1、1一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例 1（07 高考山东文 18）设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 项nanSna和已知 ，且 构成等差数列37S1234， ，（1）求数列 的等差数列na（2）令 求数列 的前 项和 lb， ， ， ， nbT练习：设 Sn1+2+3+n，nN *,求 的最大值.1)32()nSnf二、错位相减法例 2（07 高考天津理 21）在数列 中，na，其中 111(2)()nnaaN， 0（）求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 ；nnS例 3（07 高考全国文 21）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且nanb， ，1
2、ab352153b（）求 ， 的通项公式；na（）求数列 的前 n 项和 nnS2三、逆序相加法例 4（07 豫南五市二联理 22.）设函数 的图象上有两点 P1(x1, y1)、2)(xfP2(x2, y2)，若 ,且点 P 的横坐标为 .1OP2（I）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若 ;求,),()3()( *nn SNnffnffS 四、裂项求和法例 5 求数列 的前 n 项和.,1,321,n例 6（06 高考湖北卷理 17）已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为()yfx，数列 的前 n 项和为 ，点 均在函数 的图()2fxanS,)nN()yfx像上。
3、（）求数列 的通项公式；n（）设 ， 是数列 的前 n 项和，求使得 对所有 都成立1banTb20nmTn的最小正整数 m；五、分组求和法例 7 数列 an的前 n 项和 ，数列 bn满 .12naS )(,311 Nnban（）证明数列 an为等比数列；（）求数列 bn的前 n 项和 Tn。例 8 求 （ ）2212134()nS N3六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 9 求 之和.11个n解：由于 （找)10(991 kkk个个通项及特征） 1个n )10(9)0(9)
4、()0(9321 n（分组求和） )1()(321 个nn 90)9n 1(8n例 10 已知数列a n： 的值.11)(,)3(8nnaa求解： （找4(23()(11n通项及特征） （设制分组）)4(3)4(28n （裂项）)1814 n （分组、裂项求 111 )43()42()(nnna和） 48)3(4类型 1 )(nfan解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。1nfa例:已知数列 满足 ， ，求 。n2n21na4解：由条件知： 1)(121 nnan分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n()( 13412 aa)(n所以 nn1，21a123类型
5、 2 nnf)(解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。1nfa例:已知数列 满足 ， ，求 。na321a1n解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等n )1(,3,2)1(n式累乘之，即又 ，13421naa n4an1321n例:已知 ， ，求 。1nn21)(na123)(3)(an 。34756181n类型 3 （其中 p，q 均为常数， ） 。pnn )0(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利1tatnn pqt1用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列 中， ， ，求 .na132nan解：设递推公式 可以转化为 即 .故32n )(2
6、1tt 321tn递推公式为 ,令 ，则 ,且)(1b431ab.所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列，则31nabn41,所以 .243a5变式:递推式： 。解法：只需构造数列 ，消去 带来的差异nfpan1 nbf类型 4 （其中 p，q 均为常数， ） 。 （)01)(qp,其中 p，q, r 均为常数） 。1nnarq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数1nann1列 （其中 ） ，得： 再待定系数法解决。nbnqaqbnn1例:已知数列 中， , ，求 。651 1)2(3ana解：在 两边乘以 得：1)2(3nnan 1)2(31na令 ，则 ,解之得：
7、 所以b21nnbnnb)na)(类型 5 递推公式为 与 的关系式。(或 )nSa(nSfa解法：这种类型一般利用 与211n消去 或与 消去)()11nnnffa )( )(1nnSf2(进行求解。例：已知数列 前 n 项和 .（1）求 与 的关系；（2）求通项a24nnaS1na公式 .n解：（1）由 得： 于是21nn 1124nn)()(1naS所以 .12nn na21（2）应用类型 4（ （其中 p，q 均为常数， ） ）p1 )01)(qp的方法，上式两边同乘以 得： 由1nn.于是数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，2111aSa a所以 nn)(12n类型 6 bp1 )0、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令6，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为)()1(1 yxnapynxa yx是公比为 的等比数列。例:设数列 ： ，求 .n )2(,13,411 nn na解：设 ，将 代入递推式，得BAbB、Ab则 1,)(bn )13()23(ABAb132B（）则 ,又 ，故abn取 13n6代入（）得nn6 2a说明：（1）若 为 的二次式，则可设)(f;(2)本题也可由CA2, （ ）两式相减得131an 1)(321nn 3转化为2)(n求之.qbpb2
