1、2011 高考数学备考之 放缩技巧证明数列型不等式，因其思维 跨度大、构造性 强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成 为高考 压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩 例 1.(1)求 的值; (2)求证: .nk1243512nk解析:(1)因为 ,所以)(1 12142nkn(2)因为 ,所以12422 nn 35512 k奇巧积累:(1) (2) 122 )1()1(21 nnCn(3) )(
2、!)(!1 rrnrCTrnr(4) 25123)(5) (6) nn12nn(7) (8) )()( nn2)3(1)2(13(9) kknkkn1,1(10) (11)!)(!)( 2121)2( nnn(11) )()(1)(2)1()2( nnnn(12) 1123 nnn(13) 3212)(3)1(1 n(14) (15) !2!kk )(1)(15) 1)1)(222 jijijji例 2.(1)求证: )2(167)2(15312 nn(2)求证: (3)求证:464 12642)(53143n(4) 求证： )(31)(n解析:(1)因为 ,所以 12)(2nn )13()1
3、()(12 nin(2) (4143614 (3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案6)53 n2(4)首先 ,所以容易经过裂项得到nn12)(21 n131)(再证 而由均值不等式知道这是显然成立的，21所以 )2(312n例 3.求证: 35194)(62n解析: 一方面: 因为 ,所以122 nn 3521251312 nkn另一方面: )(4319412当 时, ,当 时, ,3n)(6n29412)(6nn当 时, ,21)(所以综上有 35942n例 4.(2008 年全国一卷)设函数 .数列 满足 . .()lnfxna10()naf设 ，整数 .证明
4、: .1(ba， 1lnabk 1k解析: 由数学归纳法可以证明 是递增数列, n故 若存在正整数 , 使 , 则 ,mbak1若 ,则由 知 , ,)(kba01am0lnl1bamkmkk aa11lnl因为 ,于是)ln(l1mk)(|1例 5.已知 ,求证: .mmnSxNn321, 1)(1mnS解析:首先可以证明: xn)(所以要证 km 111111 )(0)(只要证: )(mnS nkmmmmknkm nn1111111111 )(2)()()( 故只要证 ,knm1)(即等价于 ,mm11 )(即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.,)(k例 6.已知 , ,求证: .na
5、24naT21 23321nT解析: )21(41)(4)(43 nnn 所以 3)(2323)21(4 2111 nnnnnn 3从而 21272321 nnT例 7.已知 , ,求证:1x)(Zkn *)(14124532 Nnxxn证明: ,nn142)24412 因为 ,所以 )(1xn 所以 *244532 Nnxn二、函数放缩例 8.求证： .)(653l4lnl *n解析:先构造函数有 ,从而xx1l)312(3l42nncause nn 1987653121 65327981nn所以 653l4lnl n例 9.求证:(1) )2(1ln3l2n, 2n解析:构造函数 ,得到
6、,再进行裂项 ,求和后可以得到答案xf)(2)1(ln函数构造形式: ,1l)(l例 10.求证: nn12)l(312解析:提示: 2ln1ll函数构造形式: x1ln,当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数 ,xf)(首先: ,从而,niABCFS1)ln(|l1ixinin取 有, ,i)l(所以有 , , , ,相加后可以得到: 2n3)1l(nnl)l()1l(31另一方面 ,从而有niABDExS )l(|lixinin取 有, ,1i)l(所以有 ,所以综上有n12)ln( nn12)l(132例 11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明e)!(31)!( en)(8)
7、9(2例 12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案312 1)(32)(ln函数构造形式: (加强命题)0)ln(03)ln(xx例 13.证明: )1*,(41l543l2N解析:构造函数 ,求导,可以得到:(n)xxf,令 有 ,令 有 ,2)( xf 0f20)f2x所以 ,所以 ,令 有,)()1l(12nl所以 ,所以1ln)*(4)l5n43NFE DCBAn-i nyxO例 14. 已知 证明 .121,().nnaa2ne解析: ,na)1(然后两边取自然对数,可以得到 nal)21(l然后运用 和裂项可以得到答案 )x)1ln(放缩思路： na2nl1l(2。于是 ，n
8、nal2l1.2)()(211 nniiii即 .lenn注：题目所给条件 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；lx0当然，本题还可用结论 来放缩：)2()1(1(ann 1nna，.l)l 1)ln(1l)()1l(l 222 ainiii即 3(enn例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 若.l)(xf ).(2ln)(:,0bfafbafba证 明解析:设函数 (),)gxkln,l(ln,0.()1)2(), 0.f kxkxgxkx令 则 有函数 ）上单调递增，在 上单调递减. 的最小值为 ，即总有k,2)(在 ,()(xg)2(kg).2(kgx而 ,
9、ln2lnl)2() kffg ,nkx即 .l)()ff令 则,ba.a.2lbff ).(2ln)(bfafbaf例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.)(xf)0)(xf0(I)求证：函数 上是增函数； (II)当 ；,)(在xg )(:,0212121 xfx证 明时(III)已知不等式 时恒成立，1ln且在求证： ).(2)(l)(413l2n *22 Nn解析:(I) ,所以函数 上是增函数0)(2xfg,0在xfg(II)因为 上是增函数,所以在)()(212121fxfxf ()2两式相加后可以得到 )()(2121ff(3)
10、 )()21 nnn xxxfx )(21212 ff )()21 nnnn xxxfx 相加后可以得到: )()212ff 所以 )l(lll 21321 nnn xxxxx 令 ,有 )(n 22)l1(41 222)1(3l(43nn3l)(322 )1所以 ).(2)(l)(n4l1 *2Nn(方法二) 12)1(l)(n22所以 )(4l14l)ln(l3l 22 n又 ,所以4n .2)*222 N三、分式放缩姐妹不等式: 和)0,(mab)0,(mba记忆口诀”小者小,大者大”解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号 ,反之.例 19. 姐妹不等式: 和12)()513(n也可
11、以表示成为2)614(2n和53n 124)(n解析: 利用假分数的一个性质 可得)0,(mab1264 6753 543即)5312(n .12)1()(n例 20.证明: .3)2()714)( n解析: 运用两次次分式放缩:(加 1)18956.3852(加 2)nn0174相乘,可以得到: )13(2875413857.243852 n所以有 .)()1)(n四、分类放缩例 21.求证: 21321n解析: )21()4133()( nnn例 22.(2004 年全国高中数学联赛 加试改编) 在平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲线xoynA（ 0）上的点列 满足 ，直线 在
12、x 轴上的截距为 .点 的横坐标为 ,xy2nBOAn1nBAnaBb.Nn(1)证明 4， ; (2)证明有 ，使得对 都有 .na1N00nbb1231 208解析:(1) 依题设有： ，由 得：1,2nnnBbnOB,又直线 在 轴上的截距为 满足2*2,nnbAxa100na12nab22110,nnb2 4n nnnb221an显然，对于 ，有10n*14,naN(2)证明：设 ，则*,bc22 2222211n nn*1110,nnncN设 ，则当 时，*2,ScN 2k313413412nk kk 。212k所以，取 ，对 都有：4090n208147110232 nnSbb故有
13、 成立。11 28例 23.(2007 年泉州市高三质检 ) 已知函数 ，若 的定义域为1，0 ，值域),1()(2Rcbxf(xf也为1，0. 若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数 A，使得对nb(*3NnfnnT于任意正整数 都有 ？并证明你的结论。AT解析:首先求出 ,xf2)(fbn12)(3 , , ,bnn 1321 421847615,故当 时, ,2211 kkkk k2Tn因此，对任何常数 A，设 是不小于 A 的最小正整数，m则当 时,必有 .2mnTn故不存在常数 A 使 对所有 的正整数恒成立.2例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 表示
14、的平面区域为 ,nxy3,0nD设 内整数坐标点的个数为 .设 , 当 时,求证: . nDnanaS2211 36171232naa解析:容易得到 ,所以,要证 只要证 ,因为n367321n 73Snn,所以原命题得证nnS()87651()421 1)(121 Tn五、迭代放缩例 25. 已知 ,求证: 当 时,141xn2nnix112|解析:通过迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到结论n例 26. 设 ,求证: 对任意的正整数 k,若 kn 恒有:| Sn+kS n|nnS2!sii!1s1n解析: |2)sin()(1| 2kkn kn 21|)!si(|2)!i(| 121 nk
15、nkn又 所以C10)( nSkn|六、借助数列递推关系例 27.求证: 12642)(534231n解析: 设 则an1,从而nnn a)()1(,相加后就可以得到n2 12)(132)()(121 nnaa所以 64534例 28. 求证: 122)(1621 n解析: 设 则an453,从而111 )()()( nnn a,相加后就可以得到22231)(3)(11 naann例 29. 若 ,求证:,1n )(21n解析: naaa 212所以就有 21212121 naaannn七、分类讨论例 30.已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数 ，有nanS.1,)(2nan 4m8
16、715ma解析:容易得到 ,.13由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论：n)(当 且 为奇数时3n 123)2(11 nna（减项放缩） ，于是)2(21n当 且 为偶数时4mm54 )()(1654 maa.87321)(3)(32 m当 且 为奇数时 （添项放缩）由知a154 154m由得证。.87154ma八、线性规划型放缩例 31. 设函数 .若对一切 ， ，求 的最大值。2()xfxR3()afxba解析:由 知 即 21()110()12fx由此再由 的单调性可以知道 的最小值为 ，最大值为()fxfx因此对一切 ， 的充要条件是， 即 ， 满足约束条件 ，R3()ab3ab312ab由线性规划得， 的最大值为 5九、均值不等式放缩例 32.设 求证.)1(321nSn .2)1(nS解析: 此数列的通项为 .,kak， ，)(k1n即 .2)(2Sn注： 应注意把握放缩的 “度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成2ba则得 ，就放过“度”了！1)(k)(3)(12nkn根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 aaannn2111其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。3,2
