1、必修 1 分段函数 -专题与解析一选择题（共 16 小题）1 （2011浙江）设函数 f（x）= ，若 f（a ）=4，则实数 a=（ ）A 4 或 2 B 4 或 2 C 2 或 4 D 2 或 2考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法。菁优网版权所有专题： 计算题。分析： 分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分 a0 与 a0 两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于 a 的方程，解方程即可求出满足条件 的 a 值解答： 解：当 a0 时若 f（a） =4，则 a=4，解得 a=4当 a0 时若 f（a） =4，则 a2=4，解得 a=2 或 a=2（舍去）故实数 a=4
2、或 a=2故选 B点评： 本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者2 （2010宁夏）已知函数 若 a，b，c 互不相等，且 f（a）=f（b）=f（c） ，则 abc的取值范围是（ ）A （1，10） B （5，6） C （10，12） D （20，24）考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质。菁优网版权所有专题： 作图题；数形结合。分析：
3、画出函数的图象，根据 f（a）=f（b）=f（c） ，不妨 abc，求出 abc 的范围即可解答： 解：作出函数 f（x）的图象如图，不妨设 abc ，则ab=1，则 abc=c（10，12） 故选 C点评： 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力3若 ，则 f（log 23）=（ ）A 23 B 11 C 19 D 24考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质。菁优网版权所有分析： f（x）为分段函数，要求 f（log 23）的值，先判断 log23 的范围，代入 x4 时的解析式，得到 f（log 23+1） ，继续进行直到自变量大于
4、 4，代入 x4 时的解析式求解解答： 解： 1log 232，4log 23+35f（ log23）=f （log 23+1）=f（log 23+2）=f（log 23+3）=故选 D点评： 本题考查分段函数求值、指数的运算法则、对数恒等式等难度一般4已知函数 若 ，则实数 a=（ ）A B C D考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法。菁优网版权所有专题： 计算题。分析：根据函数 ， ，可知：若 a1，则 f（a）=a+5= ，若 a1，则 f（a ）=2a= 等，由此能求出 a解答：解： 函数 ， ，若 a1，则 f（a ）=a+5= ，a=若 a1，则 f（a ）=2a= ，a=
5、，不合，舍去；若1 a1，则 f（a ）=a 2= ，a= 综上实数 a 的取值为 故选 D点评： 本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，易错点是不分类直接求解，导致丢解解题时要认真审题，注意合理地进行分类5已知 ，则下列选项错误的是（ ）A 是 f（x 1）的图象 B 是 f（ x）的图象 C 是 f（|x| ）的图象 D 是|f （x）|的图象考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法。菁优网版权所有专题： 作图题。分析： 先作出 f（x）的图象，再根据变换判断其图象是否正确解答： 解：作函数 f（x）的图象，如图所示：f（x 1）的图象是由函数 f（x）的图象向右平移一个单位得到的，
6、正确f（ x）的图象与函数 f（x）的图象关于 y 轴对称，正确是 f（|x| ）的图象，当 x0 时，与 f（x）的图象相同，当 x0 时，与 x0 时，图象关于 y 轴对称正确因为 f（x） 0，所以|f（x ）| 的图象与函数 f（x）的图象相同，所以不正确故选 D点评： 本题主要考查函数图象的平移变换，对称变换，绝对值变换，这是常见类型要熟练掌握灵活运用6已知 ，则 f（log 23）=（ ）A B C D考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质。菁优网版权所有专题： 计算题。分析： 本题考查分段函数求值，以及对数的运算性质与指数的运算性质，需先判断 log
7、23 的取值范围，然后代入相应的解析式求值解答： 解：由题意的， ，2=log 24log 23log 22=1，f（ log23）=f （1+log 23）=f（2+log 23）=f（3+log 23）= （ ） 3+log23=故选 B点评： 本题对对数积的运算性质连续运用，并且在解题过程中须注意自变量取值范围的判断，是分段函数与对数运算性质、指数运算性质综合考查的一道好题7国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过 800 元部分的14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的 11%纳税已知某人出版一本书，共纳税 420
8、元，这个人应得稿费（扣税前）为（ ）A 2800 元 B 3000 元 C 3800 元 D 3818 元考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用。菁优网版权所有专题： 计算题；应用题。分析： 根据题意求出稿费的函数表达式，然后利用纳税 420 元，求出这个人应得稿费（扣税前） 解答： 解：设扣税前应得稿费为 x 元，则应纳税额为分段函数，由题意得y= 如果稿费为 4000 元应纳税为 448 元，现知某人共纳税 420 元，所以稿费应在 8004000 元之间，（ x800）14%=420，x=3800故选 C点评： 本题考查分段函数及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力
9、，是基础题8函数 y=sinx+tanx|sinxtanx|在区间（ ， ）内的取值范围是（ ）A （，0 B 0，+ ） C 2， 0 D 0，2考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法。菁优网版权所有专题： 计算题。分析： 此题考查的是，分段函数知识与三角函数知识的综合类问题在解答时应先根据角的范围由 sinx 与 tanx 的大小去掉绝对值，在分段判断函数值的范围即可解答： 解：当 ，时 sinxtanx0，y=sinx+tanxsinx+tanx=2tanx；当 时，sinx tanx0，y=sinx+tanx+sinxtanx=2sinx， y（，0故选 A点评： 此题考查的是，分
10、段函数知识与三角函数知识的综合类问题题目解答过程充分体现了函数值域知识、分段函数思想以及转化思想值得同学们反思体会9若 f（x）= ，则 f（2）的值为（ ）A 0 B 1 C 2 D 2考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值。菁优网版权所有专题： 计算题。分析： 利用函数的解析式知道当 x1 时是以 2 周期的周期函数，故 f（2）=f（2） ，再代入函数解析式即得解答：解： f（x）=当 x 1 时，f（2）=f （0） =f（2） ，当 x=2 时即 f（2）=log 22=1故选 B点评： 本题主要考查了分段函数的应用，但解题的关键在于根据 x0 时的函数的周期性将 f（
11、2）转化成为 f（2） ，属于基础题10设函数 f（x）= ，则 f（f（f （ ）5） ）=（ ）A 3 B 4 C 7 D 9考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法。菁优网版权所有专题： 计算题。分析： 先求 f（ ） ，再求 f（ ）5，再求 f（f（ ）5） ，再求 f（f（f（ ）5） ）即可解答： 解： f（ ）=4f（ ）5= 1f（ f（ ）5） =f（ 1）=3f（ f（f （ ） 5） ）=f（ 3）=7故选 C点评： 本题主要考查多重求函数值问题，要注意两点：一是在求值时，要从内到外，依次求解，二是在求解时要根据每一段的定义域选择好解析式11定义新运算：当 ab 时，
12、ab=a；当 ab 时，ab=b 2，则函数 f（x）=（1x）x（2x） ，x2，2的最大值等于（ ）A 1 B 1 C 6 D 12考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义。菁优网版权所有专题： 计算题；综合题；新定义。分析： 当2 x1 和 1x2 时，分别求出函数 f（x）的表达式，然后利用函数单调性或导数求出函数 f（x）的最大值解答： 解：由题意知当2 x1 时，f（x）=x 2，当 1x2 时，f （x）=x 32，又 f（x）=x2，f（x）=x 32 在定义域上都为增函数，f（x）的最大值为 f（2）=2 32=6故选 C点评： 本题考查分段函数，以
13、及函数的最值及其几何意义，考查函数单调性及导数求最值，是基础题12已知函数 ，则下列命题中：（1）函数 f（x）在1，+）上为周期函数；（2）函数 f（x）在区间m， m+1） （m N）上单调递增；（3）函数 f（x）在 x=m1（m N）取到最大值 0，且无最小值；（4）若方程 f（x）=log a（x+2） （0a 1） ，有且只有两个实根，则 正确的命题的个数是（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义；函数的周期性；对数函数的图像与性质。菁优网版权所有分析： 作出 f（x）的图象，由图
14、象对各选项进行判断即可 x0 时，y= ，可由 的图象作关于 x 轴的对称图象，再向上平移一个单位得到解答：解：f（x）的图象如图所示：（1）不正确，因为 f（1）=1f（0）=0；（2）正确；（3）不正确，因为 m=0 时， f（m 1）=f（1）=1，不是最大值；（4）正确，如图（2）所示，图中两条曲线对应的 a 分别为 ，故方程 f（x）=log a（x+2 ） （ 0a 1） ，有且只有两个实根，则故选 B点评： 本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力13在自然数集 N 上定义的函数 f（n）= 则 f（90）的值是（ ）A 997 B 99
15、8 C 999 D 1000考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值。菁优网版权所有分析： 当 n1000 时，有 f（n）=f（ n+7） ，此式表示 f（x）的周期是 7，利用此性质将 f（90）转化为 f（n） ，n1000，代入 f（n）=n 3 即可解答： 解：n1000 时，有 f（n）=f （n+7 ） ，f（ 90）=f（97）=f（104） =f（1000）=10001=997故选 A点评： 本题考查分段函数求值、函数的周期性等知识，难度一般14已知函数 是定义域上的递减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A B （ C （ D ）考点： 分段函数的解析式求法及其
16、图象的作法；函数单调性的性质。菁优网版权所有专题： 计算题。分析：由已知中函数 是定义域上的递减函数，根据一次函数的单调性，指数函数的单调性，及分段函数的单调性，我们可以构造一个关于 a 的不等式组，解不等式组即可得到实数 a 的取值范围解答：解： 函数 是定义域上的递减函数，解得： a故选 C点评： 本题考查的知识点是分段函数的单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（x=7）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，而错解为 a1，而错选 A15已知函数 f（x）= ，则方程 f2（ x） f（x）=0 的不相等的实根个数（ ）A 5 B 6 C 7
17、 D 8考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断。菁优网版权所有专题： 计算题；转化思想。分析： 方程 f2（x） f（x）=0 可解出 f（x）=0 或 f（x）=1，方程 f2（x）f（x）=0 的不相等的实根个数即两个函数 f（x）=0 或 f（x）=1 的所有不相等的根的个数的和，根据函数 f（x）的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数 y=0，y=1 的图象与函数 f（x）的图象的交点个数的问题解答： 解：方程 f2（x）f（x）=0 可解出 f（x）=0 或 f（x）=1，方程 f2（x） f（x）=0 的不相等的实根个数即两个函数 f（x）
18、=0 或 f（x）=1 的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数 y=0，y=1 的图象与函数f（x）的图象的交点个数相同，如图，由图象，y=1 的图象与函数 f（x）的图象的交点个数有四个，y=0 的图象与函数 f（x）的图象的交点个数有三个，故方程 f2（x）f（x）=0 有七个解，应选 C点评： 本题考点是分段函数，考查解分段函数类型的方程，求其根的个数，此类题常转化为求函数交点的个数，用图象法来求解16函数 y=f（x） （xR）满足：对一切 ；当 x0，1）时，则 =（ ）A B C D考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值。菁优网版权所有分析： 根据 ，可以判断 f2（x+1）+f 2（x）=7，所以 f2（x）是一个周期函数，周期为 2，所以可利用周期性把 化简为 ，再根据x0，1）时， ，求出 ，开方即得的值解答： 解： ， f2（x+1）+f 2（x）=7f2（ x+1）=7f 2（x） =7 = = =x0，1）时， =7 =2即 ， =故选 C点评： 本题主要考查了借助函数的周期性求函数值的方法，做题时要善于发现规律
