1、第 3 章 函数的应用1：函数的零点【典例精析】例题 1 求下列函数的零点。（1）y= ；（2）y（ 2） （ 3x2） 。3x2x思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。答案：（1）当 x0 时，y=x 2+2x3，x 2+2x3=0 得 x=+1 或 x=3（舍）当 x0 时，y=x 22x3，x 22x3=0 得 x=1 或 x=3（舍）函数 y=x2+2|x|3 的零点是1，1。（2）由（ 2） （ 3x2）0，得（x ） （x ） （x1） （x2）0，2 2x 1 ，x 2 ，x 31，x 42。2 2函数 y（x 22） （x 23x2）的零点为
2、 ， ，1，2。2 2点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与 x 轴的交点，而是交点的横坐标。例题 2 方程|x 22x|=a 2+1 （ aR +）的解的个数是_。思路导航：根据 a 为正数，得到 a2+11，然后作出 y=|x22x| 的图象如图所示，根据图象得到 y=a2+1 的图象与 y=|x22x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。aR +a 2+11。而 y=|x22x|的图象如图，y=|x 22x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点。方程有两解。答案：2 个点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数
3、形结合的思想方法。例题 3 若函数 f（x）axb 有一个零点为 2，则 g（x）bx 2ax 的零点是（ ）A. 0，2 B. 0， C. 0， D. 2，12 12 12思路导航：由 f（2）2ab 0，得 b2a，g（x ）2ax 2axax（2x1） 。令 g（x）0，得 x10，x 2 ，故选 C。12答案：C【总结提升】1. 函数 y=f（x ）的零点就是方程 f（x）=0 的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式 yf （x）可以看作方程 yf（x）0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义
4、，函数与方程体现了动与静、变量与常量的辩证统一。函数零点的求法：（1）解方程 f（x）0，所得实数根就是 f（x）的零点；（2）画出函数 yf（x）的图象，图象与 x 轴交点的横坐标即为函数 f（x）的零点。3. 函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数 f（x）的零点，就是方程 f（x）0 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f（x）0 是否有实数根，有几个实数根。4. 函数 y=f（x）的零点是函数图象与 x 轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点
5、情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法。2：二分法【考点精讲】1. 函数零点的存在性判断二分法如果函数 yf（x）在区间 a，b上的图象是连续不断的曲线，并且有 f（a）f （b）0。3. 用二分法求函数零点的步骤：已知函数 y=f（x）定义在区间 D 上，求它在 D 上的一个变号零点 x0 的近似值 x，使它与零点的误差不超过正数 ，即使得|xx 0|。（1）在 D 内 取 一 个 闭 区 间 a， b D， 使 f（ a） 与 f（ b） 异 号 ， 即 f（ a） f（ b） 0。令 a0=a，b 0=b。（2）取区间a 0，b 0的中点，则此中点对应的横坐标为 x0=a0+
6、 （b 0a 0）21= （a 0+b0） 。计算 f（x 0）和 f（a 0） 。1判断：如果 f（x 0）=0，则 x0 就是 f（x ）的零点，计算终止；如果 f（a 0）f（x 0）0，则零点位于区间a 0，x 0内，令 a1=a0，b 1=x0；如果 f（a 0）f（x 0）0，则零点位于区间x 0，b 0内，令 a1=x0，b 1=b0。（3）取区间a 1，b 1的中点，则此中点对应的横坐标为x1=a1+ （b 1a 1）= （a 1+b1） 。22计算 f（x 1）和 f（a 1） 。判断：如果 f（x 1）=0，则 x1 就是 f（x ）的零点，计算终止；如果 f（a 1）f（
7、x 1）0，则零点位于区间a 1，x 1上，令 a2=a1，b 2=x1。如果 f（a 1）f（x 1）0，则零点位于区间x 1，b 1上，令 a2=x1，b 2=b1。实施上述步骤，函数的零点总位于区间a n，b n上，当|a nb n|2 时，区间a n，b n的中点 xn= （a n+bn）就是函数 y=f（x）的近似零点，计算终止。这时函数21y=f（ x）的近似零点与真正零点的误差不超过 。【典例精析】例题 1 对于函数 f（x）x 2mx n，若 f（a）0，f （b）0，则函数 f（x）在区间（a，b）内（ ）A. 一定有零点 B. 一定没有零点C. 可能有两个零点 D. 至多有
8、一个零点思路导航：若函数 f（x）的图象及给定的区间（ a，b） ，如图（ 1） 、图（2）所示，可知 A 错；若如图（3）所示，可知 B 错、D 错。故 C 对。 答案：C点评：结合二次函数的图象来判断给定区间根的情况。例题 2 用二分法研究函数 f（x）x 33x1 的零点时，经第一次计算得 f（0）0，f（ 0.5）0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_，这时可判断 _。x思路导航：由题意知 x0（0，0.5） ，第二次计算应取 x10.25，这时 f（0.25）0.25 330.2510，故 x0（0.25，0.5） 。答案：（0，0.5） f（0.25） （0.25，0.5）例
9、题 3 是否存在这样的实数 a，使函数 f（x）x 2（3a2）xa1 在区间1，3上与 x 轴恒有一个零点，且只有一个零点。若存在，求出范围，若不存在，说明理由。思路导航：运用二分法可以求出 a 的范围，但是要注意检验。答案：（3a2） 24（41）9a 216a89 2 0，若实数 a 满(a 89) 89足条件，则只需使 f（1）f （3）0 即可。f（1）f（3）（13a2a1） （99a6a1）4（1a） （5a1）0。所以 a 或 a1。15检验：（1）当 f（1）0 时，a1。所以 f（x）x 2x。令 f（x）0，即 x2x0，得 x0 或 x1。方程在1，3上有两根，不合题意
10、，故 a1。（2）当 f（3）0 时，a ，此时 f（x）x 2 x 。15 135 65令 f（x）0，即 x2 x 0，解之得 x 或 x3。135 65 25方程在1，3上有两根，不合题意，故 a 。15综上所述，a 或 a1。 15【总结提升】本部分内容是高中数学的重难点，也是高考考查的重点，对于本部分内容的备考需注意以下两个方面：一是准确理解函数零点的概念及其存在性定理，能通过特殊值的函数值判断函数零点所在的区间；二是熟记常见函数的图象，牢记图象的基本特征，灵活运用函数图象解决相关问题。高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法。使用二分法求方程的近似解要注意：（i）
11、要使第一步中的区间a，b长度尽量小；（ii）区间a ，b的长度与一分为二的次数满足关系式 。|)21(nba3：函数零点的应用【考点精讲】二次函数零点分布：设 )0(,)(2acbxf以下研究 a0 的情况，a0 分析方法同理（a）二次方程 的两个根 满足 函数)02cbxa21,x21xr两个零点为 满足)(,)(2xf 21,r0)(f（b）方程 的两个根 满足 二次函数)0(,2acbxa21,xrx1两个零点 满足)(,)(xf 21,x0)(242rfa（c）方程 的两个根 满足 时，)0(,2acbxa21,xqxp210)(-04qfp（d）二次方程 的两个根满足 函数)0(2a
12、cbxa qxp21的零点满足xf2)( qxp210)(f（e）二次方程 的两个根有且只有一个根在（p，q）内 函数)0(2acbxa 的两个零点有且只有一个在区间（p，q）内)0()(2xf或检验 f（ p）=0，f（q）=0 并检验另一根在（p，q）内。qfp【典例精析】例题 1 已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10。（1）若方程有两根，其中一根在区间（1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的范围；（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求 m 的范围。思路导航：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。答案：（1）由条件，抛物线 f（x ）x 22
13、mx2m 1 与 x 轴的交点分别在区间（1，0）和（1，2）内，如图（1）所示，得056)2(,41)0(mff， ， .65,21,R即 m 。56 12（2）抛物线与 x 轴交点均落在区间（0，1）内，如图（2）所示，列不等式组 Error!10,)(,mf即 m1 。12 2例题 2 对实数 a 和 b，定义运算“ ”：a bError! 设函数 f（x）（x 22） （x1） ，xR。若函数 yf （x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ）A. （1，1（2，） B. （2，1（1，2C. （，2）（1，2 D. 2，1思路导航：当（x 22）（x1）1
14、 时，1x2，所以 f（x）Error!f（x）的图象如图所示。yf（x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，即方程 f（x）c 恰有两个解，由图象可知当 c（ 2，1 （1，2 时满足条件。答案：B点评：转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合法求解。例题 3 已知关于 x 的函数 y=（m+6）x 2+2（m-1）x+m+1 恒有零点（1）求 m 的范围；（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为-4，求 m 的值思路导航:（1）当 m+6=0 时，即 m=-6 时，满足条件当 m+60 时，由0 求得 m95-且 m-6综合可得 m 的范围（2）设 x1，x 2 是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m 的值答案：（1）当 m+6=0 时， m=-6，函数为 y=-14x-5 显然有零点当 m+60 时， m-6，由=4（m-1） 2-4（m+6）（m+1 ） =-36m-200，得 m 95-当 m 95-且 m-6 时，二次函数有零点综上可得，m ，即 m 的范围为（-， - 95-（2）设 x1，x 2 是函数的两个零点，则有 x1+x2= ，x 1x2= 6)m（6 =-4，即 =-4，2121x =-4，解得 m=-3)m（且当 m=-3 时，m+60，0，符合题意，m 的值为-3
