1、第 1 页 共 7 页分类转化 分散难点 各个击破分类讨论的思想方法一、方法整合在解决一些数学问题时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑的方法，也是一种重要的数学思想和解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。1.需要分类讨论的情形主要有以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分 a0、a0、a2 时分 a0、a0和 a0 且 a1，比较|log (1x)|与|
2、log (1x)|的大小。aa（一道经典高考题）思维启动点：此题中含有绝对值，去绝对值可能需要分类处理，对数的底数是字母，比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数 a 有关，所以对底数 a 分两类情况进行讨论，如果既要对绝对值、又要对底数 a 进行双重分类讨论，势必麻烦，考虑到 x 的范围已经确定，我们可以在对 a 的范围进行分类时同时就考虑去绝对值。解： 01 当 00，log (1x)0;a aa2第 2 页 共 7 页 当 a1 时，log (1x)0，所以aa|log (1x)|log (1x)|log (1x) log (1x)log (1x )0；a aa2由、可知，|l
3、og (1x)|log (1x)|。aa反思提高：1.本题要求对对数函数 ylog x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当 a1 时其是增函数，当 00，求实数 a 的取值范围。思维启动点：含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的位置关系进行分类讨论，最后综合得解。解：当 a0 时，f(x)a（x ） 21a 或120fa ()4120fa()或146820fa () a1 或 ；1当 a 。12反思提炼：本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数 a 分 a0、a0 时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右
4、边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。例 4. 解不等式 0 (a 为常数，a )()xa462112思维启动点： 含参数的不等式，参数 a 决定了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数 a 分四种情况 a0、a0、 0 时，a ；4a0 。 所以分以下四种情况讨论：当 a0 时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当 a0 时，x 0，解得：x0；2当 0，解得: x4a；1当 a 时，(x4a)(x 6a)0 时，x6a；当 a0 时，x0；当 4a；当12a 时，6a x5 , x2 x3 , 1 x f(x) 0 成立
5、；当 x = 1 时, f(x) = 1 0 成立；当 x 1 时f(x) = ( x6 x5 ) + ( x4 x3 ) + ( x2 x ) + 1 x 6 x5 , x4 x3 , x2 x f(x) 1 成立第 4 页 共 7 页综上可知，f(x) 0 成立。反思提炼：此题通过主动分类，分散了难点，在各类下问题的解决变得很简单，是很值得我们学习的一种好方法。例 6 一个定义在有理数集合 Q 上的函数 f(x) ，对一切 x , yQ 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). 求证：对任意 x Q , f(x) = xf(x) .（此题适合高二年级以上同学学习）思维启动点；直接求证很难，
6、考虑到当 m ,n 为互质整数( m 0 )时，n/m Q ,故可将 x 试分为n ( n N )、0 与- n 、1/n ( m N )及 n/m 几类，从而分散难点、降低难度，分别求解。证明：第一步，证明结论对一切 x N 成立当 x = 1 时，f(x) =1f(1) 成立； 设 x = k ( k N )时结论成立，则当 x = k+1 时，f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1)结论也成立；第二步，证明结论对零和负整数成立 f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) , f(0)=0f(1)又 f(n)+f(-n)=fn+(-n)=f(0)=0 , f(-n)=-f(n
7、)=-nf(1)，结论成立； 第三步，证明当 x =1/n（n N ）时结论成立 f(1)=f( + + )=f( )+f( )+ +f( )=nf( )11n1n 个 n 个 f( ) = ( ) f(1)同时由 f( ) + f(- ) = f(0) 有 f(- )=(- ) f(1)11结论成立；第四步，证明结论对一切有理数成立设 m N、n Z,且 n0, 对任意有理数 mnf( )=f( + + + )=mf( )= f(1)1n1即结论对一切有理数成立。反思提炼此题的求解从对变量的巧妙划分到各个局部的解决充满了数学的策略和美。尤其是在这样的划分下，一个变量是非自然数的命题居然主要由
8、数学归纳法获得解决！这是通过解决此问题而得到的另一收获。例 7 平面内 k 个整点（横纵坐标都是整数的点）两两相连得若干条线段，若要保证其中至少一条线段的中点也是整点，k 的最小值是多少？解 由中点坐标公式 X = 知：只有当 X 1、X 2同奇偶性时，x 才会是整数。于是可对整点进2x-1行以下分类：（奇，奇） 、 （奇，偶） 、 （偶，奇） 、 （偶，偶） ，由抽屉原理知，当有五个或五个以上整点时，至少应有两个点属于上述四类中的一类，即此两点的横纵坐标同是奇数或偶数。于是结论成立。所以，k 的最小值是 5 。三. 归纳总结第 5 页 共 7 页1 分类讨论思想是指依据数学研究对象本质属性的
9、相同点和差异点,将数学对象分为不同的种类,并对划分的每一类分别进行研究和求解的思想.2 分类讨论思想体现了化整为零、积零为整的思想和归类整理的方法.3 与分类讨论思想有关的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人思维的条理性和概括性.4.分类处理时要注意： 明确分类讨论的对象及其全体范围; 确定分类标准,进行合理分类,即标准要统一,不重不漏,分类互斥;再对每一类逐级讨论,获取阶段性结果; 归纳小结,得出综合结论.四 课后精练 巩固提高一选择与填空题1集合 Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若 A B，那么 a 的范围是_。A. 0a1 B. a1 C. a0 且 a1，plo
10、g (a a1)，qlog (a a1)，则 p、q 的大小关系是_。32A. pq B. pq D.当 a1 时，pq；当 00、a0、a1、00、x0，使得 lg（S c）成立？并证明结论。 （本题适合高lg()l()Sccn2n1二年级以上学生）二 解答：1.分析： 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件 x0 下的最小值问题，而引起对参数 a 的取值讨论。解：设 M(x,y)为曲线 y 2x 上任意一点，则2|MA| (xa) y (xa) 2xx 2(a1)xa x(a1) (2a1)2 222由于 y 2x 限定 x0，所以分以下情况讨论：当 a10 时，xa1 取最小值，即|MA 2a1；2min当 a10，q0 n1当 q1 时，S na ，从而 S S S na (n2)a (n1) a a 0, 使得 lg（S c）成立。lg()l()Sccnn2n1反思：本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明log S ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是 0.5 时，对数函数为单logl.05052Snn05.n1调递减。
