1、1幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是： （ ， 、 ，且 ）mna0amnN1负分数指数幂的意义是： （ ， 、 ，且 ）1n一、幂函数的定义一般地，形如 （ R）的函数称为幂孙函数，其中 是自变量， 是常数.如yxx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.11234,yx二、幂函数的图像幂函数 随着 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类nyx记忆的方法熟练掌握 ，当 的图像和性质，列表如下nyx12,3从中可以归纳出以下结论： 它们都过点 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不1,过第四象限 时，幂函数图像过原点且在 上
2、是增函数,2,3a 0, 时，幂函数图像不过原点且在 上是减函数1 2 任何两个幂函数最多有三个公共点 nyx奇函数 偶函数 非奇非偶函数1nO xyO xyO xy01nO xyO xyO xy0nO xyO xyO xy三、幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2）0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（3）0 时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数 y ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图x
3、象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即 0，0 1 和 1 三种情况下曲线的基本形状，还要注意 0，1 三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横” ，即 0（ 1）时图象是抛物线型；0 时图象是双曲线型； 1 时图象是竖直抛物线型；0 1 时图象是横卧抛物线型经典例题透析类型一、求函数解析式例 1.已知幂函数 ，当 时为减函数，则幂函数 _223()myx(0)x， y解析：由于 为幂函数，213所以 ，解得 ，或 21m2m1当 时， ， 在 上为减函数；233yx(0)，当 时， ， 在 上为常数函数，不合题意，舍去0()，故所求幂函
4、数为 3yx总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键类型二、比较幂函数值大小例 2.比较下列各组数的大小.(1) 与 ； (2) 与 .43135(2)35()解:(1)由于幂函数 (x0)单调递减且 ， .43yx1443.1(2)由于 这个幂函数是奇函数 . f(-x)=-f(x)35因此， ， ，而 (x0)单调递减，且 ，35(2)()3355()()35yx23 .即 .3522()总结升华：(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先
5、把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用 x0， 得到 x3 或 x3 时，u=(x-1) 2-4， 随着 x 的增大 u 增大，又 在定义域内为减函数，y 随着 u 的增大而减小，34y即 时， 是减函数，而 时，原函数为增函数.x，324()y1x，总结升华：1.复合函数的讨论一定要理清 x，u，y 三个变量的关系.2.对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量 x 的限制.举一反三【变式一】讨论函数 的定义域、奇偶性和单调性21()()mfN解：（1） 是正偶数，2是正奇数2m函数 的定义域为 ()fxR6（2） 是正奇数，21m，且定义域关于原点对称221(
6、) ()mfxxfx是 上的奇函数R（3） ，且 是正奇数，21021函数 在 上单调递增()fx)， 指对幂函数试题1.已知幂函数 f ( x )图像过点（2， ） ，则 f ( 4 ) = 2122.函数 与 的函数图象关于直线 对称，则 ylogyx()f43.求函数 的值域.143x解：令 ，则 ，故 ， 所以2t0t223(1)ytt0t2,)y4、设 ，则 的大小关系是 abc .log,.,223.0cbacba,5. ， ，则 _ _ 1(),xAyln,1ByxAB10,26、若函数 的反函数是 ，且 在1，2上的最大值与最小值之和)1,0afx )(g)(x为 ，则 .1a27、若 ，则实数 a 的取值范围是_ _log52(0,)1,)58、已知幂函数 的反函数的图像过 ，求函数 解析式为 ()fx,(fx9、 定义域是 ； 定义域是 1()3xf(0,)2()1log()fx(1,10、 （选）函数 的单调递增区间是 ，值域为 23xy(,)(0,411、已知 ，求 的最小值与最大值。3,x1()42xf7解：因为 ，令 ，则3,2x1,84xt22311(),84yttt故 .,574y
