排列组合归纳总结.doc

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1、1排列、组合及二项式定理一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理定义完成一件事,可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种方法,在第二类办法中有 m2 种方法,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么,完成这件事情共有 Nm 1+ m2+mn 种不同的方法2分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过 n 个步骤,缺一不可,做第一步有 m1种方法,做第二步有 m2 种方法,做第 n 步有 mn 种方法,那么完成这件事共有 Nm 1 m2mn 种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系;都涉及完成一件事情的不同方法的种数区别:分类加法计数原理与分

2、类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成4. 分类分步标准分类就是一步到位,(1)类与类之间要互斥;(2)总数完整。分步是局部到位, (1)按事件发生的连贯过程进行分步;(2)步与步之间相互独立,互不干扰;(3)保证连续性。 排列与组合1排列(1)排列定义:从 n 个不同元素中,任取 m(mn) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数公式:A =n(n1)(n2) (nm 1)或写mn ACm成 A .特殊: A n n=n!=n(n-

3、1)!mnn!(n m)!(3)特征:有序且不重复2.组合(1)组合定义:从 n 个不同元素中,任取 m(mn) 个元素组成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(2)组合数公式:C = 或写成mn An(n 1)(n 2)(n m 1)m!2C .mnn!m! (n m)!(3)组合数的性质C C ;mn n mnC C C .mn 1 mn m 1n(4)特征:有序且不重复3.排列与组合的区别与联系:区别:排列有序,组合无序联系:排列可视为先组合后全排4.基本原则:(1)先特殊后一般;(2)先选后排;(3)先分类后分步。排列组合的应用(常用方法:直接法,间接法)1.抽取问

4、题:(1)关键:特殊优先;(2)题型: 把 n 个相同的小球,一次性的放入到 m 个不同的盒子中(nm) ,每个盒子至少 1 个,有多少种不同的方法?C mn把 n 个相同的小球,依次性的放入到 m 个不同的盒子中(nm) ,每个盒子至少 1 个,有多少种不同的方法?A mn把 n 个相同的小球,放入到 m 个不同的盒子中(nm) ,每个盒子放球数目不限,有多少种不同的方法?m n 把 n 个不同的小球,放入到 m 个不同的盒子中(nm) ,每个盒子至少 1 个,有多少种不同的方法?A mn把 n 个相同的小球,依次性的放入到 m 个不同的盒子中(nm) ,每个盒子至多 1 个,有多少种不同的

5、方法?C n-1m-1 隔板法2.排序问题:特殊优先(1)排队问题: 对 n 个元素做不重复排序 Ann; 对 n 个元素进行(其中有 m 个元素的位置固定)排列 ;mnA如果对 n 个元素进行(其中有 m 个元素的位置固定,k 个元素的位置3固定)排列 ;KmnA 相邻问题捆绑法(注意松绑);不相邻问题:(a)一方不相邻先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位; (b)互不相邻先排少的在插入多的;(2)数字问题;各位相加为奇数的-奇数的个数是奇数;各位相加为偶数的-奇数的个数是偶数;组成 n 为偶数(奇数)的数-特殊优先法;能被 n 整除的数-特殊优先法;比某数大的数,比某数小的数或某数的

6、位置-从大于(小于)开始排,再排等于;(3)着色问题:区域优先-颜色就是分类点;颜色优先-区域就是分类点.(4)几何问题:点、 线、 面的关系一般均为组合问题;图中有多少个矩形 C 62 C42;从 A 到 B的最短距离 C 83(5)分组、分配问题:非均分不编号;n 个不同元素分成 m 组,每组元素数目均不相等,且不考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽- .321211mnn非均分编号;n 个不同元素分成 m 组,每组组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽AB4mmnn AC.321211均分不编号;n 个不同元素分成 m 组,其中有 k 组元素数目均相等,且不考虑各组间的顺序,

7、不考虑是否分尽kmnn AC.321211均分编号;n 个不同元素分成 m 组,其中有 k 组元素数目均相等,且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽 kmnn AC).321211(二、二项式定理1.定理:(ab)n C anb0C an1 b C an2 b2C an rbrC a0bn(r0,1,20n 1n 2n rn n,n)2.二项展开式的通项Tr1 C anr br,r0,1,2,n,其中 C 叫做二项式系数rn rn3.二项式系数的性质对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等, 即 C C ,C C ,C C ,.0n n 1n n 1n kn n kn最大值:当 n 为偶数

8、时,中间的一项的二项式系数取得最大值;当 n 为奇数时,中间的两项的二项式系数, 相等,且同时取得最大值各二项式系数的和aC C C C C 2 n;0n 1n 2n kn nbC C C C C C 2n2 n1 .0n 2n 2rn 1n 3n 2r 1n12二项式定理的应用:1.求通项; rnrbaT12.含 xr 的项: 项的系数;二项式系数。3.常数项(含 xr 的项中 r=0)整数项(含 xr 的项中 rN)有理项(含 xr 的项中 rZ)无理项(含 xr 的项中 r Z)4.项的系数和:(1)已知多项式 f(x)=(a+bx)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:1

9、2n 25a 0 =f(0)a 0 +a1+a2+an = f(1)= (a+b)n; |a 0 |+|a1 |+|a2 |+|an |= f(1)= (a+b)n;a 0 +a2+a4+= ;)1(fa 1 +a3+a5+= ;2)(f(a 0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f(-1) 。(2)已知多项式 f(x)=(a-bx)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:a 0 =f(0)a 0 +a1+a2+an = f(1)= (a-b)n; |a 0 |+|a1 |+|a2 |+|an |= f(-1)= (a+b)n;a 0 +a2+a4+= ;)

10、1(fa 1 +a3+a5+= ;2)(f(a 0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f(-1) 。(3) 已知多项式 f(x)=(ax-b)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:令 g(x)=(-1) n(b-ax)na 0 =f(0)a 0 +a1+a2+an = f(1)= (a-b)n; |a 0 |+|a1 |+|a2 |+|an |=|(-1)n|g(-1)a 0 +a2+a4+= ;)1(f6a 1 +a3+a5+= ;2)1(f(a 0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f(-1) 。(4) 已知多项式 f(x)=(

11、-ax-b)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:令 g(x)=(-1) n(ax+b)na 0 =f(0)a 0 +a1+a2+an = f(1)= (a-b)n; |a 0 |+|a1 |+|a2 |+|an |=|(-1)n|g(1)a 0 +a2+a4+= ;)1(fa 1 +a3+a5+= ;2)(f(a 0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f(-1) 。5.最值问题: 二项式系数最大:(a)当 n 为偶数时,二项式系数中, Cn2最大;(b)当 n 为奇数时,二项式系数中, 最大21n21n和项的是系数最大: 表示第 r+1 项的系数1rTC(a) 个项都为正数时 最大;112rrr TTC(b) 一项为正一项为负时 最大1113rrr TT6

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