1、1求函数极限的方法和技巧作者: 黄文羊摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明: 123lim2x证: 由 24x取 则当 时,就有020x132x由函数极限 定义有: 2123lim2x2、利用极限的四则运算性质若 Axf)(li0 Bx
2、g)(li0(I) 0x 0fxBAxg)(lim0(II) f x)(li)(lim000(III)若 B0 则：BAxgfxf)(li)(li00（IV） （c 为常数）fcfxxli00上述性质对于 时 也 同 样 成 立,例：求 453lim2x解: =li2x 25423、约去零因式（此法适用于 ）型时 0,x例: 求 1267lim232xx解:原式= )0(5li 2232 xx= )6)(1li22xx3= =)65(103lim2xx )3(25lixx= 2lix74、通分法（适用于 型）例: 求 )214(lim2xx解: 原式= )(li2x= )(lim2xx= 41
3、li2x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数 f(x)、g(x) 满足：（I） 0)(lim0xf(II) (M 为正整数)Mg则： )(li0xfx例: 求 x1sinl解: 由 而 lim0x 1sinx故 原式 = 1sinl0x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。4（I）若： 则 )(limxf 0)(1limxf(II) 若: 且 f(x)0 则 0)(lif )(1lixf例: 求下列极限 51limx1lix解: 由 故 )( 05lim由 故 =01lix 1x7、等价无穷小代换法设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：,， 存在，,
4、 lim则 也存在，且有 = limlili例:求极限 20sinco1lxx解: ,si2 )(2x=20sinco1lmxx1)(2注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。51sinlm)(0xAexBx)1(lim)但我们经常使用的是它们的变形： )(,)(1li)( 0,(si( xexB例：求下列函数极限xalim)1(0、 bxaxcoslni)2(0、)1ln( l)1( ,1 uaxauu于 是则） 令解 ： （ auuaauxauln)1l
5、(im)1ln(i)1ln(imli0 000 故 有 ： 时 ，又 当 )(cosli)2(0bxx、 原 式 1cs1cos)(lnim0axbxaxli0x 222020 )()(sin)(silmsinli abxbaxxx 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 。6)(lim)(li)( )(li)( 00000 afxfxfauf axi fff xx处 连 续 ， 则在 且是 复 合 函 数 ， 又若 处 连 续 ， 则在若例：求下列函数的极限（2） )1ln(5coslim)1(20xexx、 x)1ln(i0 1ln)1(limn)1l(i)1ln(im)l(
6、)l()2(601n5coslim)1ln(5cos)(000110 2 exxxxxfeefxxxxx x故 有 ：令 、 由 有 ：故 由 函 数 的 连 续 性 定 义 的 定 义 域 之 内 。属 于 初 等 函 数解 ： 由 于10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：m、n、k、l 为正整数。lxmnkl1i例：求下列函数极限 、n xmnx(li1)N1)23(lixx解: 令 t= 则当 时 ,于是1t原式= nmtttttnmt )(li1li 121 由于 =)23(lixx 1)lix7令： 则 tx1221tx= =1)3(limxx 1)(
7、lix210)(limtt= etttt )(li)(li2101011、 利用函数极限的存在性定理定理: 设在 的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有:0xAxhgx)(lim)(li00则极限 存在, 且有0fxfx)(li0例: 求 (a1,n0)xnalim解: 当 x1 时,存在唯一的正整数 k,使k xk+1于是当 n0 时有:knxna)1(及 knkxn1又 当 x 时,k 有knka)(lim0)(li1aakn及 1liknlikn8=0xnalim12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限 存在且等于
8、A 的充分必要条件是左极限 及右极)(li0xf )(lim0xfx限 都存在且都等于 A。即有：)(lim0xfx= =A0 )(li0xfx)(lim0f例：设 = 求 及)(f1,22xe)(li0xf)(lim1f1)(lim)(li)(lim000 xxfexx x解 ：由 1f)(li0fx不 存 在由（又 )(lim)01lili 0)1lim121 11xff xxxx13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若9Axgfxffi xgxuxggfixxx)(lim)(li()l)( 0)()(0)li,0)(l) 0000 ） ， 则或可 为 实 数 ， 也 可 为内 可 导
9、 ， 且的 某 空 心 邻 域在与此定理是对 型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为 时不可求导。,02、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须)(limxgfax用另外方法。例： 求下列函数的极限 )1ln(2i0xex )0,(lnimxax解：令 f(x)= , g(x)= l21)
10、()2, )(xexf 2(xg2“23“ )1(),)1(fx 由于 0(,0) gf但 2),0(“gf从而运用罗比塔法则两次后得到1012)1(2lim12)(lim)1ln(2im302100 xexexe xxx 由 故此例属于 型，由罗比塔法则有：axxli,li )0,(1limlinlim1 xaxaxax14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、 )(!2nx xoe2、 )()!12()!53sin 2nnxox3、 )!(!421co 2nnxx4、 1)ln( nno5、 )(!)1()(!2)(1 nxoxx 6、 no上述展开式中的符号 都有:)(nxo0)(lim0nxo例:求 )0(2li0axax解:利用泰勒公式，当 有
