1、实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。二、典型题型1、数字问题例 1、有两个连续整数，它们的平方和为 25，求这两个数。例 2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是 6，如果把它的个位上的数字
2、 与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于 1008，求调换位置后得到的两位数。练习：1、两个连续的整数的积是 156，求这两个数。2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大 3，则这个两位数为 （ ）A. 25 B. 36 C. 25 或 36 D. -25 或-362、传播问题：公式：(a+x) n=M 其中 a 为传染源（一般 a=1） ，n 为传染轮数，M 为最后得病总人数例 3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 196 人患了流感，每轮
3、传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题 n(n-1)，双循环问题 n(n-1)和复杂循环问题 2n(n-3)21 21例 4、 （1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛 45 场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛 90 场比赛，共有多少个队参加比赛？例 5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手 66，请问参加会议的人数共有多少人？例 6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送 1 件，
4、全组共互赠了 182 件，设全组有 x 个同学，则根据题意列出的方程是（ ）A. B. C. D.182x182182x28x练习：1、甲 A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛 110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手 15 次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要 90 张照片,有多少人?4、平均增长率问题：M=a(1x) n ， n 为增长或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x为平均增长率或降低率例 7、某种商品，原价 50 元，受金融危机影响，1 月份降价 10，从 2 月份开始涨价
5、，3月份的售价为 64.8 元，求 2、3 月份价格的平均增长率。例 8、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？练习：1、恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率.2、从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精 5 升问每次倒出溶液的升数？5、商品销售问题例 9、某商店购进
6、一种商品，进价 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每件的销售价 X(元 )满足关系：P=100-2X 销售量 P，若商店每天销售这种商品要获得 200 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？例 10、益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？练习：1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）
7、 。当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元。 （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000 元。 （3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。 ”你认为对吗？请说明理由。2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情
8、况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克. 现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？6、面积问题例 11、如图，在宽 20 米，长 32 米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是 570 平方米，问道路应该多宽?例12、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽 。练习：1、一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm
9、,面积是 24cm2，两条直角边的长分别是 。2、为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多 14 米，面积是 3200 平方米则操场的长为 米，宽为 米。7、工程问题例 13、某公司需在一个月（31 天）内完成新建办公楼的装修工程如果由甲、乙两个工程队合做，12 天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用 10 天完成 （1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数 （2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000 元；如果请乙队施工，公司每日需付费用 1400 元在规定时间内：A请甲队单独完成此项工程出B 请乙队单独完成此项工程； C请甲、乙两队合作完成此项工程以上三种
10、方案哪一种花钱最少？练习：搬运一个仓库的货物，如果单独搬空，甲需 10 小时完成，乙需 12 小时完成，丙需15 小时完成，有货物存量相的两个仓库 A 和 B，甲在 A 仓库，乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙，最后两个仓库的货物同时搬完，丙帮助甲乙各多少时间？8、行程问题例 14、A、B 两地相距 82km，甲骑车由 A 向 B 驶去，9 分钟后，乙骑自行车由 B 出发以每小时比甲快 2km 的速度向 A 驶去，两人在相距 B 点 40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少?X2X练习：甲、乙二人分别从相距 20 千米的 A、B 两地以相同的速度同时相向而行，相
11、遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走 1 千米，结果甲到达 B 地后乙还需 30分钟才能到达 A 地，求乙每小时走多少千米9、银行问题例 15、王明同学将 100 元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行” ，到期后将本金和利息取出，并将其中的 50 元捐给“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共 63 元，求第一次存款时的年利率练习：某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1
12、320 元，求这种存款方式的年利率。 （利息税为 20%）动点几何问题例 16、如图，ABC 中，B=90 ，AB=6，BC=8，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动：（1）经过几秒，PBQ 的面积等于 8cm2；（2）PBQ 的面积会等于 10cm2 吗？会请求出此时的运动时间，若不会请说明理由例 17、已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm。某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB
13、方向以 1 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 出发沿 DA 方向以 2 的scm scm速度向 A 点匀速运动，则经过多长时间， AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的 ？9练习：已知：如图所示，在 中， .点 从点 开ABCcm7,5,90BCAPA始沿 边向点 以 1cm/s 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 2cm/s 的速度ABQ移动.（1）如果 分别从 同时出发，那么几秒后， 的面积等于QP, PQ4cm2？（2）如果 分别从 同时出发，那么几秒后， 的长度等于 5cm？（3）在（1）中， 的面积能否等于 7cm2?说明理由.课后作业：1、有一个两位数，它的十
14、位上的数字比个位上的数字小 2，十位上的数字与个位上的数字之和的 3 倍刚好等于这个两位数。求这个两位数。2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出 小分支。3、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182 件，这个小组共有多少名同学？4、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排 28 场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?5、为了绿化校园，某中学在 2012 年植树 400 棵，计划到 2014 年底使这三年的植树总数达到 1324 棵，求该校植树平均每年增长
15、的百分数。6、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为 70 元,不加收附加税时, 每年产销 100 万条,若国家征收附加税,每销售 100 元征税 x 元(叫做税率 x%), 则每年的产销量将减少 10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为 168 万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过 50 万条,问税率应确定为多少?国家征收的附加税金总额=香烟的销售额（即单价 销售量）征收的税率7、合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利40 元.为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取
16、适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出8 件.要想平均每天销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装因应降价多少元？8、在一幅长 80cm、宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，求需要金色纸边的宽是多少？9、如图所示，某小区规划在一个长为 40 m、宽为 26 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为 144 m2，求甬路的宽度.10、甲、乙两人都以不变
17、的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔 2 分钟相遇一次；同向而行，每隔 6 分钟相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑几圈？11、某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用 4 小时，两管同时开放 3 小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油 9 小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？12、王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行” ，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）13、如图，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB16cm，BC6cm，动点 P、Q 分别从点A 、C 同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，点 Q 以 2 cm/s 的速度向点 D 移动当点 P 运动到点 B 停止时，点 Q 也随之停止运动。问几秒后，点 P 和点 Q 的距离是10 cm？
