1、1【2-9】 【解答】图 2-17：上（ y=0） 左(x =0) 右（x=b）l0 -1 1m-1 0 0 xfs0 1gyh1gyhy1h0 0代入公式（2-15）得在主要边界上 x=0， x=b 上精确满足应力边界条件：100(),;x xyg1bb(),;x xygh在小边界 上，能精确满足下列应力边界条件：y 00yy在小边界 上，能精确满足下列位移边界条件：2h22,hhuv这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 时，可求得固定端约束反力分别为：=1 10,0sNFghbM由于 为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：2yh2221000by
2、hbxyhdxgb图 2-18上下主要边界 y=-h/2， y=h/2 上，应精确满足公式（2-15）lm(s)xf(s)yf2hy0 -1 0 q0 1 - 10， ， ，-/2()yhq-/2()yxh/2()yh/21()yxh在 =0 的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力x2与面力符号相反，有/20/2/0()()hxySNhxdFM在 x=l 的小边界上，可应用位移边界条件 这两个位移边界条件也可0,lxlxvu改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,xNNFqlFl0ySS
3、Sq22110, 2AS SlhqlMlqlhMF由于 x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 /212/2/()2()hxlNNl ShxylSdyFlqhqlFl【2-10】 【解答】由于 ，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分?的应力边界条件：(a)上端面 OA 面上面力 qbxfyx,0由于 OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有(对 OA 中点取矩)0000 200 21bbyybyybxy bdfdxqxqd()应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢 y 向为正，主矩为负，则MNFS300 2001byNbx
4、yqbdFM综上所述，在小边界 OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。【2-14】 【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2） ；（2）用应力表示的相容方程（ 2-21） ；（3）应力边界条件（2-15） 。（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且 0xyf显然满足0yxy（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21） ，有等式左= = =右2xyx20qb应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。【解答】 （1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为 1，高为 h
5、 的矩形，其对中性轴（Z 轴）的惯性矩 ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程312hI。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：3(),6qqxMxFll。32xyIlh222341.42sxFyqxhybhl根据平衡微分方程第二式（体力不计） 。得： 0yxy 33.2yxyqAllh根据边界条件 得 故/2yhq.Al3.2yxqlll将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：满足22336.0xyqlhl左 右第二式 自然满足4将应力分量代入相容方程（2-23） 2 3312.0左 右 xyxyqxylhl应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【2-18
6、】 【解答】 （1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程，横截面对中性轴的惯性矩为 ，根据材料力学公式()MxF3/12zIh弯应力 ；该截面上的剪力为 ，剪应力为3()2xzFyxIhsFx* 233() /2641/2sxyzFShyhybybI 取挤压应力 （2）将应力分量代入平衡微分方程检验0y第一式： 第二式：左=0+0=0=右30Fyh左 右该应力分量满足平衡微分方程。（3）将应力分量代入应力表示的相容方程满足相容方程2()xy左 右（4）考察边界条件在主要边界 上，应精确满足应力边界条件(2-15) /2hlmxfyf2y上0 -1 0 0h上0 1 0 0代入公式（2
7、-15） ，得-/2/2/2/2,;,yxyyyxhhhh在次要边界 x=0 上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩/20/ 2/2/203()6()()4hxhhxydFydFy向 面 力 主 矢面 力 主 矩 向 面 力 主 矢满足应力边界条件在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主 MNFS5矢、主矩， 0,NSFMFl其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：/2/231()0hhxl NdylydF/ /222lhhlM/ / 23226()4xyl Shhdyd满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。【3
8、-4】 【解答】相容条件:不论系数 a 取何值，应力函数 总能满足应力函数表示的相容方程，式 (2-25).3ay求应力分量当体力不计时，将应力函数 代入公式(2-24)，得6,0,xyxy考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当 a0 时，考察 分布情况，注意到 ，故 y 向无面力x0xy左端: 0()6xfayh0xyf右端: xl()()l应力分布如图所示，当 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主?矩主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距 e：因为在 A 点的应力为零。设板宽为 b，集中荷载 p 的偏心距 e：2
9、()0/6/6xApehh同理可知，当 0 时，可以解决偏心压缩问题。a【3-5】 【解答】 （1）由应力函数 ，得应力分量表达式2axy考察边界条件，由公式（2-15 ）0,2,xyxyaA6()(xysxylmf主要边界，上边界 上，面力为 2hy()2xhfa()2yhfa主要边界，下边界 ，面力为 ,y次要边界，左边界 x=0 上，面力的主矢，主矩为x 向主矢： ，y 向主矢：/20()hxxFd /20()hyxyFd主矩： /2hM次要边界，右边界 x=l 上，面力的主矢，主矩为 x 向主矢： /2()0hxxlyy 向主矢： /2/2()()2hhyxylFdaldyl 主矩：
10、弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，/20lh ，将应力函数代入公式（2-24） ，得应力分量表达式bxy， ，xby2xyby考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得在 主要边界，上边界上，面力为2hy ,022xyhhff在 ，下边界上，面力为 ,xyfybf在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：在左边界 x=0，面力分布为 0,02xyffxby面力的主矢、主矩为x 向主矢： y 向主矢：20hxxFd2200hhyxy xdb主矩； ，在右边界 x=l 上，面力分布为/02()hxMy， ， ，面力的主矢、主矩为,xy
11、flbflb7x 向主矢： y 向主矢：/2/2hhxxlFdybllh /2/2 0hyyxlhd主矩： / /2 hxlMyly（3） ，将应力函数代入公式（2-24 ） ，得应力分量表达式3cy26,0,3xyxycy考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15） 2h上 边 界 上 ， 面 力 为 23,04x yhhfcf y=下 边 界 上 ， 面 力 为 2,x yfyf次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：左边界 x=0 上，面力分布为2/20/ /23h/20-0,3x 134yhxxhyyxffcFdy cydhM 面 力
12、 的 主 矢 、 主 矩 为向 主 矢 ：向 主 矢 ：主 矩 ：右边界 上，面力分布为l 26,xyflfxlcy面力的主矢、主矩为x 向主矢 /2/20hhxxlFdycld y 向主矢： / /232 134yyxlhhych主矩： / /26lMcll弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示【3-6】 【解答】 （1）将应力函数代入相容方程（ 2-25），显然满足44420xy（2）将 代入式（2-24） ，得应力分量表达式 31,xyFh234(1)xyFyh8（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：在主要边界上（上下边界）上， ，应精确满足应力边界条件式（
13、2-15 ） ，应2hy力 /2/20,0yyxhh因此，在主要边界 上，无任何面力，即 0,022xyhhfyf在 x=0， x=l 的次要边界上，面力分别为：，2340:,1-xyFyfh3 214:,1xyFllffhh因此，各边界上的面力分布如图所示：在 x=0， x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：x=0 上 x=l 上1 21 2h/2 / /2h/ /-=0, 0 ,hNxNxSySyhx xxFfdFfdy FMfMfl 向 主 矢 ：向 主 矢 ：主 矩 ：【3-7】 【解答】(1) 将应力函数 代入式（2-25）， ，40x432qyh4233124qyxh代入
14、（2-25） ，可知应力函数 满足相容方程。（2）将 代入公式（2-24） ，求应力分量表达式:，2323645xxqyqyfyhh234(1)yqyfxh23()xy(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：在主要边界 （上面） ，应精确满足应力边界条件（2-15 ）2h9/2 /2/2 /230 00,215/,/4,5xyxyyh hxyxyyh hxx yxyhhfyf qfyhfqf fx 在 主 要 边 界 下 面 ， 也 应 该 满 足在 次 要 边 界 上 ， 分 布 面 力 为应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件: 3/2/2/ 3/2/24500hhNxSy
15、hhxqFfddyMf y在次要边界 上，分布面力为xl，233645xxlqyqflhh2364yxylqlhfl y应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件: 23/2/232/2/2323/2/2 2364() 05641() 5hhNxhhsyhhx lqFflddyhqlfl yllqMfldydqlh 【3-8】 【解答】采用半逆法求解。由材料力学解答假设应力分量的函数形式。(1)假定应力分量的函数形式。根据材料力学，弯曲应力 主要与截面的弯矩有关，剪应力 主要与截面的剪力有yxy关，而挤压应力 主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则x 0(2)推求应力函数的形式将 ，体力
16、，代入公式（2-24 ）有0x0,xyfg2xxfy对 y 积分，得 （a） （b）f1yff10其中 都是 x 的待定函数。1,fx（3）由相容方程求解应力函数。将（b）式代入相容方程（2-25） ，得 4410dfxfy（c）在区域内应力函数必须满足相容方程， （c）式为 y 的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的 y 值都应满足它） ，可见其系数与自由项都必须为零，即两个方程要求 4410,dfxfxd32321,fxABxCfDxE（d）中的常数项， 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在 的表达式fx1fx 中成为 y 的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数（e ）3232yABxCDxE（4）由应力函数求应力分量（f ）20xxfy(g)2662yyfABDEgy(h)223xyxC(5)考察边界条件利用边界条件确定待定系数 A、B、C、D、E。主要边界 上（左）：0x00,()xxy将（f） ， （h）代入，自然满足0x（i）()0yxC主要边界 上，xb，自然满足xb，将（h）式代入，得()xybq（j）2()3xybABbCq
