1、2014 年数学建模论文第三套题 目： 自动化车床管理 专业、姓名： 电气 123 张海峥 专业、姓名： 自 121 赵世博 专业、姓名： 电气 123 甄智龙 提交日期： 2014.7.11 题目：自动化车床管理摘 要本文讨论了自动化车床连续加工零件的工序定期检查和刀具更换的最优策略。我们根据原始数据利用EXCEL软件进行统计分析，得出刀具正常工作时长的函数，建立了以期望损失费用为目标函数的数学模型。问题一，我们假设所有的检查为等间距，以检查到的零件是否为次品来判定工序是否正常，若一直未出现故障则当加工到定期换刀时刻就换刀，利用概率论的相关知识，求出一个周期内的期望损失费用 和期望零件个数
2、，建立了以零件的期)(LE)(TE望损失费 为目标函数的随机优化模型，求解得检查间隔 ，换刀间隔 ，L 310t 2791t每个零件的期望损失费用 。5169.8L问题二，不管工序是否正常都有可能出现正品和次品，在问题一的基础上调整了检查间隔中的不合格品所带来的损失费用，同时加上了因误检停机而产生的费用，求出期望损失费用 和期望零件个数 ，建立了以每个零件的期望损失费用 为目)(LE)(TEL标函数的随机优化模型，求解得出检查间 ，换刀间隔 ，每个零件的期望450t 2701t损失费用 。3740.1问题三，在问题二的基础上将工序正常工作的时间长由开始的近似等于刀具无故障工作的时间长，改进为刀
3、具无故障工作时间长的95%，其它的故障近似服从均匀分布，求出一个周期内的期望损失费用 和零件个数 ，建立了以每个零件的期望损失)(LE)(TE费用 为目标的随机优化模型，求解得出检查间 ，换刀间隔 ，期望损失L 450t 2701t费用 。658.9关键词：自动化车床管理 期望损失费用 随机优化模型 检查间隔 换刀间隔一、问题重述一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占 95%，其他故障仅占 5%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有 100 次刀具故障记录，
4、故障出现时该刀具完成的零件数如附件表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用 f=200 元/件；进行检查的费用 t=20 元 /次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=4000 元/ 次（包括刀具费） ；未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1500 元/ 次。1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有 2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有 40%为合格品，60%为不合格品。工序正常
5、而误认有故障停机产生的损失费用为 2000 元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。3）在 （2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。附：100 次刀具故障记录（完成的零件数）459 362 624 542 509 584 433 748 815 505612 452 434 982 640 742 565 706 593 680926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844527 552 513 781 474 388 824 538 862 659775 859 755 649 697 515 628 954 771 609402 960
6、 885 610 292 837 473 677 358 638699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120447 654 564 339 280 246 687 539 790 581621 724 531 512 577 496 468 499 544 645764 558 378 765 666 763 217 715 310 851二、问题分析由题中信息可知，由于刀具损坏等原因会使工序出现故障, 工序出现故障完全是随机的，即在生产任意一个零件时都有可能发生故障。 工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障, 如果检查过于频繁, 那么工序就会经常处于正常
7、状态而少生产出不合格品, 然而, 这将使检查费用过高;检查间隔过长, 虽然可以减少检查费用, 但由于不能及时发现故障而可能导致大量不合格品出现, 必将提高每个零件的平均损失费用。根据题目信息，刀具加工一定件数的零件后将定期更新刀具，从而我们可以通过确定最佳检查间隔和换刀间隔来减少损失。2.1 对问题一的分析根据题目要求，我们假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时生产的零件都是合格品，所以当发现零件不合格时就认为工序发生了故障，从而停机检查并使其恢复正常。若一直未发生故障，则当加工到定期更换刀具时刻，不管是否发生了故障都进行换刀。计算平均费用可分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，记
8、平均损失费用为 ，（2）在换刀之前发生了故障，记平均损失费用为 。然后以每个1L nL零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB等软件进行编程求解使其最小。2.2 对问题二的分析根据题目中所给的条件，我们还是假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时次品率为2%，发生故障时的正品率为40%，所以不能单凭是否检查到次品来判定工序是否正常，在工序正常时有可能误判，这样就会产生误检停机费用，计算平均费用分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，损失费用记为 ，（2）在换刀之前1p发生了故障，损失费用记为 ，然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用2pMATLAB软件等进行编程求解使其最小
9、。2.3 对问题三的分析在实际情况下，在工序过程中，各个时间发生故障的概率是不同的，而第二问采取的等间隔检查就在一定程度上浪费了这个条件，而且在第二问中误检，漏检的概率比较大，因此我们针对这两点采取改进措施：非等距检查，连续检查法。三、模型假设(1)检查时间和换刀时间忽略不计；(2)所有的故障都为刀具故障；(3)刀具故障服从正态分布：(4)每次只抽查一个零件检查；(5) 为整数，即s0)mod(,1t(6)一道工序只需要一把刀具；四、变量说明：每件不合格品的损失费用；f：每次检查的费用；t：发现故障进行调节使恢复正常的平均费用；d：未发现故障时更换一把新刀具的费用；k：平均检查间隔；0t：定期
10、换刀间隔；1：一个周期内的实际检查次数；n：工序正常而误认有故障停机产生的损失费用；h：每个零件的期望损失费用；L：刀具寿命的概率密度函数；)(xf：出现故障时已经生产的零件个数；：一个周期内的期望损失总费用；)(LE：期望零件个数； T：一个周期内的最多检查次数s：在定期换刀之前未发生故障的损失费用1L：在定期换刀之前发生故障的损失费用n五、模型建立与求解5.1 数据处理5.1.1 刀具正常工作的时间长的概率密度函数题中附录给出了100次刀具故障的记录，我们利用了EXCEL软件对这些数据进行了相关的统计分析。我们采用了采用6SQ统计插件中的假设检验下的雅克贝拉检验来对其进行正态分布的检验，在
11、显著性水平 时，发现刀具故障服从正态分布05.，其中 ，见图1。由此可知概率密度函数2,N60,9.321xfxe图1：雅克贝拉检验刀具故障时生产的零件数和正态分布概率之间的关系如图 2，其中横坐标为刀具故障时生产的零件数，纵坐标为正态分布概率。图 2：零件数与正态分布概率关系图下面我们对正态分布进行检验：卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的关联性分析。其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。利用 拟合检验法进行检验，我们用刀具寿命的最大值减去最小值，取 100 为区2间长
12、度，将其分成了 11 个区间，分别算它们的频数，其中由于最后两个区间的频数都为 1，根据检验的原则，我们将它们合并为一个区间，再计算各数值在区间出现的概率，其中 n=100,得到表 1 所示数据：表 1：各区间内数据区间 频数 if2if inpinpf283.5183.5 3 9 1.28 7.0313183.5283.5 3 9 3.67 2.4523283.5383.5 6 36 8.17 4.4064383.5483.5 12 144 14.13 10.1911483.5583.5 23 529 18.98 27.8714583.5683.5 22 484 19.79 24.45686
13、83.5783.5 16 256 16.02 15.98783.5883.5 8 64 10.07 6.3555883.5983.5 5 25 4.91 5.0916983.51183.5 2 4 2.41 1.6598在显著性水平 下，结果如下：0.，2102549615.962ifnp0.5714.6因为 ，在可接受区间内，故服从正态分布。20.575.1.2 刀具更换间隔在定期更换刀具之前，我们采用了等间距检查的方式对零件进行检查，若出现故障则进行调节使其恢复正常，若没有检查出故障，则到了定期更换刀具时刻进行换刀，为了简化模型，我们假定在正常换刀之前进行的是整数次检查，即 。10mod,
14、t5.2 模型一的建立与求解5.2.1 模型一的建立如果在换刀之前未发生故障，则损失包括两部分：（1）检查费用 ；st（2）更换刀具费用 ；k则此种情况下总的损失为 ；1Lstk如果在换刀之前发生了故障，此时实际检查次数为 ，假设前 次检查生产的都是1nn正品，个数为 ，则次品的个数为 ，此时损失包括三部分：x0ntx（1）检查费用为 ；1nt（2）发现故障进行调节使恢复正常的费用 ；d（3）损失费用 ；0txf则此种情况下总的损失费用为 011nLtntxf期望损失为： 0 0)(1 )()()(tssntndfLdxfE期望零件个数： 0010stst nTf tfx每个零件的期望损失费用
15、： ELT即 ，要使期望损失费用达到最低，则等价于求最佳的 ，使 达到最minELT 01,tL小。5.2.2 模型一的求解利用 MATLAB 对上述模型进行求解，可得到 ， ， 。即310t279t5169.8L每生产 31 个零件检查一次，生产 279 个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费用为 8.5169。5.2.3 模型的检验1. 计算机模拟检验蒙特卡洛算法蒙特卡罗方法（Monte Carlo method） ，也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：1 用蒙特 卡罗方法模拟某一过程时，
16、需要产生某一概率分布的随机变量。2 用统计方法 把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。针对问题一的情况, 我们采取蒙特卡罗法进行模拟检验, 具体步骤如下:1) 工序无故障工作时间 X N( 600, 196.62) , 用蒙特卡罗法模拟产生 1000 个无故障工作时间的伪随机数 X i( i= 1, 2, , 1000) 2) 给定检查间隔 S0 和刀具定期更换间隔 S1, 可以计算出 Xi 所对应的损失费用Li(4) 对 S0, S1 进行搜索, 取 S0( 0, 200) , S1( 0, 1000) 求得单个零件损失费用 C 最小时的最优检查间隔 S0= 31, 定期更换刀具间隔, S1= 286, 相应的单个零件损失费用为 8.1654 元. 将模型一的结果，与计算机模拟的蒙特卡洛算法进行比较,结果如下表表一t0 t1 C模型一 31 279 8.5169蒙特卡洛算法模拟 31 286 8.1654由表一可知，模型一的结果与计算机模拟的蒙特卡洛算法比较接近，由此可知模型一的结果比较稳定。5.3 模型二的建立与求解5.3.1 模型二的建立如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为 ，根据题中的1t信息，这些零件中的废品率为 2%，则损失费用包括四部分：（1）检查费用： ；st
