1、1对数函数知识点及典型例题讲解1对数：(1) 定义：如果 Nab)1,0(a且 ，那么称 为 ，记作 ，其中 a称为对数的底，N 称为真数. 以 10 为底的对数称为常用对数， N10log记作_ 以无理数 )7182.(e为底的对数称为自然对数， Nelog记作_(2) 基本性质： 真数 N 为 (负数和零无对数)； 01loga ； 1loga ； 对数恒等式： Nalog (3) 运算性质： log a(MN)_； log a NM_； log aMn ( nR). 换底公式：log aN ( a0， a1， m0， m1，N0) logl.mnab .2对数函数： 定义：函数 称为对数
2、函数， 1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当_时，函数为减函数，当_时为增函数；4) 函数 xyalog与函数 )1,0(ayx且互为反函数. 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当 10a时，图象向上无限接近 y 轴；当 1时，图象向下无限接近 y 轴)；4) 函数 ylog ax 与 的图象关于 x 轴对称 函数值的变化特征： 10a1a 且x 且1 且0x 且x 且1 且0x 2例 1 计算：（1） )32(log3（2）2(lg 2)2+lg lg5+ 12lg)(l;（3） 1lg 493- lg 8+lg 245.解：（1）方法一 利用
3、对数定义求值设 )32(log3=x, 则(2+ 3)x=2- = 321=（2+ ） -1,x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解 )2(log3= 32log 1= 32log(2+ )-1=-1.（2）原式=lg （2lg +lg5）+ 12lg)(l2=lg (lg2+lg5)+|lg 2-1|=lg +(1-lg 2)=1.（3）原式= 1（lg32-lg49）- 34lg8 21+ lg245= 2 (5lg2-2lg7)- 34 lg2+ (2lg7+lg5)= 5lg2-lg7-2lg2+lg7+ 1lg5= lg2+ 21lg5= 21lg(25)= 2lg10= .变式训
4、练 1：化简求值.（1）log 2 487+log212- 1log242-1;（2）(lg2) 2+lg2lg50+lg25;（3）(log 32+log92)(log43+log83).解：(1)原式=log 2 87+log212-log2 4-log22=log2 .23log21l48172（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=( .452lg63)2lg3l()lg23l 例 2 比较下列各组数的大小.（1）log 3 与 log5 6; （2）log 1.10.7 与 log1.20.7;（3）已知 log 21blog
5、 21alog 21c,比较 2b,2a,2c的大小关系.解：（1）log 3 log 31=0, 而 log5 6log 51=0,log 3 2log 5 6.(2)方法一 00.71,1.11.2,0 .1log.l7007, 2.1log.l7070,3即由换底公式可得 log1.10.7log 1.20.7.方法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象.如图所示两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7log 1.20.7.(3)y= x21log为减函数，且 cab212121logllog,bac,而 y=2x是增函数，2 b2 a2 c.变式训练 2
6、：已知 0a1,b1,ab1，则 loga bba1log,的大小关系是 （ ）A.loga bbalogl1 B. baa1logllC. aba1lllog D. baabl1logl解： C例 3 已知函数 f(x)=logax(a0,a1)，如果对于任意 x3，+）都有|f(x)|1 成立，试求 a 的取值范围.解：当 a1 时，对于任意 x3，+） ，都有 f(x)0.所以，|f(x)|=f(x),而 f(x)=logax 在3，+）上为增函数，对于任意 x3，+） ，有 f(x)log a3. 因此，要使|f(x)|1 对于任意 x3，+）都成立.只要 loga31=log aa
7、即可，1a3. 当 0a1 时，对于 x3，+） ，有 f(x)0,|f(x)|=-f(x). f（x）=log ax 在3，+）上为减函数，-f（x）在3，+）上为增函数.对于任意 x3，+）都有|f(x)|=-f(x)-log a3. 因此，要使|f(x)|1 对于任意 x3，+）都成立，只要-log a31 成立即可，log a3-1=log a 1,即 3, 31a1.综上，使|f(x)|1 对任意 x3，+）都成立的 a 的取值范围是：(1，3 31，1）. 变式训练 3：已知函数 f（x）=log 2(x2-ax-a)在区间（-,1- 上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围.解：
8、令 g(x)=x2-ax-a,则 g(x)=（x- a） 2-a- 42, 由以上知 g(x）的图象关于直线 x= 2a对称且此抛物线开口向上.因为函数 f(x)=log2g(x)的底数 21,在区间（-,1- 3上是减函数，4所以 g(x)=x2-ax-a 在区间（-,1- 3上也是单调减函数，且 g(x)0. 0)1()3(20)31( aag， 即解得 2-2 a2.故 a 的取值范围是a|2-2 3a2.例 4 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过 A、B 作 y 轴的平行与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.（1）证明:点 C
9、、D 和原点 O 在同一直线上；（2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.（1）证明 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x 2,由题设知 x11,x 21,则点 A、B 的纵坐标分别为 log8x1、log 8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以 2818loglx点 C、D 的坐标分别为(x 1,log2x1)、(x 2,log2x2),由于 log2x1= log81=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC 的斜率为 k1= 1812log3,OD 的斜率为 ,ll282x由此可知 k1=k2,即 O、C、D 在同一直线上.（2）解： 由于 BC 平行于
10、x 轴，知 log2x1=log8x2，即得 log2x1= 3log2x2,x2=x31,代入 x2log8x1=x1log8x2，得 x31log8x1=3x1log8x1,由于 x11,知 log8x10,故 x31=3x1,又因 x11,解得 x1= ,于是点 A 的坐标为（ 3，log 8 ).1处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类.4含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
