1、方程和不等式一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a、b、c 是常数，a0)。在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。一元二次方程的求根公式是：x= (b2-4ac0)。（注意符号问题）2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。3.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 =b 2-4ac。当 0 时，方程有两个不相等的实数根 x1= ,x2= ；当 =0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=- ；当 2
2、x，得 x-2 解不等式 x- , 得 x-1。所以不等式组的解集是 -24x+2, 得 x0，方程有实数解，即 x是实数，符合题设，故 x2+3x=1。正确答案：选 A。说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。例 5.解下列方程：（1） =1， （2）x 2+x- +1=0。分析（1）宜用去分母法解；（2）宜用换元法，可设 x2+x=y，将原方程变为 y- +1=0，先求出 y，再求出 x。解（1）原方程即为 + - =1 去分母，得 x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。整理，得 x2-3x
3、+2=0。 x 1=1, x2=2。经检验 x=1是原方程的根，x=2 是增根， 原方程的根是 x=1。（2）设 x2+x=y,则原方程可变为 y- +1=0。 y 2+y-6=0, y 1=-3, y2=2 当 y=-3时，x 2+x=-3, x2+x+3=0, 此方程无实数根，当 y=2时，x 2+x=2, x2+x-2=0, x1=-2, x2=1。经检验,x 1=-2, x2=1都是原方程的根。 原方程的根是 x1=-2, x2=1。例 6.若方程组 的解 x与 y相等，则 a的值等于（ ）。A、4 B、10 C、11 D、12 分析：先解方程组 再将求得的解代入方程 ax+(a-1)
4、y=3中，便可求得 a的值。解：解方程组 ，得 把 代入 ax+(a-1)y=3,得 a +(a-1) =3，解之，得 a=11。 故选 C。例 7.已知关于 x的方程(k-2)x 2-2(k-1)x+(k+1)=0，且 k3。 (1)求证：此方程总有实数根；(2)当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于 4时，k 的值等于多少？分析：本题没有指明关于 x的方程的类型，要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。(1)证明 当 k=2，方程为一元一次方程-2x+3=0，显然有实根；当 k2 时，方程为一元二次方程，且 =-2(k-1) 2-4(k-2)(k+1)=4(3-k),k3, 3-k0
5、。 即 0，此时一元二次方程有实数根。综合、知，原方程总有实数根。(2)设方程的两实根为 x1,x2，则 x1+x2= ，x 1x2= 。由题设，x 12+x22=4, 即(x 1+x2)2-2x1x2=4。 2-2 =4。整理，得 k2-5k+4=0, k 1=1, k2=4。 k3, k=1。例 8.商场出售的 A型冰箱每台售价 2190元，每日耗电量为 1度，而 B型节能冰箱每台售价虽比 A型冰箱高出 10%，但每日耗电费却为 0.55度。现将 A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的 ），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为 10年，每年 365天，每度电 0.40元计算）？
6、说明：不等式应用题，是近年来应用题的发展新动向，去年有多处地区中考题目中有不等式的应用题，它和方程应用题目一样，先认真审题，并能利用所设的未知数表示各种关系；不同的就是关系不是相等，而要根据题目表述为相应的不等关系。本题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”。实际上,所谓合算是指两种冰箱十年后的总耗资小,对于本题目就是 A型冰箱十年的总耗资小于 B型冰箱。得到不等关系。解:设商场将 A型冰箱打 x折出售，则消费者购买 A型冰箱需耗资2190 +3651010.4(元)，购买 B型冰箱需耗资2190(1+10%)+365100.550.4(元)。依题意，得 2190
7、 +3651010.42190(1+10%)+365100.550.4。解不等式，得 x8。因此，商场应将 A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。例 9.某园林的门票每张 10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分 A、B、C、三类：A 类年票每张 120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B 类年票每张 60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2元；C 类年票每张 40元，持票者进入该园林时，需要购买门票，每次 3元。（1）如果你只选择一种购买
8、门票的方式，并且你计划在一年中用 80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A类年票比较合算。析解：本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题。（1）因为 8030。所以，一年中进入该园林至少超过 30次时，购买 A类年票比较合算。例 10.某工程由甲、乙两队合做 6天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700元；乙、丙两队合作 10天完成，厂家需付乙、丙两队共 9500元；甲、丙两队合做 5天完成全部工程的 ，厂家需付甲、丙两队共 5500元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需
9、多少天？（2）若工期要求不超过 15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。分析：本例属工作量为 1的工程问题，要注意下列三个关系式：（1）工作效率工作时间=1；（2）工作效率= ；（3）工作时间= 。这类问题的等量关系是：部分工作量之和=1。解：（1）设甲队单独做 x天完成，乙队单独做 y天完成，丙队单独做 z天完成，则解之，得 （2）设甲队做一天应付给 a元，乙队做一天应付 b元，丙队做一天应付给 c元，则有 解方程组，得 10a=8000(元),15b=9750(元) 由甲队单独完成此工程花钱最少。答：（1）甲队单独做 10天完成，乙队单独做 15天完成，丙队单独做 30天完成；（2）由甲队单独完成此项工程花钱最少。测试选择题1若一元二次方程 x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则 k的值为（ ）。 A、4 B、5 C、8 D、6 2不解方程，判断方程 2x2+3x-4=0的根的情况是（ ）。 A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根
