1、1抽象函数性质综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义 1：（周期函数）对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域的每一个值时，()fxTx都有 ，那么，函数 就叫做周期函数.非零常数 叫做这个函数的周
2、期.()(fxTf2、定义 2：（同一函数图象的对称性）若函数 图象上任一点关于点 （或直线 ）的对称点仍)(xfyPl在函数 的图象上，则称函数 的图象关于点 （或直线 ）对称.)(fyf l3、定义 3：（两个函数图象的对称性）若函数 图象上任一点关于点 （或直线 ）的对称点在)(f l函数 的图象上；反过来，函数 图象上任一点关于点 （或直线 ）的对称点也在函数()gxygx的图象上，则称函数 与 的图象关于点 （或直线 ）对称.fy )(f()Pl二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数 的定义域为 ，且 恒成立，则函数 是以 为周期)(xfR()()faxfb)(xfyT
3、ab的周期函数；2、若函数 的定义域为 ，且 恒成立，则函数 的图象关于直线)(fy()()ff)(f对称；abx3、若函数 的定义域为 ，且 恒成立，则函数 的图象关于点)(xfR()()faxfbx)(xfy对称；(,0)24、若函数 的定义域为 ，且 恒成立，则函数 是以 为周)(fy()()ff)(f2()Tab期的周期函数；5、若函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于直线 对称；)(xfR()yfax()yfbxx6、若函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于点 对称.)(xfy()yfx()yfx(,0)2ba略证：1、 ， 函数 是以 为周期ab()fxabfyT的周期函数
4、.22、函数 图象上的任一点 （满足 ）关于直线 的对称点为)(xfy0(,)Pxy0()fxy2abx，0(,Qab)abfa00)()bfy点 仍在函数 的图象上，从而函数 的图象关于直线 对称.(f )(f3、函数 图象上的任一点 （满足 ）关于点 的对称点为)xfy0(,)Pxy0fxy(,)2ab，0(,Qab(fabfa00()bxfy点 仍在函数 的图象上，从而函数 的图象关于点 对称.) )(f,4、 (2(2)fxfx2()xfab, 函数 是以 为周期的周期函数.)(babf)(fy2T5、函数 图象上的任一点 （满足 ）关于直线 的对称点为(yf 0)P0ay2x，0(,
5、)Qx()(axfxy点 在函数 的图象上；反之函数 的图象上任一点关于直线 的对称)fb()fbba点也在函数 图象上.从而函数 与 的图象关于直线 对称.(yfxyfax()yfx2x6、函数 图象上的任一点 （满足 ）关于点 的对称点为)fa0(,)Px0)f(,0)2ba，0(,Qbxy(fbafay点 在函数 的图象上；反之函数 的图象上任一点关于点 的对)x()fbx(,)称点也在函数 图象上.从而函数 与 的图象关于点 对称.(yfyf()yf,02ba三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数 满足 ，则函数 的图象关于 轴对称；函数 和函数)(xf()fx)(xf
6、 )(xfy的图象也关于 轴对称.(yfy2、若函数 满足 ，则函数 的图象关于原点对称；函数 和函数)(f()ff)(fy)(f的图象也关于原点对称.fx3、若函数 满足 ，则函数 的图象关于 轴对称；而函数)(fy()fxaf)(xfy和函数 的图象关于直线 对称.(faa4、若函数 满足 ，则函数 的图象关于原点对称.而函数 和)(f()ff)(fy ()yfxa函数 的图象关于点 对称.yx,0a5、若函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称；而函数)(f )(xmff)(xfmx3和函数 的图象关于 轴对称.()yfmx()yfmxy6、若函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称；
7、而函数(ff)(xf)0,(m和函数 的图象关于原点对称.()f ()7、若函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称；函数(xfy2fbx)(fyxb和函数 的图象也关于直线 对称.()f )b8、若函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称；函数 和)(f()f )(xf(,0)()yfx函数 的图象也关于点 对称.2ybx(,0b9、若函数 满足 ，则函数 是以 为周期的周期函数；若函数)(f()fmfx)(fy2Tm满足 ，则函数 是以 为周期的周期函数.)(f x4四、函数周期性与对称性的关系1、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和 对称,即对于任意的实数 ,函数R()fxa()bx
8、同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期()fxa()()fbxffx2()Tab函数.2、定义在 上的函数 ,若同时关于点 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数()fx,0,()x同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期()fx()fxffx()函数.3、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数R()fxa(,)bx同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函()fxa()fbxf(fx4Tab数.略证：1、 =2()fxb(2)fxa(2)fxab()fx， 函数 是以 为周期的周期函数.ffyTab2、3 同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系
9、1、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和 对称,即对于任意的实数 ,函数 同时R()fxxa2x()f满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是偶函数.()faxf2()af()fTa2、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数 同()f 0()fx时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是奇()f (2)xfax()fx4函数.3、定义在 上的函数 ,若同时关于点 和直线 对称,即对于任意的实数 ,函数 同R()f(,0)2ax()f时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是偶()fax2)axf()fx4T函数.44、定义在 上的函数
10、 ,若同时关于点 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数 同时R()fx(,0)a(2)x()f满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是奇函()fax2fxfx2Ta数.5、若偶函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则()fxa()f()()fxfa是以 为周期的周期函数.()fx2Ta6、若偶函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则()f(,0)x()f()()ff是以 为周期的周期函数.()f47、若奇函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则()fxa()fx()()faxf是以 为周期的周期函数.()fxTa8、若奇函数 关于点
11、对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则()f(,0)x()f()()ff是以 为周期的周期函数.()f2略证：1、由上述四中的第 1 点即可得函数 是以 为周期的周期函数,()fx2Ta又 ()fx()fafa)fx()fx()fax()(faxf函数 是偶函数.y2、3、4 同理可证.5、6、7、8 可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称.()yfxa)(xfyxa2、若函数 为奇函数，则函数 的图象关于点 对称.(,0)注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解.3、定义在 上的函数 满
12、足 ，且方程 恰有 个实根，则这 个实根R()fx()()faxf()fx2n2n的和为 .2na4、定义在 上的函数 满足 ，则函数 的图象关于)(fy()()(,)ffbca为 常 数 )(xfy点 对称.(,)bc略证；任取 ，令 ，则 ， ，xR12,axb12x12()fxfc由中点公式知点 与点 关于点 对称.由 的任意性，知函数 的图(,)f()f(,abc )(xfy象关于点 对称.,2abc5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）yfxxa5, ，则 是以 为周期的周期函数；fxfayfxTa ，则 是以 为周期的周期函数；2 ，则 是以 为周期的周期函数；1fxafxfa ，则 是以 为周期的周期函数；ff2T ，则 是以 为周期的周期函数.1()()fxfxafa ，则 是以 为周期的周期函数.()()ffxf4T ，则 是以 为周期的周期函数.1()()ffxafa注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.
