1、1导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率:函数 在区间 上的平均变化率为: 。()fx12,x21()fxf2. 导数的定义:设函数 在区间 上有定义, ,若 无限趋近于 0 时,比值yf(,)ab0(,)ab无限趋近于一个常数 A,则称函数 在 处可导,并称该常数 A 为函数00()(fxfxy ()fx在 处的导数,记作 。函数 在 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。()f0 0()fx()fx03. 求函数导数的基本步骤:(1)求函数的增量 ;(2)求平均变化率:00()(yfxfx;(3)取极限,当 无限趋近与 0 时, 无限趋近与一个常数 A,则00(
2、)(fxfxx.0()fA4. 导数的几何意义:函数 在 处的导数就是曲线 在点 处的切线的斜率。由此,可以利用导数求()fx0 ()yfx0(,)fx曲线的切线方程,具体求法分两步:(1)求出 在 x0处的导数,即为曲线 在点 处的切线的斜率;()yf()f0(,)f(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 。0()yfx当点 不在 上时,求经过点 P 的 的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得0(,)Pxy()fx()yfx到切线方程,再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线 在点 处的切线平行与()yfx0(,)fxy 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程
3、为 。0x5. 导数的物理意义:质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 ,则 表示瞬时速度, 表示瞬时加速度。()St()VSt ()avt二、导数的运算1. 常见函数的导数:(1) (k, b 为常数); (2) (C 为常数);()kx0(3) ; (4) ; 2x(5) ; (6) ;32()x 21()2(7) ; (8) ( 为常数);1()2x 1()x(9) ; (10) ;ln(0,1)aalogl(0,1)lnaaeax(11) ; (12) ;()xe 1(ln)x(13) ; (14) 。sincos cosinx2. 函数的和、差、积、商的导数:(1) ; (2)
4、 (C 为常数);()()fxgfxg()()fxf(3) ; (4) 。()fx 2()0)gxgxg3. 简单复合函数的导数:若 ,则 ,即 。(),yfuaxbxuxyxuya三、导数的应用1. 求函数的单调性:利用导数求函数单调性的基本方法:设函数 在区间 内可导,()yfx(,)ab(1)如果恒 ,则函数 在区间 上为增函数;()0fx()yfx,ab(2)如果恒 ,则函数 在区间 上为减函数;ff(,)(3)如果恒 ,则函数 在区间 上为常数函数。()0fx()yfx,ab利用导数求函数单调性的基本步骤:求函数 的定义域;求导数 ;()yfx()fx解不等式 ,解集在定义域内的不间
5、断区间为增区间;解不等式 ,解集在定义域内的()0fx 0f不间断区间为减区间。反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围):设函数 在区间 内可导,()yfx(,)ab(1)如果函数 在区间 上为增函数,则 (其中使 的 值不构成区间);f()0fx()0fx(2) 如果函数 在区间 上为减函数,则 (其中使 的 值不构成区间);()yfxabff(3) 如果函数 在区间 上为常数函数,则 恒成立。f()0fx2. 求函数的极值:设函数 在 及其附近有定义,如果对 附近的所有的点都有 (或 ),()yfx0 0 0()fx0()fx则称 是函数 的极小值(或极大
6、值)。0()ff3可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:(1)确定函数 的定义域;(2)求导数 ;(3)求方程 的全部实根,()fx()fx ()0fx,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表: x 变化时, 和 值的变化情况:12nx f()fx 1(,)x1x12(,) nx,)nx()f正负 0 正负 0 正负单调性 单调性 单调性(4)检查 的符号并由表格判断极值。()fx3. 求函数的最大值与最小值:如果函数 在定义域 I 内存在 ,使得对任意的 ,总有 ,则称 为函数在定()f 0xxI0()fx0()fx义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内
7、的最值是唯一的。求函数 在区间 上的最大值和最小值的步骤:()fx,ab(1)求 在区间 上的极值;f(,)(2)将第一步中求得的极值与 比较,得到 在区间 上的最大值与最小值。(),fab()fx,ab4. 解决不等式的有关问题:(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。的值域是 时,不等式 恒成立的充要条件是 ,即 ;不等式()fxA,()0fxmax()0fb恒成立的充要条件是 ,即 。0fmin()0fxa的值域是 时,不等式 恒成立的充要条件是 ;不等式 恒成立()x,ab()0fxb()0fx的充要条件是 。a(2)证明不等式 可转化为证明 ,或利用函数 的单调性,转化为证明()0fxmax()f ()fx。0()fx5. 导数在实际生活中的应用:实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时,一定要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。4567