1、极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳1、 极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015广东理，14)已知直线 l 的极坐标方程为 2sin ，点 A 的极坐标为 A ，则点 A( 4) 2 (22，74)到直线 l 的距离为_立意与点拨 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题解答本题先进行极直互化，再求距离2、 参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为： ，因为 ，令 ，则有1462yx1cosin22xcos2in6yX+2y= sin6+ cos= ,最大值 ，最小值si 3、 根据条件求直线和圆的极坐标方程4、 求曲线的交点及交点距离4(2015湖北高考)在
2、直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l的极坐标方程为 (sin 3cos )0，曲线 C 的参数方程为 (t 为参数)，l 与 C 相交于 A，Bx t 1t，y t 1t )两点，则|AB|_【解析】 直线 l 的极坐标方程 (sin 3cos )0 化为直角坐标方程为 3xy0，曲线 C 的参数方程 两式经过平方相减，化为普通方程为 y2x 24，联立x t 1t，y t 1t ) 3x y 0，y2 x2 4)解得 或 所以点 A ，B .x 22，y 322) x 22，y 322.) ( 22， 322) ( 22，322)所以|AB|
3、2 .( 22 22)2 ( 322 322)2 55.在平面直角坐标 xOy 中，已知直线 l 的参数方程Error! (t 为参数)，直线 l 与抛物线 y24x 相交于A、B 两点，求线段 AB 的长解析 解法 1：将 l 的方程化为普通方程得 l：xy 3，yx3，代入抛物线方程 y24x 并整理得 x210x 90，x 11，x 29.交点 A(1,2)，B(9，6)，故|AB | 8 .82 82 2解法 2：将 l 的参数方程代入 y24x 中得，(2 t)24(1 t)，22 22解之得 t10，t 28 ，|AB |t 1t 2|8 .2 26.(2015陕西理，23)在直角
4、坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数) 以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 sin .3(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标立意与点拨 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为 t 的函数，转化为函数最值求解解析(1)由 2 sin ，得 22 sin ，从而有 x2y 22 y，所以 x2(y )23.3 3 3 3(2)设 P(3 t， t)，又 C(0， )，则|PC | ，12
5、 32 3 3 12t2 32t 32 t2 12故当 t0 时，|PC| 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)5、 利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )立意与点拨(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8(2015新课标高考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： (t 为参数，t0)，其中x tcos ，y tsin )0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，C 3： 2 cos .3(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C 1 与 C
6、3 相交于点 B，求|AB|的最大值【解】(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y 22y0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2y 22 x0.3联立 解得 或x2 y2 2y 0，x2 y2 23x 0，) x 0，y 0，) x 32，y 32. )所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0 ，0)和 .(32，32)(2)曲线 C1 的极坐标方程为 (R，0) ，其中 0 .( 此题 C1 代表的是一条过原点的直线)因此 A 的极坐标为(2sin ，)，B 的极坐标为(2 cos ， )3所以|AB|2sin 2 cos |4 .3 |sin( 3)|当 时，|AB |取得最大值，最大
7、值为 4.569(2015商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为：sin ，曲线 C 的参数方程为：Error!( 6) 12(1)写出直线 l 的直角坐标方程； (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值解析 (1)sin ， ， y x ，即 l：x y10.( 6) 12 ( 32sin 12cos) 12 32 12 12 3(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2 2cos，2sin )，所以，曲线 C 上的点到直线 l 的距离d . 所以最大距离为 .|2 2cos 23sin 1|2 |4cos(
8、3) 3|2 72 72解法二：曲线 C 为以(2,0)为圆心，2 为半径的圆圆心到直线的距离为 ，所以，最大距离为 232 32.7210(文)(2014新课标理，23)已知曲线 C： 1，直线 l：Error!(t 为参数)x24 y29(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求| PA|的最大值与最小值解析(1)曲线 C 的参数方程为 Error!( 为参数)直线 l 的普通方程为： 2xy60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin )到 l 的距离为 d |4cos3sin6|
9、.55则|PA| |5sin()6|，其中 为锐角，且 tan . dsin30 255 43(将 d=|AB|sin30 利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当 sin( )1 时，|PA|取得最大值，最大值为 .2255当 sin( )1 时，|PA|取得最小值，最小值为 .2556、 直线参数方程中的参数的几何意义方法一：方法二：根据直线参数方程中 t 的几何意义，可知，弦长=|t 1-t2|.得： ，方程化简，然后用韦达定理求05314531422 tttt弦长=|t 1-t2|= =.21213.(理)在直角坐标系 xOy 中，过点 P( ， )作倾斜角为
10、的直线 l 与曲线 C：x 2y 21 相交于不同的两32 32点 M、N.(1)写出直线 l 的参数方程；(2)求 的取值范围1|PM| 1|PN|(根据直线参数方程中 t 的几何意义,用参数 t 表示所求量 ，然后用 t 的二次方程的韦达定理，1|PM| 1|PN|转化成三角函数进而求范围，此题较难)解析 (1)Error!(t 为参数)(2)将Error!(t 为参数)代入 x2y 21 中，消去 x，y 得，t 2( cos3sin )t20，3由 ( cos3sin )2812sin 2( )80sin( ) ，36 6 63 sin( )( ， 1|PM| 1|PN| 1 t1 1
11、 t2 t1 t2t1t2 3cos 3sin2 3 6 2 3七、求动点坐标、求变量的值14.(2015陕西理，23)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数) 以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 sin .3(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标立意与点拨 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为 t 的函数，转化为函数最值求解解析 (1)由 2 sin ，得 22 sin ，从而
12、有 x2y 22 y，所以 x2(y )23.3 3 3 3(2)设 P(3 t， t)，又 C(0， )，则|PC | ，故当 t0 时，| PC|取12 32 3 3 12t2 32t 32 t2 12得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)(此处用参数 t 来表示所求距离，然后当作变量为 t 的二次函数，求最值)15.(2016 全国卷 I)在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数，xOy1C,sin1cotayx(在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 )0a 4:2C（）说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；1C1（）直线 的极坐标方程为 ，其中 满
13、足 ，若曲线 与 的公共点都在300tan012上，求 3Ca【解析】： （ 均为参数）, cos1inxaty221xya 为以 为圆心， 为半径的圆方程为10， 20 , 即为 的极坐标方程22six， 22sin01C ,两边同乘 得24cosC： 24cocosxyx，,即 , ：化为普通方程为xy2xy3C由题意： 和 的公共方程所在直线即为 ,得： ，即为12 2410a3C ,20a（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16(文)(2015唐山市二模)在极坐标系中，曲线 C：2 acos(a0)，l ： cos ，C 与 l 有且仅有( 3) 32一个公共点(1)求 a； (2)O 为极点，A，B 为 C 上的两点，且AOB ，求| OA|OB|的最大值3解析 (1)曲线 C 是以(a,0)为圆心，以 a 为半径的圆；l 的直角坐标方程为 x y30.3由直线 l 与圆 C 相切可得 a，解得 a1. ( 求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)|a 3|2(2)不妨设 A 的极角为 ，B 的极角为 ，3则|OA |OB |2cos2cos 3cos sin2 cos ，( 3) 3 3 ( 6)当 时，|OA| |OB|取得最大值 2 .6 3(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)
