1、第 1 页（共 13 页）海涅定理在函数极限证明中的应用摘 要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。关键词：海涅定理；函数极限；数列极限Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method provin
2、g existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but a
3、lso deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit. Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题
4、来处理。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献1-6。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献7-10。根据文献 6，8,10 对海涅定理进行归类整理的。第 2 页（共 13 页）1 预备知识定义 1.1 函数在 点的极限的定义：设
5、函数 在 点的附近（但可能10xxf0除掉 点本身）有定义，又设 是一个定数。如果对任意给定的 ，一定存在0xA，使得当 时，总有 ，我们就称 是函数 在0xxf Axf点的极限，记为0x（或者记为 ）.Axf0lim0xxf这时也称函数 在 点极限存在，其极限是 。xf2 海涅定理的证明及推广定理 2.1 海涅定理 的充分必要条件为对任何以 为极限的1Axf0lim0x数列 ，都有 。0xnnf证明 先证必要性 。由于 ，所以对任意的 ，存在 ，xf0li 当 时，0x.Axf但是 ，故对 ，又可得正整数 ， 时，0xnNn.0xn因为 ，故上面的不等式可改写为0xn.0xn而对于适合这个不
6、等式的 ，其函数值 满足nxf.Axn第 3 页（共 13 页）亦即当 时，这个不等式成立，这也就证明了数列 以 为极限。Nn nxfA再证充分性。用反证法，若 ，则对某一个 ，不能找到函数Axf0lim0极限定义中的 ，也就是对任意的 ，都可以找到一点 ， ，x0x使得 ；特别地，若取 为 ，得到 满足Axf 1,23 123,， ；10x1fxA， ；22， ；30x3fx从左边一列可以看出 ， ，而右边一列却说数列 不以0n0nnxf为极限，与假设矛盾。充分性得证。A等价类型的海涅定理：定理 2.2 设 在 上有定义则 的充要条件是：对于8xfMlimxfA任何以 为极限的数列 ，都有
7、。n n证明 先证必要性。因为 ，则得到对任意的 ，存在 ，li()xfA00M当 时有xM.()fx但是 ，故对 ，可得正整数 ，当 时有 。又因为nx0Nnnx。故上面的不等式可以改写为.()-nfxA亦即当 时，这个不等式成立，这也就证明了数列 以 为极限。nNnfxA再证充分性。用反证法，假设 ，则对于某一个 ，不能找到lim()xf0函数极限定义中的 ，也就是对任意 都能找到一个点 时，使得M0ixM。特别地，当取 时，得到 适合fxA1,24 1234,第 4 页（共 13 页），11,()xfA，33，44,xf.从左边一列可以看出 ， ，而右边一列却说数列 不以nnMnxf为极
8、限，与假设矛盾。充分性得证。A定理 2.3 设 在 的某一邻域 内有定义，则函数 在点8xf00,Uxf连续的充要条件是：对任何含于 且以 为极限的数列 ，都有0x , nx。0limxffn定理 2.4 设函数 在点 的某空心右邻域 有定义，则8xf00,Ux的充要条件是：对任何以 为极限的单调递减数列 ，Axf0li 0,n都有 。n定理 2.5 设函数 在点 的某空心左邻域 有定义，则8xf00,Ux的充要条件是：对任何以 为极限的单调递增数列 ，Axf0lim 0,n都有 。n3 海涅定理的应用3.1 利用海涅定理对函数极限运算法则、性质及判定定理等的证明对于一些函数极限的性质和定理等
9、，无法用函数极限的定义证明或用函数的定义证明比较复杂时，就可以利用海涅定理将函数转化成数列来证明。例 3.1 若 与 且 皆存在，则有0limxf0lixg0lim,0xgx.00lilixxff证明 设第 5 页（共 13 页）， ， .fxHg0limxfA0lixgB又设 是任意一个含于函数 的定义域且以 为极限的数列。那么0xngf,.nnx由海涅定理的必要性可得.BgAfnxnx00lim,li而根据数列极限的运算法则有.lilimnnnfHgx又由于数列 的任意性和定理 2.1 的充分性得x.xgfx00limli例 3.2 证明：若对任意的 有 ,Ua，且 .xhgxfbxhfa
10、xlili则 。bxgalim证明 任作一数列 ，且 ，则由海涅定理知 0,nxUa nx.limlinfhb因为 ，所以fxghx.nnnfxgx所以由数列极限的迫敛性知 .limnnb又由海涅定理的充分性知 存在且收敛于 。oxg例 3.3 若极限 存在，则此极限是唯一的。foli证明 设 和 都是 当 时的极限，即ABx0第 6 页（共 13 页）.BxfAxf00lim,li作数列 且 ，由海涅定理知 0,nxUnx且 .linflinnfx由数列极限存在唯一性知 。AB3.2 利用函数的性质及海涅定理求数列的极限对于求数列的极限，有时直接求不好求，就可先求与之相对应的函数极限，再利用
11、函数的性质和海涅定理求出数列的极限。1）求含有三角函数的数列极限例 3.4 求极限 。nn41arctlim解 因为 在 处连续。当 ， 。 xxftln14由海涅定理可知.11lim4narct4lnarctlimlarct04n 例 3.5 求极限 。2litn解 设 ，当 时，有 。由海涅定理可知，如果x1n0x存在，则一定有210tanlimxx.22 10tanlim1tanli xxn 下面我们先求 。因为210tlixx.32 tan1 ta00tnlimtanli xxxx 又因为 第 7 页（共 13 页）， ， .31seclimtanli 2030 xxxx 0tanli
12、mxtan0tli1xx e所以.31lim20tan1exx再由海涅定理得.2 21301litanlitanxnxe2）求带有积分的数列的极限例 3.6 求极限 。1lim8lnndx解 因为.1 1li8l8limlnnn ndxdx所以要求 ，只要能求出 即可。1limlnx xnn1lli由海涅定理可知.1 1lilnlimlxn xddt再由洛必达法则可得.321lnimli 21xxdt x所以.1liln2ndx故.1lim8l2816nndx第 8 页（共 13 页）3） 求带有抽象函数的数列极限例 3.7 设 ， 。求 。0fa2f nafn1coslim2解 由海涅定理可
13、知.xafnafn 1coslim1cosli 22由导数的定义.2lili 00 yafyfaff yy令 ，当 时， ，于是就有21xy22 22 211limli lim1coscossinxx xfafafaxxx.0 0li 2li41y yfayfa所以.21lim4cosnfa4.3 利用海涅定理判断级数敛散性级数实质是一个和式的极限，因此运用海涅定理及其推论去判断常数项级数的敛散性是一种有效的方法。第 9 页（共 13 页）例 3.8 判断级数 的敛散性。141lnn解 构造函数.21lnxxf当 时， 经 Taylor 展开为 0xxf.21422164221ln xoxox
14、xf因为 时，0x.42214201xox所以当 时，0x.53214201xoxx即当 时， 与 为同阶无穷小，或 。0xxf3lim30fx令 ，由海涅定理有na1.41ln1li30x因为级数 收敛，由第 2 比较准则，所以级数 收敛。31n 11lnn而.1 1ln1ln4n n 第 10 页（共 13 页）故 收敛。141lnn3.4 海涅定理在判断常量函数中的应用1）判断当 时， 的极限为 的周期函数是否为常量函数xfxA例 3.9 证明若 为 上的周期函数，且 ，则 。f, Axfxlimxf证明 假设 ，则存在 ，使 。又因为Axf,0xBf0为周期函数，不妨设为 ，记 ，则xf LnLan.由作法知. ABxfafnn0lim（3.1）又因为 ，由海涅定理有Axfxlim.Axfafxnlili这与（3.1）矛盾，故 。xf2）给出函数之间的关系，判断函数为常量函数例 3.10 设函数 在 上满足方程 ，且 ，f0,xff3Axfxlim证明 。Axf证明 假设函数 在 上不恒为 ，则必存在一点 ，使得xf0,A0,0x。又因 满足方程 ，于是Bxf0 xff3 000200 33xfxff n得到数列 ，故 ,3,20xn. Bxffnx00lim
