1、1第四章 弹性杆横截面上的切应力分析4-3 梁横力弯曲时横截面上的切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 ，又有切应力 。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1矩形截面梁对于图 4-15 所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力 FQ。现分析距中性轴 z 为 y 的横线上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线 两端的剪应力必与截面两侧边相1a 1a切，即与剪力 FQ的方向一致。由于对称的关系，横
2、线 中点处的剪应力也必与 FQ的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想 线上各点切应力的方向皆平行于剪力 FQ。又1因截面高度 h 大于宽度 b，切应力的数值沿横线 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪 hj 力 FQ。2）切应力沿截面宽度均匀分布。基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图 4-16a 的横弯梁中截出 dx微段，其左右截面上的内力如图 4-16b 所示。梁的横截面尺寸如图 4-16c 所示，现欲求距中性轴 z 为 y 的横线 处的切应力 。过 用平行于中性层的纵截面 自 dx 微段中1a
3、1a1ca截出一微块（图 4-16d） 。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 。微块左右侧面上正应力的合力分别为 和 ，其中 1N2图 4-16图 4-152（4-29）*1I1* zAzASIMdIyN(4-30)*1I2 )()(* zzAzA SIdI式中， 为微块的侧面面积， 为面积 中距中性轴为 处的正应力，* )(I* 1y。*1AzdyS由微块沿 x 方向的平衡条件 ，得0x（4-31）21dbN将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31） ，得0*xSIdMz故 zbIdx*因 ，故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力 为,QFdx （4-
4、32 ）zQbISF*式（4-32 ）也适用于其它截面形式的梁。式中， 为截面上的剪力； 为整个截QFzI面对中性轴 z 的惯性矩；b 为横截面在所求应力点处的宽度； 为面积 对中性轴的yS*A静矩。对于矩形截面梁（图 4-17） ，可取 ，于是1bdyA)4(2221* yhyShyz 这样，式（4-32）可写成)4(22yhIFzQ上式表明，沿截面高度剪应力 按抛物线规律变化（图 4-17） 。 在截面上、下边缘处，y= , =0；在中性轴上，hy=0，切应力值最大，其值为（4-AFQ23max33）图 4-173式中 A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的 倍。232圆形截面
5、梁在圆形截面上（图 4-18） ，任一平行于中性轴的横线 aa 两1端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于 y 轴上的 c 点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力 FQ，设为均匀分布，其值为最大。由式（4-32）求得（4-34）A34max式中 ，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的 倍。24dA 343工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图 4-19 所示。最大剪应力在中性轴上，其值为 ZzQdISFmaxmax)(式中（S ） 为中性轴一侧截面面积对中性zax轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢表中查得。max*)(zI计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.950.97） FQ，因此也可用下式计算的近似值axdh1max式中 h 为腹板的高度，d 为腹板的宽度。1图 4-18图 4-19
