1、14-3: 如题4-3图所示，物体的质量为 ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为m，弹簧的倔强系数为 ，滑轮的转动惯量为 ，半径为 先把物体托住，使弹簧维持kIR原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期题4-3图解：分别以物体 和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位m置为坐标原点，沿斜面向下为 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为 时，有x x21dsintxmTgIR21tx2d)(02xkT式中 ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有kmgx/sin0kxRtImR2d)(令 I2则有 0d2xt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 )/2
2、(22KRImkRIT4-5 : 一个沿 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 ，周期为 ，其振动方程用余弦xAT函数表示如果 时质点的状态分别是：0t(1) ；A0(2)过平衡位置向正向运动；2(3)过 处向负向运动；2Ax(4)过 处向正向运动试求出相应的初位相，并写出振动方程解：因为 00sincoAvx将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相故有 )2co(1 tTx3s23)c(3tAx4-7: 有一轻弹簧，下面悬挂质量为 的物体时，伸长为 用这个弹簧和g0.1cm9.4一个质量为 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开 后 ，给予向上g0.8 01的初速度 ，
3、求振动周期和振动表达式1scm5v解：由题知 1231 N.09.48xk而 时， ( 设向上为正)0t -120sm.5,. v又 6.,18.3Tmk即102)50.().(22202vxA4,.5tan00 即xv m)5cos(12t4-9: 一轻弹簧的倔强系数为 ，其下端悬有一质量为 的盘子现有一质量为 的kMm3物体从离盘底 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动h(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?(2)此时的振动振幅多大?(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程解：(1)空盘的振动
4、周期为 ，落下重物后振动周期为 ，即增大kM2kmM2(2)按(3)所设坐标原点及计时起点， 时，则 碰撞时，以 为一系统0tgx0 ,动量守恒，即 0)(2vmgh则有 Mv0于是 gmkhkgmghvxA)(21)(2)()(202（3） (第三象限)，所以振动方程为Mxv(tan0 gmMkhtmkgkhkmg )(2arcncos)(214-10: 有一单摆，摆长 ，摆球质量 ，当摆球处在平衡位置0.l 103时，若给小球一水平向右的冲量 ，取打击时刻为计时起点4skg.1tF，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程)0(t解：由动量定理，有 0mvt 1-34s.1. tFv按
5、题设计时起点，并设向右为 轴正向，则知 时， 0x0t 10sm.,vx 2/304又 1srad3.0189lg m02.)( 3220 vxA故其角振幅 rad1.33lA小球的振动方程为 r)2.cos(02.3t4-11: 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为 ，位相与第一m20.振动的位相差为 ，已知第一振动的振幅为 ，求第二个振动的振幅以及第一、第6m173.二两振动的位相差题4-11图解：由题意可做出旋转矢量图如下由图知 01. 2/3.017.2).(73(3cos212AA m2设角 ，则为OA1 cos2121AA即 0.073.)2().0(cos21 即
6、，这说明， 与 间夹角为 ，即二振动的位相差为 .21A224-12 : 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：5(1) (2)cm)37cos(521tx cm)34cos(521tx解： (1) ,3712合振幅 c0A(2) ,34合振幅 5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为 =0.05cos(10 )，式中 , 以米yxt4y计， 以秒计求：t(1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求 =0.2m 处质点在 =1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的xt运动状态在 =1.25s时刻到达哪一点 ?t解:
7、(1)将题给方程与标准式 )2cos(xtAy相比，得振幅 ，频率 ，波长 ，波05.Am515.0m速 2u1s(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 5.0.1maxAv 1s222)(m(3) m 处的振动比原点落后的时间为2.0x 08.5uxs故 , 时的位相就是原点 ( )，在 时的位相，.1ts 92.0.1ts即 2.9设这一位相所代表的运动状态在 s 时刻到达 点，则5.1tx825.0)15.(0)(1 ux m5-11 一列平面余弦波沿 轴正向传播，波速为5ms -1，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题5-11图所示(1)写出波动方程；6(2)作出 =0时的波形图及
8、距离波源 0.5m处质点的振动曲线t解: (1)由题 5-11(a)图知， m，且 时， ， ，1.0A0t0,0vy23又 ，则5.2uHz52题 5-11 图(a)取 ，)(cos0uxtAy则波动方程为 )235(cos1.xtym(2) 时的波形如题 5-11(b)图0t题 5-11 图(b) 题 5-11 图(c) 将 m 代入波动方程，得该点处的振动方程为5.0x )5cos(1.0)235.0cos(1.0 tty m如题 5-11(c)图所示5-12 如题5-12图所示，已知 =0时和 =0.5s时的波形曲线分别为图中曲线 (a)和(b) tt，波沿 轴正向传播，试根据图中绘出
9、的条件求：x(1)波动方程；(2) 点的振动方程P解: (1)由题 5-12 图可知， ， ，又， 时， ，1.0Am40t0,0vy，而 ， ，2025.txus 5.2uHz2故波动方程为 )(co1.0xty(2)将 代入上式，即得 点振动方程为1PxmPttycos1.0)2cs(.m7题 5-12 图5-13 一列机械波沿 轴正向传播， =0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 xtms -1，波长为2m，求：(1)波动方程；(2) 点的振动方程及振动曲线；P(3) 点的坐标；(4) 点回到平衡位置所需的最短时间解: 由题 5-13 图可知 ， 时， ， ，由题知1.0Amt
10、0,20vAy32，m，则10u1s 52uHz 10(1)波动方程为 3)(cos.0xtym题 5-13 图(2)由图知， 时， ， ( 点的位相应落后于 点，故0t 0,2PPvAy34P 0取负值) 点振动方程为P)341cos(.tp(3) |00tx解得 67.5m(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题 5-13 图(a)，则由 点回到平衡位置应经历的位P相角8题 5-13 图(a)6523所属最短时间为 10/ts5-15 已知平面简谐波的波动方程为 (SI)24(coxtAy(1)写出 =4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何t时通过原点
11、?(2)画出 =4.2 s时的波形曲线解:(1)波峰位置坐标应满足kxt2)4(解得 ( )4.8(kxm,10k所以离原点最近的波峰位置为 . 故知 ,uxtt2421s ，这就是说该波峰在 前通过原点，那么从计时时刻算起，则.0s.0应是 ，即该波峰是在 时通过原点的4. 4s题 5-15 图(2) ， ，又 处， 时，2,4u1sm 12uTm0x2.4ts8.64.0AAy2cos又，当 时， ，则应有Ay17x178.6x解得 ，故 时的波形图如题 5-15 图所示.0xm2.4ts5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.010 -3Jm-2s-1，9
12、频率为300 Hz，波速为300ms -1，求 ：(1)波的平均能量密度和最大能量密度?(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?解: (1) uwI 531060.183mJ4max2.3(2) udwVW2475 104.93)1.0(16 J5-19 如题5-19图所示，设 点发出的平面横波沿 方向传播，它在 点的振动方BBPB程为 ; 点发出的平面横波沿 方向传播，它在 点的振动方程为ty2cos103CCC，本题中 以m计， 以s计设 0.4m， 0.5 m，波)(2yt P速 =0.2ms-1，求：u(1)两波传到P点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时， 处合振动的振幅；P
13、*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时， 处合振动的振幅解: (1) )(2)(12BCu0)4.5(2.0题 5-19 图(2) 点是相长干涉，且振动方向相同，所以P32104APm(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为 ，这时合振动轨迹是通过，象限的直线，所以合振幅为 33121 18.2A6-20 容器中储有氧气，其压强为p0.1 MPa( 即1atm)温度为27，求(1)单位体积中的分子n；(2) 氧分子的质量m；(3)气体密度 ；(4) 分子间的平均距离 ；(5)e10平均速率 ；(6)方均根速率 ；(7)分子的平均动能 v2v解：(1)由气体状态方程 得nkTp2423510.
14、108. 3m(2)氧分子的质量26230mol .5.6NMkg(3)由气体状态方程 得RTpVmol13.031.8025l 3mkg(4)分子间的平均距离可近似计算9324.705. ne(5)平均速率58.632.186.60.1mol MRTv 1sm(6) 方均根速率 7.47.mol2v1s(7) 分子的平均动能 2023.018.52kT J6-21 1mol 氢气，在温度为 27时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少?解：理想气体分子的能量RTiE2平动动能 3t 5.37901.82tEJ转动动能 r 4r内能 5i .6.i J6-22 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的 2 倍，求(1)氧气和氢气分子
