1、概率论与数理统计- 1 -第 1 章 随机事件及其概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P( )=1- P(B)乘法公式乘法公式： )/()(ABP更一般地，对事件 A1，A 2，A n，若 P(A1A2An-1)0，则有21(P )n )|()|(3 21|(APn )1n。独立性两个事件的独立性设事件 A、 B满足 )()(BPA，则称事件 、 B是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 0，则有 )()()(|(P多
2、个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C）全概公式 )|()|()|()( 2211 nnBAPBAPBAP。概率论与数理统计- 2 -贝叶斯公式，i=1，2，n。nj jjiii BAPABP1)/()/(此公式即为贝叶斯公式。， （ i， 2， n） ，通常叫先验概率。)(iBP， （ 1， ， ） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了/A“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。第二章 随机变量及其分布连续型随机变量的分布密
3、度设 )(xF是随机变量 X的分布函数，若存在非负函数 )(xf，对任意实数 x，有 xdf)()(， 则称 为连续型随机变量。 )(f称为 X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面性质： 0)(xf 。 1)(dxf离散与连续型随机变量的关系。 积分元 在连续型随机变量理fdXxP()( f论中所起的作用与 kp)在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（5）八0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q设 为随机变量， 是任意实数，则函数 称为随机变量 X 的分布函数，Xx )()xXPxF本质上是一个累积函数。 可以得到 X 落入区间 的概(abXaP ,(ba率
4、。分布函数 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。)(xF1. ；2。 是单调不减的函数，即 时，有 ,10x)(xF21x；3。 ， ；4。 )(1x2 0)(lim)(x )(limxFx，即 是右连续的；5. 。对于离散)(F 0)(XP型随机变量， ；对于连续型随机变量， 。xkp xdf)(概率论与数理统计- 3 -二项分布在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生nApA的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。Xn,210， 其中knknqpCPkX)(，pq,210,0,1则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为np。当 时， ， ，),(nBXkqXP1)
5、(.0这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量 的分布律为， ， ，ekXP!)(02,1k则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或)(X者 P( )。超几何分布 ),min(210,( MllkCkXPnNkM随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。大分布几何分布，其中 p0，q=1-p。,321,)(kpqP随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。概率论与数理统计- 4 -均匀分布设随机变量 X的值只落在a，b内，其密度函数 )(xf在a，b上为常数 ，即ab1其他,01)(abxf指数分布其中
6、 0，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。X 的分布函数为)(xf,xe 0,0, x,)(xF,1xe0,x0。记住积分公式 !0ndxenaxb当 ax 1x2b 时，X 落在区间（ ,x）内的概率为 abxP121)(概率论与数理统计- 5 -正态分布设随机变量 X的密度函数为其中 、 0为常数，则称随机变量 X服从参数为 、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 ),(2N。)(xf具有如下性质：1 的图形是关于 x对称的；2 当 x时， 为最大值；21)(f若 ,(2NX，则 X的分布函数为)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且 (0) 。如
7、果 ，则21X),(2N。 2)(1)(xexf dteFxt2)(1)(X),0(N121( xxxP概率论与数理统计- 6 -函数分布离散型已知 的分布列为X， ,)(21ni pxxP的分布列（ 互不相等）如下：gY)(iigy， ,)(21ni ppxxy若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。)igi )(ixg连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布连续型对于二维随机向量 ，如果存在非负函数),(YX，使对任意一个其邻边)(, yxyf分别平行于坐标
8、轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyd有则称 为连续型随机向量；DdxyfYXP,),(),( 并称 f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)0;（2） .1),(dxyf离散型与连续型的关系dxyfdyYXxPyYxXP )()( ， 概率论与数理统计- 7 -边缘分布离散型X 的边缘分布为；),21,()( jipxPjiiY 的边缘分布为。),21,()( jipyijj连续型X 的边缘分布密度为 ；dyxff),()(Y 的边缘分布密度为 .),()(dxyfyf离散型 jiij
9、p有零不独立连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形随机变量的函数若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g 为连续函数，则：h（X 1，X 2,Xm）和 g（X m+1,Xn）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。函数分布Z=X+Y根据定义计算： )()()zXPzZzFZ 态分布的和仍为正态分布（ ） 。2121,n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， iiCiiC22概率论与数理统计- 8 -Z=max,min(X1,
10、X2,Xn)若 相互独立，其分布函数分别为nX21,，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布)()(21 xFxFn，函数为： )()()(21max xnxx)(1121in xFFFnxx 分布2设 n 个随机变量 相互独立，且服从标准正态nX,21分布，可以证明它们的平方和 我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 分布记niiXW12 2为所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设 则2 ),(2iinY.(2112kkinYZt 分布设 X， Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数 我们称随机变),(),0(2nNnYXT
11、/量 T服从自由度为 n的 t分布，记为 T t(n)。 )()(1ttW )(2n概率论与数理统计- 9 -F 分布设 ，且 X 与 Y 独立，可以证明)(),(212nYX我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二2/n个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n 1, n2).),(1),(221第四章 随机变量的数字特征离散型 连续型期望期望就是平均值设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P( )kxp k，k=1,2,n，nkpxXE1)(（要求绝对收敛）设 X 是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， dxfE)()(（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X) nkkpxgYE
12、1)()(Y=g(X) dxfgYE)()(（1）一维随机变量的数字特征方差D(X)=EX-E(X)2，标准差， )()(XDkkpXExX2)()( dxfXExD)()(2概率论与数理统计- 10 -（2）期望的性质（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， niniiiXECE11)()(（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。（3）方差的性质（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。期望 方差0-1 分布 ),1(pBp )1(p二项分布 ,nnp n泊松分布 )(P几何分布 )(pGp121p（4）常见分布的期超几何分布 ),(NMnHNnM1NnMn
