1、1第 1 章 差分方程和滞后算子第一节 差分方程一一阶差分方程假定 期的 （输出变量）和另一个变量 （输入变量）和前一期的 之间存在如下tywy动态方程：（1）1tty则此方程为一阶线性差分方程，这里假定 为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达式。一阶差分方程的典型应用为美国货币需求函数： 10.270.9.450.19t ttbtctmIrt tttw其中 为货币量， 为真实收入， 为银行账户利率， 为商业票据利率。t tIbtrct1）用递归替代法解差分方程根据方程（1） ，可以得到（2）010221tttywy如果我们知道 期的初始值 和 的各期值，则
2、可以通过动态系统得到任何一个时1t1w期的值。即（3）110.tttt tyw这个过程称为差分方程的递归解法。2）动态乘子：对于方程（3） ，如果 随 变动，而 都与 无关，则 对 得影响为：0w1y1,.t1y0ty或 （4）0tttjjw方程（4）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂时性影响） 。动态乘子依赖于 ，j即输入 的扰动和输出 的观察值之间的时间间隔。twtjy对于方程（1） ，当 时，动态乘子按几何方式衰减到零；当 ，动态01 10乘子振荡衰减到零； ，动态乘子指数增加； ，动态乘子发散性振荡。因此，12，动态系统稳定，即给定 的变化的后果将逐渐消失。 ，系统发散。1tw1
3、当 时，此时 ，即输出变量的增量是所有输入 的历101.t ty w史值之和。如果 产生持久性变化，即 都增加一个单位，此时持久性影响为：w1,.,ttj（5）112. .tjtjtjtjjjyyyww 当 时，且 是，持久性影响为1j（6）112 1lim.1.tjtjtjtj jjjyyy 如果考察 的一个暂时性变化对输出 的累积性影响，则和长期影响一致。tw二 阶差分方程p如果动态系统中的输出 依赖于它的 期滞后值以及输入变量 ：typtw（7）12.tttpttyy此时可以写成向量的形式，定义， ， 12ttttpyy1231001pF 0ttv从而（7）写成向量形式：（8）1tttv
4、这个系统由 个方程组成。为了便于处理，将 阶数量系统变成一阶向量系统。还可以采p用滞后算子的办法来处理这个系统。0 期的 值为： 010vF1 期的 值为： 21 101101vFvF期的 值为： t 210.ttttt tt写成 和 的形式为：v（9）101112231 0.0t tttttttppyywwFFyy 3该系统中的第一个方程代表了 的值。令 表示 中第 个元素， 表示 中第ty1tftF1,12tftF个元素等等。于是 的值为：1,2t（10）1111230 . .tt tt ptt ttyfffyfyww或（11）111123. .jjj jtjtttptjjtt tjtjy
5、ffyffy表示成初始值和输入变量历史值的函数。此时 阶差分方程的动态乘子：p（12）1tjjyfw是 的 元素。因此对于任何一个 阶差分方程，jF1, p， （13）1ty21ty对于更大 值，通过分析表达式（12）就非常有用。通过矩阵 的特征根地进行求解。矩j F阵 的特征根为满足下式的 值：F（14）0pFI对于一个 阶系统，行列式（14）为特征根 的 阶多项式，多项式的 个解是 的ppF个特征根。P定理 1：矩阵 的特征根由满足下式的 值组成：231001pF （15）21.0ppp1具有相异特征根的 阶差分方程的通解此时存在一个 阶非奇异矩阵 ，满足T（16）12211jjFT4其中
6、 是一个 矩阵，主对角线由 得特征根组成，其它元素为零，即pF21 1 12 22000, ,jjj jp p p （17）令 表示 的第 行、第 列的元素， 表示 的第 行、第 列的元素。因此方程为：ijtTijijt1Tij（18）121121 2221212121220 j ppjj jppppjjjpjjptt ttFtt tttttt 12212pjptttt 因此 的第 个元素为：jF,（19）12111 .jjjpjfttt或者 （20）112.jjjjpfcc其中 。因为 。将（20）代入（12） ，得到 阶差分方1iict1piictTp程的动态乘子：（21）112.tjjj
7、jjpyfccw定理 2：如果矩阵 的特征值 是相异的，则1231001pF 12,.p（22）11piiikkc5因此求出 的特征值 ，就可以求出相应的 ，由此就可以根据（21）计算得到动态乘子。Fic如果所有的特征值都是实根。如果存在一个特征根的绝对值大于 1，则系统是发散的。根据（21） ，我们发现动态乘子最终由绝对值最大的特征根的指数函数决定。6第二节 滞后算子一滞后算子定义：假定由序列 生成新序列 。其中 期的 值等于 时期的 值，txtyty1tx，这称为对 运用了滞后算子，即1ttyt1tL这里的 称为滞后算子。根据滞后算子， 。通常情况下由于利用滞后算子和乘kttkLx法具有同
8、样的代数规则，因此常称为 乘以 。ty二一阶差分方程 1tttyw利用滞后算子，可得（23）tttyL整理得到（24）1ttttyw（3）两边同时乘以 ，得到231.tLL（25） 123.t t ttt tyyL即（26）1231 0.t tt ttttww可见利用滞后算子和递归方法得到的结果相同。当 ， 很大时，根据（4）（27）23.1t ttLLy有界序列：对于序列 ，如果存在一个有限数 ，使得tyy对所有的tyt则称该序列有界。在随机序列情况下，有界序列转为平稳随机过程。当 ，对有界序列使用滞后算子，则由（6） ，1近似为 的逆。算子 称为23.tLL1L1L恒等算子，即 。tty在
9、有界序列或平稳随机过程情况下，对于 ，两边同时除以 ，ttywL得或 （28）1t tyLw231.ttttty三二阶差分方程 2tttt7利用滞后算子形式可得（29）21ttLyw对于滞后算子，（30）2 2112121LL给定 的值，建立方程组12,（31）121即能求出 。即求解特征方程 。此时，令特征方程12,2112zz左右两侧为零，可得 和 。1z2定理 3：将 分解成2L2112LL得到的 和矩阵 的特征值相同。这里二阶差分方程矩阵表示为：12,F（32）120F根据第一节讨论，任意特征值 都小于 1，系统才是稳定的。只要存在一个特征值i的模大于 1，系统就是发散的。通常有两种表
10、达方式：1）对于由矩阵 得到的特征方程 ，系统稳定条件为：F2120特征方程的根落在单位圆内。2）对于由矩阵 得到的特征方程 ，系统稳定条件为：21z特征方程的根落在单位圆外。对于二阶差分系统 ，两边同时乘以 ，12ttLyw112L（33）12122t t ty w利用有界序列算子逆的定义（34）112312 .LL（35）1 121 22 1. .t ty Lw 或者写成8（36）2121212.tt t tycwccw这里 、 。由此计算动态算子为1/c/（37）12tjjjyc四 阶差分方程p12.tttpttyyw滞后算子形式为（38）21.pttLL其中（39）21 12. .1p
11、 pL L令 ， （35）两侧同时乘以 ，则pzz（40）1212. .ppp p因此特征值就是求（36）的解。定理 4：将 阶滞后算子多项式分解为 21 12. .1p pLLL得到的系数 和矩阵 的特征根相同。2,.pF差分方程（38）是稳定的，则特征方程 根落在单位圆21.0pzz外或 的根落在单位圆内。12.0ppp现假定序列有界，逆 都存在。并且假定特征根相1112,.pLL异，则差分方程（38）可以表示为（41）1112.t pty w右边的算子多项式可以扩展成为：（42）1212 .11pp cczzzz z 两边同时乘以 ，得.（43） 1221 11. .ppppczzczz
12、czz为了保证 成立，则要求1或 （44）1211.pc112.ppc9同样为了保证 成立，则要求112,.pzz（45）1221.pppppcc从而（41）可以写成（46）1212121. . . pt t t tpt ptptcccywwLLcc从而得到动态乘子：（47）12.tjjjjj pycw对 的现值的影响为twy（48）10100jtj j jtj jtyyw长期乘子则是 ，且 的极限：1j112lim. .tjtjtjj pyyw（49）五 实际例子（考察初始条件的作用）令 表示股票价格， 表示红利。如果一个投资者在时期 买进股票并在 时刻卖tPtDt1t出，投资者将得到红利收
13、益 和资本利得 ，从而投资者总收益为：/tP1/tttP（50）1/tttttrD假定投资者在不同时期的投资收益为常数，即 。进一步整理得到：1tr（51）1ttt这就是一个差分方程。递归得到 1 12100 1.ttt tt ttPrrDrrDrD （52）从（52）可以看出，如果给定 和 的值就可确定 。但如果01,.t0P121,.tP10仅给定 ，并不能唯一确定 的值。01,.tD121,.tP现假设 为常数，则t（53）111010./t ttt tt tPrrrDDrPr 如果 为常数，则0/Dr（54）/tr这表明在股利为常数，且初始值 的情况下，股价不会有任何变化。其收益率仅仅0/Pr是股息收益率。如果 ，此时对股价的估计超过红利收益的潜在能力。只要投资者相信股票价0/PDr格还要继续上涨，每个人都会从实现的资本利的中得到要求的收益。这就是股价的投机泡沫。
