1、抽象函数经典综合题 33 例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题 33 例（含详细解答）1.定义在 R 上的函数 y=f(x)，f(0)0，当 x0 时，f(x)1，且对任意的 a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的 xR，
2、恒有 f(x)0；（3）证明：f(x)是 R 上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。解 （1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1（2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) )(1(xf由已知 x0 时，f(x)10，当 x0，f(-x)0 0)1)(ff又 x=0 时，f(0)=10对任意 xR，f(x)0(3)任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x 1)0，x 2-x10 )()11 fff(x 2)f(x1) f(x)在 R 上是增函数（4）f(x)f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)
3、又 1=f(0)，f(x)在 R 上递增由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x 20 02 时， 12|a或4.已知 f(x)在(1，1)上有定义，f ( )1，且满足 x，y(1，1)有 f(x)f (y)f(y1)证明：f(x) 在(1，1)上为奇函数；对数列 x1 2，x n1 2nx，求 f(xn);求证 25)(1)(12nxfxff()证明：令 xy 0，2f(0)f(0)，f (0)0令 yx，则 f(x)f(x)f(0)0f(x)f(x) 0 f(x) f(x)f(x)为奇函数 ()解：f(x 1)f( 2)1，f(x n1 )f( 2n)f( nx1)f (xn)f(x n
4、)2f (xn) )(1nf2 即f(x n)是以1 为首项，2 为公比的等比数列f(x n)2 n1()解： )2121()(21 nnxfxff )(211nnn而 2)2(5n 5)(1)(12nxfxff 5.已知函数 Nffy,，满足：对任意 ,2121xNx都有)()()()( 12121 xfxxf ；（1）试证明： f为 N 上的单调增函数；（2） n，且 0，求证： fn；（3）若 ()1f， 对任意 ,m,有 1)(nfm，证明： niif14)3(.12证明：（1）由知，对任意 *,abN，都有 0)()(bfa，由于 0ba，从而 )(ff，所以函数 (xf为 *上的单
5、调增函数. （2）由（1）可知 n都有 f(n+1)f(n),则有 f(n+1)f(n)+1 f(n+1)-f(n) 1, f(n)-f(n-1) 1 f(2)-f(1)f(1)-f(0) 由此可得 f(n)-f(0) n f(n) n+1 命题得证（3） （3）由任意 ,mnN,有 1)(nfmf得 由 f(0)=1 得 m=0 ()1f则 f(n+1)=f(n)+1,则 f(n)=n+1 21)3(1)(331)(21 nnnniif6.已知函数 的定义域为 ，且同时满足：fx0,(1)对任意 ，总有 ；,()fx(2) (1)3f(3)若 且 ，则有 .20,121212()()fxfx
6、f(I)求 的值；(II)求 的最大值；fx(III)设数列 的前 项和为 ，且满足 .nanS*2(3),nnaN求证： .123 13()()ffffa解：（I）令 ，由 (3),则0x0,0f由对任意 ，总有 ,(,fxf（II）任意 且 ，则12122121,()xfx2 1()(fxfffma(3(III) *12nnSN123)(nnSa13 3),0a13 3()()4nnnnnnnffffff，即 。114)14)f22112214 44333 333()()nn nnnnfaf fa 故 12即原式成立。 1213()()()nfffa7. 对于定义域为 的函数 ，如果同时满
7、足以下三条：对任意的 ，总有0,1fx 0,1x； ；若 ，都有()fx()f12120,x成立，则称函数 为理想函数1212x()f(1) 若函数 为理想函数，求 的值；()fx(0)f(2)判断函数 是否为理想函数，并予以证明；21g,x(3) 若函数 为理想函数， 假定 ，使得 ，且()f 0,1x0(),1fx，求证 0()fx0x解：（1）取 可得 21)()(fff又由条件 ，故 )(f（2）显然 在0，1满足条件 ； -xg0)(xg也满足条件 1)(若 ， ， ，则01x22x)12()(1)()( 121 xxxgg，即满足条件，0)(12221 xxx故 理想函数 )(（3
8、）由条件知，任给 、 0，1，当 时，由 知 0，1，mnnmn)()()() ffffnf 若 ，则 ，前后矛盾；0x00x若 ，则 ，前后矛盾)(f)()(ff故 0x8.已知定义在 R 上的单调函数 ,存在实数 ,使得对于任意实数 ,总有()fx0x12x恒成立。012012()(fxfx()求 的值；()若 ,且对任意正整数 ,有 , ,求数列a n的通项公式；0()fxn1()2naf()若数列 bn满足 ，将数列b n的项重新组合成新数列 ，具体法12noga nc则如下： ，求证：123456,cc478910,cb。1239n解：()令 ，得 ，120x0()(fxf令 ，得
9、， ，1, 10)(1)0ff由、得 ，又因为 为单调函数，0()fxf()fxx()由（1）得 ，121212()ff()()(,fff1)0,22a，1111()()()(2)2nnnnnffffff1)(,， ，12nna1n11222nnnbogog()由C n的构成法则可知，C n 应等于 bn中的 n 项之和，其第一项的项数为1+2+(n1)+1= +1，即这一项为 2 +11=n(n1)+1)( )1(Cn=n(n 1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n 2(n1)+ =n3 2)319284当 时，32111()2()()nnnA3331 124834()n 1129
10、8()n解法 2： 3234(1)()0,4(1)nnn3331()1()2484231119866nn 9.设函数 ()fx是定义域在 (0,)上的单调函数，且对于任意正数 ,xy有()fxyy，已知 21f.（1）求()2f的值；（2）一个各项均为正数的数列 na满足： ()(1)(*)nnnfSfafN，其中nS是数列 na的前 n 项的和，求数列 的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数 M，使12nna 12()a2() (1)na对一切 *N成立？若存在，求出 M 的取值范围；若不存在，说明理由 .解：（1） ()()fxyfy，令 1x，有 ()1()2ff， (1)0f
11、.再令12,，有2f， 20ff，（2） ()(1)nnfSfa()()nnaa,又 x是定义域 0,上单调函数， 0S，12，1()2nnSa当 1n时，由 11()2Sa，得 1，当 n时， 11()nn由，得 11()()2nnnna，化简，得 210a， 11()0a， 0na， 10na，即 1na，数列 na为等差数列. 1a，公差1d. ()()nd，故 n. （3） 1212!na ， 12()(1)3(21)naan 令 12()()nnab =!3()n,而1!23()1nn. 1()nbn2()3n=24813n， 1n，数列 b为单调递增函数，由题意 nMb恒成立，则只
12、需 min()b=123b， 23(0,M，存在正数 ，使所给定的不等式恒成立， 的取值范围为23(0,.10.定义在 R 上的函数 f（x）满足 ，且fxyfxyf()()()1120，时，f（x ）0 时，01；（2）求证：f（x ）在 R 上单调递减；（3）设集合 ，Ayffyf(,)|()(221，若 ，求 a 的取值范围。Bxyfaa(,)| 1， AB 解：（1）令 m=1，n=0，得 f（1）= f（1）f（0）又当 x0 时，00令 m=x，n= x，则 f（0）= f（x ）f（x）所以 f（x）f（x ）=1又 00 恒成立所以 fxf()()2121所以 021fx()所以 f（x 2）0 使 ，试问 f（x）是否为周期函数？若是，指出它的一f()20
