1、投资内部收益率法1 内部收益率的定义及其定义式：内部收益率（internal rate of return,简称 IRR ）又称内部（含）报酬率。在所有的经济评价指标中，内部收益率是最重要的评价指标之一，它是对项目进行盈利能力分析时采用的主要方法。进行财务评价，分析项目的财务盈利能力时，主要计算和考察项目财务内部收益率；进行国民经济评价，分析项目的国民经济盈利能力时，主要计算和考察项目经济内部收益率。什么是内部收益率?简单说，就是净现值为零时的折现率。定义：内部收益率 IRR 是指项目在整个计算期内各年净现金流量的现值累计等于零(或净年值等于零)时的折现率。内部收益率是效率型指标，它反映项目所
2、占用资金的盈利率，是考察项目资金使用效率的重要指标。其定义式为:nt ttIRCOI0 01式中：IRR内部收益率，或内部报酬率 。由上述概念及计算式可以看出，内部收益率法实质上也是基于现值计算方法的。2 内部收益率的计算：除通过公式(4-21)求得外，还可根据现金流量表中的累积净现值，用线性内插法计算求得。从经济意义上讲，内部收益率 IRR 的取值范围应是： 1IRR，大多数情况下的取值范围是 0IRR。3 内部收益率法的判别准则： 如果如果 IRR i0, 则项目在经济效果上可以接受；如果则项目在经济效果上可以接受；如果 IRR i0,则项目在经济效果上不可接受。上面的公式是一个高次方程，
3、不能直接解出，通常使用计则项目在经济效果上不可接受。上面的公式是一个高次方程，不能直接解出，通常使用计算内插法求其近似解。算内插法求其近似解。4 求解方法为：求解方法为： 先给出一个折现率先给出一个折现率 i1,计算相应的计算相应的 NPV(i1),如果如果 NPV(i1) 0，说明要求的，说明要求的IRR i1 ，如果，说明要求的，如果，说明要求的 IRR i1 ，根据这个信息，将折现率修正为，根据这个信息，将折现率修正为 i2 ，求，求 NPV(i2)的的值，反复计算，逐步逼近。最终得到两个比较接近的折现率值，反复计算，逐步逼近。最终得到两个比较接近的折现率 im 与与 in(im in
4、)，使得，使得 NPV(im) 0, NPV(in) 0,最后用插值的方法确定最后用插值的方法确定 IRR 的近似值。的近似值。计算公式为:mnmm iiNPViiIR|例 4-7：拟建一容器厂，初始投资为 5000 万元，预计在 10 年寿命期中每年可得净收益 800 万元，第十年末残值 2000 万元，若基准收益率为 10%，试用方法 IRR 评价该项目。解：令净现值=0，即 NPV=-5000+800(P/A,I*,10)+200(P/F,I*,10)=0首先进行试算：设 i=10% 则-5000+800（P/A,10%,10）+2000（P/F,10%,10） =686.2 万元设 i
5、=i1=12% 则-5000+800（P/A,12%,10）+2000（P/F,12%,10） =164.2 万元设 i=i2=13% 则-5000+800（P/A,13%,10）+2000（P/F,13%,10） =-69.8 万元由内插法计算得： 164.2*(13%-12%)/164.2+-69.8即该项目 IRR 为 12.7%，大于基准收益率，因而项目经济上可行。5 内部收益率的优缺点（1）内部收益率指标优点：内部收益率法比较直观，概念清晰、明确，并可直接表明项目投资的盈利能力和反映投资使用效率的水平。内部收益率是内生决定的，即由项目的现金流量系统特征决定的，不是事先外生给定的。这与
6、净现值法和净年值法等都需要事先设定一个基准折现率才能进行计算和比较来说，操作起来困难小，容易决策，而基准收益率的确定则是十分困难的。目前国家已编制和确定了一些行业的基准收益率可参照使用外，但还有大量的行业和部门至今未制定出可以参照的基准收益率。（2）内部收益率指标缺点：内部收益率指标计算繁琐，对于非常规项目有多解和无解问题，分析、检验和判别比较复杂。内部收益率指标虽然能明确表示出项目投资的盈利能力，但实际上当项目的内部收益率过高或过低时，往往失去实际意义。内部收益率法适用于独立方案的经济评价和可行性判断，但多方案分析时，一般不能直接用于比较和选优。6 内部收益率方程多解的讨论内部收益率方程式是
7、一元高次(n 次)方程。若令:xIR1；令 ntaCOItt ,3210，则内部收益率方程式可改写为如下形式： 3210 nxaxa这是一个一元 n 次多项式，是 n 次方程。n 次方程应该有 n 个解(其中包括复数根和重根)，明显，负根无经济意义。只有正实数根才可能是项目的内部收益率，而方程的正实根可能不止一个。n 次方程式的正实数根的数目可用笛卡尔符号规则进行判断，即正实数根的个数不会超过项目净现金流量序列(多项式系数序列) a 0, a1, a2, an的正负号变化的次数 p(如遇有系数为零，可视为无符号)。如果 p=0（正负号变化零数），则方程无根；如果 p=1（正负号变化一数），则方
8、程有唯一根。也就是说，在-1IRR的域内，若项目净现金流序列(CI-CO) t(t=0，1，2，n)的正负号仅变化一次，内部收益率方程肯定有唯一解，而当净现金流序列的正负号有多次变化（两次或两次以上），内部收益率方程可能有多解。例 4-8：表 4-8 给出了几种典型的 NCF 序列，试分析其 IRR。表 4-8 几种典型的 NCF 序列 单位：千元分析：上述习题 IRR 的计算涉及一元多项式的计算，根据数学中的狄思卡滋符号法则，一个具有实数系数的 n 阶多项式，其正实根的数目不会多于其系数序列列中符号变动的次数（0 系数视为无符号） 因此，可根据 NCF 系数符号变动的情况，来判断 IRR 的
9、解的个数。1、若方案的 NCF00，此时为常规现金流量，则方案必有唯一的 IRR 解。2、若方案的 NCF00，NCF t序列仅改变一次符号，且 NCF t 0，此时为常规现金流量，则方案必有唯一的负 IRR 解。此方案经济不可行。3、若方案的 NCFt序列不改变符号，则方案的 IRR 不存在，不能用 IRR 来评价此方案。4、若方案的 NCF00，NCF t序列符号变化多次，则方案的 IRR 的个数不超过 NCFt序列符号变化的次数。在这种情况下，也可能有唯一的 IRR 解。因此，习题的 IRR 解的情况如下 ：A 方案：有唯一的 IRR 解，计算得出 IRRA=20.3%B 方案：有唯一的
10、-IRR 解，计算得出 IRRB=20.3%。C 方案：IRR 解不存在。D 方案：NCFt 序列符号变化 2 次，计算得出 IRR1=9.8%,IRR2=11.5%. E 方案：NCFt 序列符号变化 3 次，计算得出 IRR1=20%,IRR2=50%, IRR3=100%, IRR1=9.8%, F 方案：NCFt 序列符号变化 2 次，但计算得出有唯一的 IRR=10.3%七 追加投资内部收益率（IRR）法1.概念：指两个方案净现值相等时的收益率，表示一方案相对于另一方案的多投资部分的平均盈利能力2.计算：用内插法或试算法求出(CI 2t-CI1t)-(CO2t-CO1t)(P/F,i
11、*,t)=0 或 (NCF 2t-NCF1t)(P/F,i*,t)=03.评价：IRRI 0，追加投资不合理，投资小方案较优；IRRI 0追加投资合理，投资大的方案较优例 4-9：用追加投资内部收益率法评价例 5-1 中的两方案解：将已知量代入公式-（7000-4000）+（1000-1000）（P/F,i *,1）+（2000-1000）（P/F,i *,2）+（6000-3000）（P/F,i *,3）+(4000-3000)(P/F,i *,4)=0令上式左边为NPV，即NPV=-3000+1000(P/F,i *,2)+3000(P/F,i*,3)+1000(P/F,i*,4)=0经试
12、算，当 i1=18%时， NPV 1=59.86 万元；当 i2=19%时， NPV 2=-14.92 万元；内插法计算得：59.86*(19%-18%)/ 59.86+-14.92说明投资大者为优，即 A 方案较优 八 外部收益率（补充知识）外部收益率实际上是对内部收益率的一种修正，计算外部收益率时也假定项目寿命期内所获得的净收益全部可用于再投资，所不同的是假定再投资的收益等于基准折现率。求解外部收益率的方程如下：式中：ERR外部收益率； K t第 t 年的净投资；NBt第 t 年的净收益； i 0基准折现率；上式不会出现多个正数解得情况，而且通常可以用代数方法直接求解。ERR 指标用于评价
13、投资方案经济效果时，需要与基准折现率 i0相比较，判别准则是：若 ERRi 0,则项目可以被接受；若 ERR i0,则项目不可以被接受。例 4-9 ：某重型机械公司为一项工程提供一套大型设备，合同签订后，买方要分两年先预付一部分款项，待设备交货后再分两年支付设备价款的其余部分。重型机械公司承接该项目预计各年的净现金流量如表所示。 基准折现率 i0为 10%，试用收益率指标评价该项目是否可行。某大型设备项目的净现金流量表单位：万元年份 0 1 2 3 4 5净现金流1900 1000 -5000 -5000 2000 6000解：该项目是一个非常规项目，其 IRR 方程有两个解：i 1=10.2
14、%,i2=47.3%,不能用 IRR 指标评价，可计算其 ERR。据外部收益率的方程式列出如下方程： 1900（1+10%） 5+1000（1+10%） 4 +2000（1+10%）+6000=5000（1+ERR） 3+5000（1+ERR） 2 可解得： ERR=10.1%，ERRi 0，项目可接受。 ERR 指标的使用并不普遍，但是对于非常规项目的评价，ERR 有其优越之处。净现值、内部收益率指标的比较内部收益率是进行盈利能力分析时采用的主要方法一。从经济意义上，内部收益率 IRR 的取值范围应是： 1IRR，大多数情况下的取值范围是 0IRR。求得的内部收益率IRR 要与项目的设定基准
15、收益率 i0相比较。当 IRRi 0时，则表明项目的收益率已达到或超过设定折现率水平，项目可行，可以考虑接受。内部收益率可通过方程求得,但该式是一个高次方程，通常采用“试算内插法”求 IRR 的近似解。内部收益率被普遍认为是项目投资的盈利率，反映了投资的使用效率，概念清晰明确。比起净现值与净年值来，各行各业的实际经济工作者更喜欢采用内部收益率。内部收益率指标的突出优点就是在计算时不需事先给定基准折现率，避开了这一既困难又易引起争论的问题。内部收益率不是事先外生给定的，是内生决定的，即由项目现金流计算出来的，当基准折现率入不易确定其准确取值，而只知其大致的取值区间时，则使用内部收益率指标就较容易
16、判断项目的取舍，IRR 优越性是显而易见的。但是，内部收益率也有诸多缺陷和问题，如多解和无解问题、与净现值指标的冲突问题等，给我们带来了诸多不便和困惑。1 对净现值和内部收益率指标的关系和冲突问题的讨论净现值（Net present value）是一个价值型指标，其经济涵义是投资项目在整个寿命期内获得的超过最低期望收益水平的超额净收益现值总和。净现值的含义较为明确，也易于理解，净现值是基准折现率 i0的函数，并且随着 i0的增大而减小。内部收益率是一个效率型指标，其经济涵义的表述方式较多，常见的表述是投资项目寿命期内尚未收回投资余额的盈利率，反映了投资额的回收能力，内部收益率与基准折现率 i0
17、的大小无关。但是采用两个指标对投资方案进行评价时，它们的评价结论均受基准折现率 i0大小的影响，其中内部收益率方法是以基准折现率 i0为判别标准的。净现值和内部收益率指标都隐含了投资项目的各年净现金流量全部用于再投资的假说。但净现值指标假设投资项目各年（各期）净现金流量（投资净收益）均按基准折现率 i0 再投资。而内部收益率则假设投资项目各年（各期）净现金流量（投资净收益）均按内部收益率再投资，将的定义式进行简单的变换即可。明显，一般情况下投资项目各年投资净收益是很难再按该项目的内部收益率再投资的，故内部收益率的再投资假设是不合理的，而前者净现值指标的按投资者期望达到的最低贴现率水平 i0再投
18、资的假设要更为合理。一般情况下，净现值和内部收益率指标对投资方案的采纳与否的结论是一致的，即当方案的时，i 0。但是，当对互斥方案组进行评价排序时，净现值和内部收益率指标可能产生不一致的结论（产生冲突）。究其原因，正是两种方法再投资假设的不同所致。近年来，有不少学者对于净现值和内部收益率的冲突问题及解决方法进行了深入研究，并就 IRR 指标的改进和修正方法等问题发表了诸多文章。但影响技术方案评价决策问题的因素繁多，单靠一个指标的能力和作用是有限的，需要诸多指标相互配合综合分析。问题的关键是让决策者充分了解各个评价指标的经济涵义并能认识到它们固有的缺陷，以恰当运用和防止决策失误。如果一味地对指标
19、进行修正完善，反而会给原指标的经济涵义带来混乱，计算也越来越烦琐而不实用，更给决策者带来困惑，因而不易提倡。且有些修正方法与已有指标如外部收益率 ERR 等基本趋同，缺乏新意。因此应将研究的重点放在技术方案之间相互关系和评价指标体系优化的问题上来，实践中应强调各个指标（如净现值、净现值率、内部收益率、差额净现值、差额内部收益率、投资回收期等）的灵活选用，取长补短、相互补充、综合评价、科学决策。2举例分析例题 4-10：有 A、B、C、D、E、F、G 七个方案, 现金流量情况如表 4-9。表中对各个方案的NPV 和 IRR 等指标进行了计算。其中：A、B、C 三方案的投资额相同，D、E、F、G
20、的投资额相同。G 方案的 IRR 无解。 对 A、B、C 三个投资额相同方案的分析累计净现金流量NCFt 对比：A 方案B 方案C 方案；净现值 NPV 对比：A 方案B 方案C 方案；内部收益率 IRR 对比：B 方案A 方案C 方案。由 C、B 两方案可以看出，C 方案NCFt 和 NPV 较高，但 B 方案的 IRR 较高，所以 IRR 有利于前期收益高的方案；D、E 方案也同样具有此种现象。表 4-9 七个方案的现金流量及有关指标分析技术方案及其现金流量 NCFt=（CI-CO）t （单位：万元）年份A B C D E F G0123-250015001000700500-250013
21、00130013000-2500050015002800-1200500500500500-120090090000-12006006006000-12003200-2100004NCFt 1200 1400 2300 800 600 600 -100NPV(i0=10%)556.7 733.1 951.9 385.0 362.4 292.2 -25.8IRR(%) 22.41 26.07 21.19 24.19 31.94 23.3816.67；50.00 无解NPVI 0.22 0.29 0.38 0.32 0.30 0.24 -0.02按 NPVI 排序 6 4 1 2 3 5 7按 I
22、RR 排序 5 2 6 3 1 4 / 不同投资规模的方案的比较， NPVI 排序（如表）较合理。但是，就 A、C 两方案而言，C 方案的风险较大，保守者将倾向于 A，冒险者将倾向于 C。 若结合净现值函数曲线分析各个方案有关指标的变化情况，特征更为明显。内部收益率解的问题由内部收益率的定义式知，它对应于一个一元高次多项式（IRR 的定义式）的根。该一元高次多项式的根的问题，也就是内部收益率的多解或无解问题，是内部收益率指标一个突出的缺陷。利用笛斯卡尔（Desdartes）判别准则可以判断一元高次多项式实根的个数。对于内部收益率的多解或无解问题，目前学术界说法不一，但其中有些说法是欠妥的，诸如
23、“内部收益率的不存在是由于项目再投资造成的”，“当一元高次多项式多解，但存在唯一正根时，这一正根就是项目的内部收益率”等等。这里就一元高次多项式出现多根问题后，内部收益率的存在性及判断问题进行重点讨论。容易证明，常规投资项目必定存在内部收益率，而非常规投资项目无论一元高次多项式的解有多少，其内部收益率则有可能不存在。究其原因，显然是与项目的投资结构和全部现金流量紧密相关，是由于项目投资的不连续（出现了追加投资）而造成的。如前所述，根据内部收益率的定义，可以得出它的经济涵义和再投资假设。进一步地，通过验证其投资回收过程也不难发现如下结论：内部收益率经济涵义的进一步解释“即按内部收益率换算，投资项
24、目在整个寿命期内始终处于投资回收状态，寿命期内各年始终存在未回收的投资”，由于各年始终存在未回收的投资，所以根本就不需要考虑项目收益的再投资问题。这样也进一步验证了再投资假说。内部收益率解的判别等问题必须基于这一结论。如前面所述，大多数项目都是在建设期集中投资，直到投产初期可能还出现入不付出，净现金流量为负值，但进入正常生产或达产后就能收入大于支出，净现金流量为正值。因而，在整个计算期内净现金流量序列的符号从负值到正值只改变一次，我们把在计算期内，净现金流量序列的符号只变化一次的项目称为常规项目。对于常规项目，若累计净现金流量大于零，一般会有一个正实数根，则其应当是该项目的内部收益率。在计算期
25、内，如果项目的净现金流量序列的符号正负变化多次时，则称此类项目为非常规项目。一般地讲，如果在生产期大量追加投资，或在某些年份集中偿还债务，或经营费用支出过多等，都有可能导致净现金流量序列的符号正负多次变化，构成非常规项目。非常规投资项目内部收益率方程的解显然不止一个。这些解中是否有真正的内部收益率呢?这需要按照内部收益率的经济涵义进行检验：即以这些根作为盈利率，看在项目寿命期内是否始终存在未被回收的投资。首先看一元高次多项式是否有正实数根，如果有多个正实数根，则须经过检验，符合内部收益率经济涵义的根才是项目的内部收益率；如果只有一个正实数根，则可能是该项目的内部收益率，也可能不是，同样需要检验
26、。如果无正实数根，或所有实数根都不能满足内部收益率的经济涵义的要求，则该项目无解。对这类投资项目，一般地讲，内部收益率法已失效，不能用它来进行项目的评价和选择。目前，对于非常规投资项目内部收益率方程多根时，这些根中是否有真正的内部收益率解的问题，即解的存在性问题，还没有一个判别定理。下面，就此问题深入讨论。对于非常规投资项目（或技术方案），若在其整个寿命期内除初始投资之外，还存在多次追加投资或净现金流量为负（设有次，）,则一元高次多项式会产生多个实根。为了表述方便，这里引入两个概念：追加投资维持期。所谓追加投资维持期是指从该次（第 k 次，k=1,2,3,K）追加投资发生时点起直至整个投资项目寿命期末的时间。特别地，k=K 时，指最后一次追加投资维持期；k=时，指整个投资项目寿命期；追加投资净现值。是指在第k 次追加投资维持期内全部现金流量的贴现之和（贴现至第 k 次追加投资发生初时点），且记为： k（i）。
