1、极化恒等式在向量问题中的应用专题阅读以下材料： .两 倍等 于 两 条 邻 边 平 方 和 的 平 方 和平 行 四 边 形 的 对 角 线 的你 能 用 向 量 方 法 证 明 ： 何 模 型 。示 向 量 加 法 和 减 法 的 几引 例 ： 平 行 四 边 形 是 表 ,bADaB证 明 ： 不 妨 设 ，则 bAC（1）222 （2）baaDB（1） （2）两式相加得： 22CADBDBA结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考 1：如果将上面（1） （2）两式相减，能得到什么结论呢？ 极化恒等式ba4ba对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，
2、你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 .41即： （平行四边形模式）22DBACba思考：在图 1 的三角形 ABD 中（M 为 BD 的中点） ，此恒等式如何表示呢？因为 ，所以 （三角形模式）22241DBAba例 1.(2012 年浙江文 15)在 中， 是 的中点， ，则C3,10AMBC_ .ABC解：因为 是 的中点，由极化恒等式得：M=9- = -162241B 10【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。M图 1AB CM目标
3、检测 ._1)1320( 的 值 为边 上 的 动 点 ， 则是点 ，的 边 长 为已 知 正 方 形改 编北 京 文 DAEABEBC解：取._O2.的 取 值 范 围 是则 上 的 一 个 动 点 ，是 圆， 点的 圆内 接 于 半 径 为（ 自 编 ） 已 知 正 三 角 形例 PPAB 的中点 D，连结 CD,因为三角形 ABC 为正三角形，所以 O 为三角形 ABC 的重心，O 在 CD 上，且 ，所以 ，2C3C2AB（也可用正弦定理求 AB）又由极化恒等式得： 41222 PDPBA因为 P 在圆 O 上，所以当 P 在点 C 处时， 3|max当 P 在 CO 的延长线与圆 O
4、 的交点处时， 1|in所以 6,2【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测 8.6.3.2. )(134)10( 2DCBAFPOPyx 的 最 大 值 为则为 椭 圆 上 的 任 意 一 点 ， 的 中 心 和 左 焦 点 ， 点分 别 为 椭 圆和 点若 点福 建 文 例 3.（2013 浙江理 7）在 中, 是边 上一定点，满足 ，且对于边AB0 014BA上任一点 ，恒有 。则( )PCA. B. 90C9C. D. A目标检测 2.2.1. )(,0)(908DCBAcbca ca 的 最 大
5、值 是则 满 足， 若 向 量个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量是 平 面 内已 知浙 江 理 课后检测1.在 中， 若 ， ， 在线段 上运动，ABC602AB3CDAC的最小值D为 2.已知 是圆 的直径, 长为 2, 是圆 上异于 的一点, 是圆 所在平面上OOBPO任意一点,则 的最小值为（ ）PABCA. B. C. D. 143123在 中， ， ， ，若 是 所在平面内一点，且460BAPABC，则 的最大值为 2APBC4 若点 和点 分别是双曲线 的中心和左焦点，点 为双曲O(2,0)F21(0)xyaP线右支上任意一点则 的取值范围是 .P5在 ， ，已知点 是 内一点，则 的最小RtABC2PABC)(BA值是 .6.已知 是单位圆上的两点， 为圆心，且 是圆 的一条直径，、 OMNo,120O点 在圆内，且满足 ，则 的取值范围是（ )0()1(BA）A B C D1,2, ,430,17. 正 边长等于 ，点 在其外接圆上运动，则 的取值范围是（ ）BC3PPBAA. B. C. D. 2,321, 23,121,8在锐角 中，已知 ， ，则 的取值范围是 A3BAC
