值范围为 13,()l0xf 1()9fmf5log,91360 已知函数 ，若 ，求 的值log2)(81xxf 41)(xf61 函数 的最大值是_5_.224log(,)lyx62 若 ，则 _ _1l3 9163 若 ，使 ，那么 _10_)(log)(xf )(af64 若 ，使 ，那么 _2_123x5fa65 已知函数 ，求 的
20、值 xf5l)( )(32)(f2366 已知函数 ，若 则 = 11log2f ,f67 对数函数的图象过点(8,3)，则此函数的解析式为_ _xf2log)(68 设 且 ，函数 和 的图象关于( A )0axyalxyalogAx 轴对称 B y 轴对称 Cyx 对称 D原点对称69 已知函数 的图象关于原点对称，则实数 的值为_1_ xaxf1log)(270 已知函数 的图象关于原点对称，则实数 的值为_1_ x2a71 函数 的图象关于（ 原点 ）对称1lgxy72 若 ，则实数 的取值范围是( )2oaa,2()1,073 若 ，则实数 的取值范围是( )4(l 474 等比数列 的各项均为正数,且 ,则 ( 10 ) n56478a3132310logllogaa75 已知函数 是奇函数，当 时， ，且 ，则 点的值为（fx0x0,xf且 2l4f）376 函数 的图象关于 轴对称，且对任意 都有 ，若当 时，fxyxR3fxfx35 2，则 （ ）12f017f477 函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则()yfx3log(0)yxyx_ _。()f378 设 （ 且 ） ，若 （ ， ） ，则xalog01a1)()(21nxfxff Ri ni,21的值等于_3_。)()()(33231nffxf
