1、 几何体的表面积与体积1.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积(1)直棱柱的侧面展开图及侧面积直棱柱的侧面展开图是矩形，例如直六棱柱的展开图如图(1).直棱柱的侧面面积.设棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则得到直棱柱侧面面积计算公式：S 直棱柱侧面积 =ch 即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.(2)正棱锥的侧面展开图及侧面积正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形.例如正四棱锥的展开图如图(2).正棱锥的侧面积设正棱锥底面正多边形的边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h，斜高为展开图中任一等腰三角形的高，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：S 正棱锥侧 = nah= ch21即正棱锥
2、的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半.(3)正棱台的侧面展开图及侧面积正棱台的侧面展开图正 n 棱台的侧面展开图是 n 个全等的等腰梯形，例如：正四棱台的展开图如图(3).正棱台的侧面积设正 n 棱台的上底面，下底面边长分别为 a、a ，对应周长分别为 c、c，斜高(斜高为展开图中任一等腰梯形的高)为 h,则正 n 棱台的侧面积公式:S 正棱台侧 = n(a+a)h= (c+c)h2121本结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出.(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和.疑难疏引 棱柱、棱锥和棱台的侧面积公式的内在联系必须明确，这样有利于
3、认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体.正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系如下：例 1 直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为Q1、Q 2，求它的侧面积.规律总结：公式中的量求出来，但要注意平面几何知识及整体思想的运用.例 2 已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm，高与斜高夹角为 35,则斜高为_；侧面积为_；全面积为_.(单位：精确到0.01)规律总结：主要通过正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形寻找到各量的关系，并求解.2.圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图如图(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积.如果圆柱的底面
4、半径为 r，母线长为 l，那么圆柱的底面面积为 r2，侧面积为2rl.因此，圆柱的表面积.S=2r2+2rl=2r(r+).如果圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，那么它的侧面积为 rl，表面积S=r2+rl=r(r+l).如果圆台的两底面半径分别为 r、r，母线长为 l，则侧面积为 (r+r)l，表面积为 S=(r2+r2+rl+rl).疑难疏引 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.例 3 如图所示几何体是一棱长为 4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直
5、径为 2 cm、深为 1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?(=314)【规律总结】 1.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积3.柱、锥、台体的体积(1)棱柱和圆柱的体积公式柱体(棱柱、圆柱) 的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积.即V 柱体 =Sh底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积的计算公式是 V 圆柱 =r2h(2)棱锥和圆锥的体积公式锥体(棱锥、圆锥) 的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积的 .即31V 锥体 = Sh31如果圆锥的底面半径是 r，高是 h，则它的
6、体积是 V 圆锥 = r2h(3)棱台和圆台的体积V 台体 = h(S+ +S)31S其中 S，S 分别为上、下底面面积， h 为圆台( 棱台)高.V 圆台 = h(r2+rr+r2)其中 r，r 分别为上、下底面半径，h 为圆台高.(4)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：(5)计算柱体、锥体和台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.疑难疏引 在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分成三个三棱锥，这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一，在
7、这个过程中一是运用了等体积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要灵活运用.例 4 如图是一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为 20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(=314)【规律总结】 根据题意，发现下降的水的体积应该等于取出的圆锥形铅锤的体积，这是解决问题的关键，利用圆柱与圆锥的体积公式建立方程，这当中应注意下降部分水柱的底面与玻璃的底面是相同的4.球的表面积和体积(1)球的表面积球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积.球的表面积设球的半径为 R，则球的表面积公式S 球 =4R
8、2即球面面积等于它的大圆面积的四倍.(2)球的体积设球的半径为 R，它的体积只与半径 R 有关，是以 R 为自变量的函数.球的体积公式为 V 球 = R34疑难疏引 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径，球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” 、 “接点”作出截面图.例 5 在球内有相距 1 cm
9、的两个平行截面，截面面积分别是 5 cm2 和 8 cm2，球心不在截面之间，求球面的面积【规律总结】 对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系，画出轴截面案例 6 如图所示棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，边长为a，PD=a ，PA=PC= ，且 PD 是四棱锥的高a2(1)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；(2)求四棱锥外接球的半径【规律总结】 (1)“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，例如本例中球内切于四棱锥时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的距离相等
10、(2)求体积或运用体积解决问题时，经常使用等积变换，即把一个几何体割补成其他几个几何体的和或差练习与巩固1. 正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面正ABC 的外接圆半径为 ,它的侧棱长34为 8,求正三棱柱的侧面积.2.长方体的高为 2,底面积等于 12,过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为 10,则此长方体的侧面积为( )A.12 B.24 C.28 D.323.一个棱锥的侧面积为 Q，平行于底面的截面分高所成的比为 12，则此截面截得的棱台的侧面积为( )A. B. C. D.Q4398Q3Q14.若正三棱锥的斜高是棱锥高的 倍，则正棱锥的侧面积是底面积的( )32A. 倍 B.2 倍
11、C. 倍 D.3 倍32 385.一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm，高是 cm.(1)求三棱台23的斜高；(2)求三棱台的侧面积与表面积.6.设一个圆锥与一个圆柱的底面半径及高都对应相等，它们的侧面积分别为S1，S 2，则必有( )A.S1S2 D.以上情况均有可能7.半径为 15 cm，圆心角为 216的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是 ( )A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm8.正四棱柱的对角线长为 3 cm,它的全面积为 16 cm2,求它的体积.9.求每条棱长都等于 a 的三棱锥的体积 .10.设圆台的高为 3，如图，在轴截面中母线
12、AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为60,轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.11.一个正四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为( )A.3 B.4 C. D.6312.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_.13. 一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4 cm，则该球的体积是( )A. B. C. D.310cm3208cm350cm316cm14.如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则 =_.15.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A. 6 B. 2 C.2 D.51256
