1、复习 函数的单调性的定义，函数的极值。引入 由函数的单调性我们可知道曲线上升与下降的情况，还应知道它的弯曲方向以及不同弯曲方向的分界点，这就是曲线的凹向与拐点。讲解新课曲线的凹凸性与拐点1 曲线的凹凸定义及判定法定义 1 如果曲线位于其每一点切线的上方，那么称曲线弧是凹的（如图（1）所示） ，如果曲线位于其每一点切线的下方，那么称曲线弧是凸的（如图（2） ） yO xyfx=()xyOyfx=()（1） （2）对于曲线的凹凸形状，还可以通过二阶导数来描述。因为函数的二阶导数是描述一阶导数的单调性的。从上图可以看出，如果曲线是凹的，切线的倾斜角随 的增大而增大，由导数的几何意义知 随 的增大而增
2、大，即x ()fx函数的一阶导数是单调增加的，所以 ；同样，如果曲线是凸的，切()0f线的倾斜角随 的增加而减少，就是 随 的增大而减少，即函数的一阶xx导数是单调减少的，所以 。反之结论是否成立呢？下面给出曲线凹()f凸性的判定定理。定理 1 设函数 在 内连续，在 内具有一阶和二阶导数，)(xfy,ab),(ba那么 （1）若在 内， ，则曲线曲线 在 上是凹的. ,(ba0 (xfy,ab（2）若在 内， ，则曲线曲线 在 上是凸的),(ba0)(xf )(xfy,ab例 1 判定曲线 的凹凸性yln解：函数 的定义域为 ，且 x),(21)(,1)(xfxf因为在 上 恒为负，),0(
3、)(f所以曲线 在其定义域内是凸的xyln例 2 判定曲线 的凹凸性1解：函数 的定义域为 ，xy),0(),(且 32,因为当 时， ；当 时 ，0yxy所以曲线在 内是凸的，在 内是凹的，),(),0(2 曲线的拐点及其求法定义 2 把连续曲线凹凸部分的分界点叫做曲线的拐点定理 2 （拐点的必要条件）若函数 在 处的二阶导数 存)(xfy00()fx在，且点 为曲线 的拐点，则 。0(,)xf)(xfy如何来求曲线的拐点呢？由于拐点是曲线的凹凸部分的分界点，所以拐点左右两侧近旁的 必()fx然异号，因此，曲线拐点横坐标 x0只可能是使 =0 的点。如 中，()fx 3y点（0，0）就是曲线
4、 的拐点，但在 中，虽然点 的左右近旁3yy10异号，但由于在点 处曲线不连续，故不能说点（0，0）是曲线)(xf x的拐点。y1函数二阶导数不存在的点，在曲线上相应的点也可能是拐点如函数的二阶导数在 处不存在，但点（0，0）却是曲线的拐点3xyx综上所述，判定曲线 的凹凸与拐点的一般方法为：)(fy（1）确定函数 的定义域.)(xf（2）求函数 的二阶导数.（3）求出满足 的所有点及二阶导数不存在的点.0)(xf（4）以（3）中找出的所有点，把函数的定义域分成若干个部分区间，然后考察二阶导数在各部分区间的符号，从而判定曲线在各部分区间的凹凸性与拐点例 4 求函数 的凹凸区间和拐点1433xy
5、解：函数的定义域为 ，),(且 ， ，321yx 2263()yxx令 ，得 0,21列表： x（ ）,0 2(,)32(,)3y+ 0 0 +有拐点 有拐点 由表可知，当 时，曲32,1x线有拐点 和 ，表中(0,)A()7B表示曲线是凹的，表示曲线是凸的函数的图像如图（3）所示.练习 1.判定下列曲线的凹凸性.（1） ， （2） ，4xy4xy（3） 。32xy小结 1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。作业：习题第一题
