1、 目 录第 1 讲 平均数 1第 2 讲 倍数问题（一） 3第 3 讲 倍数问题（二） 5第 4 讲 假设法解题 7第 5 讲 作图法解题 9 第 6 讲 周期问题11第 7 讲 置换问题13第 8 讲 包含与排除15第 9 讲 估值问题17第 10 讲 一般应用题19第 11 讲 盈亏问题21第 12 讲 算式题23第 13 讲 行程问题25第 14 讲 火车行程问题27第 15 讲 灵活运用29终结性测试题一 31终结性测试题二 321第 1 讲 平均数专题简析把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的输就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些
2、稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量总份数总数量=平均数 总份数总份数=总数量平均数例 1某 3 个数的平均数是 2，如果把其中一个数改为 4，平均数就变成了 3，被改的数原来是多少？分析解答： 原来三个数的和是 23=6，后来个数的和是 33=9，9 比 6 多出了3，是因为把那个数改成了 4，因此，原来的数应该是 4-3=1。33-23=34-3=1答：被改的数原来是 1。随堂练习：1、已知九个数的平均数是 72 ，去掉一个数后，余下数的平均数是 78，去掉的数是多少？2、有五个数，平均数是 9，如果把其中的一个数改为 1，那么这五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少
3、？例 2把五个数从小到大排列，其平均数时 38，前三个数的平均数是 27，后三个数的平均数是 48，中间一个数是多少？分析解答： 先求五个数的和：385=190 。在秋初前三个数的和： 273=81，后三个数的和：483=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比 190 多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。273+483-385=35答：中间一个数是 35。随堂练习：1、甲、乙、丙三人的平均年龄为 22 岁，如果甲乙的平均年龄是 18 岁，乙丙的平均年龄是 25 岁，那么乙的年龄是多少岁？2、十名参赛者平均分是 82 分，前 6 人的平均分是 83 分，
4、后 6 人的平均分是 80 分，那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分？拓展训练1、 化肥厂在一星期前 3 天平均每天生产化肥 250 吨，后 4 天共生产化肥 1126 吨，这个星期平均每天生产化肥多少吨？22、 修一条渠，第一天修 3 小时，平均每小时修 4.5 千米;第二天修 5 小时,平均每小时修 5.3 千米,这两天平均每天修多少千米?平均每小时修多少千米?3、 三个小组采集树种,第一小组 10 人,一天采集树种 180 千克;第二小组 12 人,一天采集树种 240 千克;第三小组 13 人,一天采集树种 280 千克.平均每人采集树种多少千克?4、 张红前三次数学测验平均成绩
5、是 92 分,第四次得了 96 分.他四次的平均成绩是多少分?5、 下面是某小学五(1)中队第一小队向灾区捐款的情况统计表,请你算出平均每人捐多少元?捐款金额(元) 3 5 8 10人数 1 4 3 46、 兴华小学四年级有 3 个班,一、二班的平均人数是 55 人,二、三班的平均人数是 56 人,一、三班的平均人数是 52 人,问这三个班各有多少人?7、 15 个同学分连环画,平均每人分到 7 本,后又来了若干个同学,大家重新分配,平均每人分到 5 本,问又来了几名同学?8、甲、乙两地相距 161 千米。汽车从甲地到乙地用了 3 小时，从乙地返回甲地时，比去时多用了 1 小时，这辆汽车往返甲
6、、乙两地的平均速度是多少？9、 爸爸、妈妈的平均年龄是 36.5 岁，儿子的年龄是 11 岁，再过 3 年，他们三人的平均年龄是多少岁？10、 九个数的平均数是 72，去掉一个数后，余下的数的平均数是 78，去掉的数是多少？11、 韩磊期末考试语文、外语、思想品德和自然的平均成绩是 81 分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高 2 分，他的数学成绩是多少分？12、 五年级 5 个同学参加作文竞赛，其中 4 人的平均成绩是 65 分，加上李明的分数后，平均成绩就是 70 分，李明得了多少分？13、李华期末考试思想品德、语文、数学、英语、社会五科的平均成绩是 89 分，思想品德、数学两科的平均成绩是
7、 91 分，语文、英语两科的平均成绩是 84 分，思想品德、英语两科的平均成绩是 86 分，且英语比语文多 10 分。问李华这五科的成绩各是多少分？3第 2 讲 倍数问题（一） 专题分析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或者差以及几个数的倍数关系，求这几个数的应用题。解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1 倍数，再根据其他几个数与这个数的关系，确定“和”或者“差”相当于这样的几倍。最后用用除法求出 1 倍数。和数（倍数1）较小数差数（倍数1）较小数例 1 两根同样长的铁丝，第一根剪去 18 米，第二根剪去 26 米，余下的铁丝第一根是第二根的
8、 3 倍。原来两根铁丝各长多少米？分析解答：这两根铁丝的差保持不变，而剩下的铁丝的差依然是原来铁丝的差。根据余下的铁丝第一根是第二根的 3 倍。则余下的铁丝相差 2 倍。这样很容易计算第二根余下的铁丝是：（2618）（31）4（厘米）则原第二根铁丝长 30 厘米。随堂练习：1、两根绳子一样长，第一根用去 6.5 米，第二根用去 0.9 米，剩下部分第二根是第一根的 3 倍。两根绳子原来各长多少米？2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉 40 个苹果和 5 个梨后，剩下的梨是苹果的 6 倍。原来两筐水果一共有多少个？例 2 甲组有图书是乙组的 3 倍，若乙组给甲组 6 本，则甲组的图书是乙组的 5
9、 倍。原来甲组有图书多少本？分析解答：甲组的图书是乙组的 3 倍，若乙组拿出 6 本，甲组相应的也拿出 6318（本），则甲组仍是乙组的 3 倍，事实上甲组不但没有拿出 18本，反而接受了乙组的 6 本，这样 24 本正好对应后来两组的（532）倍。因此后来乙组的图书是：（636）（53）12（本）。则原来乙组为18 本，甲组就是 18354（本）。随堂练习：1、原来小明的画片是小红的 3 倍，后来二人个买了 5 张，这样小明的画片就是小红的 2 倍。原来二人各有多少张画片？2、一个书架分上下两层，上层的书的本数是下层的 4 倍，从下层拿出 5本放入上层后，上层的本数正好是下层的 5 倍。原来
10、下层有几本书？拓展训练1、幼儿园买来的苹果的个数是 梨的 3 倍，吃掉 10 个梨和 6 个苹果后，还有苹果正好是梨的 5 倍。原来买来苹果和梨共多少个？2、两个数的和是 682，其中一个数的个位是 0，如果把这个 0 去掉，就得到另一个数。这两个数各是多少？43、甲粮库的存粮是乙粮库的 2 倍，甲粮库每天运出 40 吨，乙粮库每天运出 30 吨。若干天后，乙粮库的粮食全部运完，甲粮库还有 80 吨。甲乙粮库原来各有粮食多少吨？4、高年级同学分 7 人一组植树，已知杨树的棵数正好是杉树的 2 倍，如果每小组分到杉树 6 棵，杨树 8 棵，那么杉树正好分完，杨树还剩 20 棵。参加植树的一共有多
11、少人？5、兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了 5 本书，平均每本 8.4元。弟弟买了 3 支笔，每支 1.2 元。现在弟弟的钱数是哥哥的 3 倍。兄弟两人原来各有多少钱？6、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给 5 个男生，则男女生人数相等，如果参加的男生名额给 4 个女生，则男生人数是女生的一半。原定夏令营中男女生各多少人？7、体育室有排球和篮球共 65 个，已知篮球个数的 3 倍比排球个数的一半多 20 个。排球和篮球各有多少个？8、甲乙二人共存钱 550 元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的 70元时，两人余下的钱正好相等，求甲乙原来各存有多少钱？9、原来食堂里存的大米是面
12、粉的 4 倍，大米和面粉各吃掉 80 千克，大米的重量是面粉的 2 倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？10、饲养场的白兔是黑兔的 5 倍，后来卖掉 10 只黑兔，买回来 20 只白兔，现在白兔的只数是黑兔的 7 倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？5第 3 讲 倍数问题（二） 例 1 幼儿园买来苹果的个数是梨的 2 倍，如果每组领 3 个梨和 4 个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩 16 个。两种水果原来各有多少个？分析解答：因为苹果是梨的 2 倍，如果每组领梨 3 个，领苹果就应为 6个，这样才会一起分完。可实际每组只分 4 个苹果，少分 2 个，剩下的 16 个苹果就告诉我们有 8 个
13、组。因此苹果的个数是：841648（个），梨有24 个。随堂练习：同学们带着水果去看敬老院的老人，带的苹果是橘子的 3 倍，如果每位老人拿 2 个橘子和 4 个苹果，那么，橘子正好分完，苹果还多 14 个。问同学们把苹果分给了几位老人？ 例 2 有两筐橘子，如果从甲筐拿出 8 个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；如果从乙筐拿出 13 个放到甲筐，甲筐里的橘子是乙筐的 2 倍。甲乙两筐原来各有多少个橘子？分析解答：“如果从甲筐拿出 8 个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；”表示两筐橘子相差 16 个，“如果从乙筐拿出 13 个放到甲筐，”表示现在两筐的橘子差距是 1613242（个）“甲筐里的橘子是乙筐
14、的 2 倍”说明现在倍数差是 211（倍），这样就可以计算现在乙筐的橘子数是：42142（个）则原来就是 55 个。甲筐的计算就容易了。随堂练习：甲乙仓库存有货物，若从甲仓库取 31 吨放入乙仓库，则两仓库存货物同样多；若乙仓库取 14 吨放入甲仓库，则甲仓库的货物是乙仓库的4 倍。原来两仓库各存货物多少吨？ 拓展训练1、养鸡场新买来 100 只小鸡，其中，母鸡只数的 4 倍比公鸡只数的 3 倍多 120 只。买来母鸡、公鸡各多少只？思路：题中已知母鸡和公鸡只数的和是 100 只，就可以计算它们的 4 倍是 400 只。又因为母鸡只数的 4 倍比公鸡只数的 3 倍多 120 只，从 400 只
15、去掉 120 只，就是公鸡只数的 7 倍，则公鸡的只数是 40 只，母鸡就是 60 只。2、有两块地共有 80 公顷，第一块地的 3 倍比第二块地的 2 倍少 10 公顷。这两块地各有多少公顷？3、养鸡场的母鸡只数是公鸡的 6 倍，后来公鸡和母鸡各增加 60 只，结果母鸡的只数就是公鸡的 4 倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡？思路：养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的 6 倍，如果公鸡增加 60 只，则母鸡应增加360 只，这样才能保证母鸡是公鸡的 6 倍，实际上母鸡只增加了 60 只，少增加的 300 只就是母鸡只数是公鸡只数的 4 倍。所以现在的公鸡数是：60（61）（64）150（只）原来的总数为
16、：（15060）（16）630（只）。4、今年，爸爸的年龄是小明的 6 倍，再过 4 年，爸爸的年龄就是小明的 4 倍。今年小明多少岁？练习七：65、有 1800 千克的货物，分装在甲乙丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的 2 倍，乙车比丙车多装 200 千克。甲乙丙三辆车各装货物多少千克？思路：把乙车看成 1 倍数，因为乙车比丙车多装 200 千克，甲车是乙车装的 2 倍，这样在总数中加上 200 千克，就可以看成乙车的 4 倍。所以乙车装了 500 千克。甲车和丙车就好计算了。6、三堆货物共 1800 箱，甲堆的箱数是乙堆的 2 倍，乙堆的箱数比丙堆少 200 箱，三堆货物各多少箱？
17、7、甲乙丙三数的和是 224，如果甲是乙的 3 倍，丙是甲的 4 倍，求甲乙丙三数各是多少？8、把 840 本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的 3 倍多 5 本，中层放的本数是上层的 2 倍多 1 本。问：上中下三层各放书多少本？9、甲乙两个书架，已知甲书架有书 600 本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架的 2 倍还多 150 本。乙书架原来有书多少本？思路：先计算现在的甲书架的书的本数：60032400（本），根据甲书架的书是乙书架的 2 倍还多 150 本，可计算现在乙书架的书的本数：（400150）2125（本），因为从乙书架借出四分之三后是 1
18、25 本，所以原来的本数是：12514500（本）。10、某校有男生 630 人，选出男生人数的三分之一和女生的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的 2 倍。这个学校共有学生多少人？7第 4 讲 假设法解题专题分析：假设法解题是一种常用的思维方法，在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案。例 1 有 5 元和 10 元的人民币共 14 张，共 100 元，问 5 元和 10 元的人民币各多少张？分析解答：先
19、假设有 14 张 5 元的，则总数是 70 元，那么与实际相差 30 元，所以这 30 元就是 10 元人民币少出来的，因此 10 远人民币的张数是 30（105）6（张） 。也可以假设有 14 张 10 元的随堂练习：1、笼中共有鸡兔 100 只，鸡和兔的脚共 248 只，求笼中鸡兔各多少只？2、一堆 2 分和 5 分的硬币共 39 枚，共值 1.5 元。问 2 分和 5 分的银币各有多少枚？3、营业员把一张 5 元的人民币和一张 5 角的人民币换成了 28 张票面为一元和一角的人民币。求换来的这两种人民币各多少张？例 2 有一元、二元、五元的人民币 50 张，总面值为 116 元。已知一元
20、的比二元的多 2 张，问三种面值的人民币各有多少张？分析解答：如果减少 2 张一元的，那么，总张数就是 48 张，总面值就是 114 元，这样一元和二元的张数就同样多了。假设 48 张都是 5 元的，则总面值为 240 元，比实际多了 126 元，这 126 元不仅包括把一元的假设为 5 元，而且包括把二元的假设为 5 元，这样在两张 5 元中就多了 7 元。所以二元的就有 18 张，一元的就有 20 张，五元的有 12张。随堂练习：1、有 3 元、5 元和 7 元的电影票 400 张，一共价值 1920 元。其中 7 元的和 5 元的张数相等，三种价值的电影票各有多少张？2、有一元、五元、十
21、元的人民币共 14 张，总计 66 元，其中一元的比十元的多 2张，问三种人民币各有多少张？3、有 1 角、2 角、4 角、5 角的邮票共 26 张，总计 6.9 元。其中，1 角和 2 角的张数相等，4 角和 5 角的张数相等。求这四张邮票各有多少张？拓展练习1、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的 2 倍。如果从这堆棋子中每次取出黑子 4 个，白子 3 个，那么取了多少次后，白子余 1 个，而黑子余 18 个？思路：假设每次取出 3 个白子，黑子应取出 6 个，那么白子剩下 1 个时，黑子应剩下 2 个。而实际剩下了 18 个，是因为每次少取了 2 个黑子。所以取了（18）（64）8（
22、次） 。82、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的 3 倍。如果从这堆棋子中每次同时取出黑子 6 个，白子 3 个，那么取了多少次后，白子余 5 个，黑子余 36 个？3、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的 2 倍。如果从这堆棋子中每次同时取出黑子 3 个，白子 4 个，那么取了多少次后，白子余 2 个，黑子余 29 个？4、操场上有一群同学，男生人数是女生的 4 倍，每次同时有 2 名男生和 1 名女生回教室，若干次后，男生剩下 8 人，女生剩下 1 人？操场上共有多少名同学？5、用大小两种汽车运货，每辆大汽车装 18 箱，每辆小汽车装 12 箱。现有 18 车货，价值 3024
23、元。若每箱便宜 2 元，则这批货物价值 2520 元。问大小汽车各多少辆？思路：根据“若每箱便宜 2 元，则这批货物价值 2520 元。 ”可以知道一共便宜了504 元，这样可以计算出货物有 252 箱。假设 18 辆都是大汽车，可以装 324 箱，比实际多装 72 箱。用一辆大汽车换一辆小汽车可少运 6 箱，所以有 12 辆小汽车。6 辆大汽车。6、一辆卡车运矿石，晴天每天可运 20 次，雨天每天可运 12 次，它一共运了 112次。平均每天运 14 次。这几天中有几天是雨天？7、有鸡蛋 18 箩，每只大箩装 180 个，每只小箩装 120 个，这批蛋共值 302.4 元。若将每个鸡蛋便宜
24、2 分出售，这些鸡蛋可卖 252 元。问大箩、小箩各有多少个？8、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克 0.4 元，小的每千克 0.3 元，这样卖这批西瓜共值 290 元。如果每千克西瓜降价 0.05 元，这批西瓜只能卖 250 元，问有多少千克大西瓜？9、甲乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记 10 分，脱靶一次倒扣 6 分。两人各投 10次，共得 152 分。其中甲比乙多得 16 分，问两人各中多少次？思路：根据共得 152 分。其中甲比乙多得 16 分，可计算甲得 84 分，乙得 68 分。甲投 10 次，假设全中。应得 100 分，这样比实际多了 16 分，由于脱靶一次扣 6 分，所以甲
25、脱靶一次应扣 16 分，这样可计算出甲脱靶了 1 次。同理可计算乙脱靶了 2 次。那么计算甲乙投中的次数就容易了。10、百货公司委托搬运站送 500 只玻璃瓶，双方商定每只运费 0.24 元。如果打破一只，不但不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果，搬运站共得运费 115.50 元。问搬运中打破了几只？9第 5 讲 作图法解题专题分析：用作图法把应用题的数量关系表示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。在解答已知一个数或者几个数的和差、差倍以及相互之间的关系、求其中一个数或者几倍数问题等应用题时，我们可以抓住题中给
26、出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。例 1 五（一）班的男生人数和女生人数同样多。抽去 18 名男生和 26 名女生参加合唱团，剩下的男生人数是女生的 3 倍。五（一）班原有男女生多少人？分析解答：先作图：由于男生人数和女生人数同样多，抽去 18 名男生和 26 名女生参加合唱团，说明男生比女生少抽 8 名，剩下的男生人数是女生的 3 倍，这 8 名正好是剩下男女生相差的 2 倍。这样很容易计算剩下的女生是 4 人。则原有女生 30 名。随堂练习：1、两根电线一样长，第一根剪去 50 厘米，第二根剪去 180 厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的 3 倍。这两根电线原来共长多少厘
27、米？2、甲乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出 31 个，第二筐中取出 19 个后，第二筐剩下的个数是第一筐的 4 倍。原来两筐水果各有多少个？3、哥哥现存的钱是弟弟的 5 倍，如果哥哥再存 20 元，弟弟再存 100 元。二人的存款正好相等。哥哥原来存有多少钱？例 2 两根电线共长 59 米，如果第一根剪去 3 米，第一根电线的长度就是第二根的 3 倍。求原来两根电线各长多少米？分析解答：如果把第一根剪去 3 米，则总长是 56 米，这 56 米正好是原来第二根电线的 4 倍。这样计算就十分容易了。随堂练习：1、甲乙两筐苹果共重 83 千克，如果从甲筐取出 3 千克后，甲筐苹果的重量就是乙筐的 4 倍。甲乙两筐苹果原来各重多少千克？2、学校图书室共有图书和故事书 250 本，又买来 50 本科技书后，科技书的本数是故事书的 2 倍，学校图书馆原来各有科技书和故事书多少本？3、参加奥数竞赛集训的男生和女生共有 21 人，如果女生减少 5 名，男生人数就是女生的 3 倍，参加奥数竞赛集训的男女生各有多少人？拓展训练1、甲乙丙丁四个小组的同学共植树 45 棵，如果甲组多植 2 棵，乙组少植 2 棵，丙组植的棵数扩大 2 倍丁组植树减少一半，那么四个组植的树正好相同。原来四个小组各植树多少棵？思路：我们把现在的丙组看成 1 份，丁组则为 4 份，由于甲乙两组一组多 2 棵，一
