1、山东大学物理学院 宗福建,1,电动力学第28讲,第六章 狭义相对论 (4) 6.3 相对论理论四维形式教师姓名： 宗福建单位： 山东大学物理学院2015年12月18日,山东大学物理学院 宗福建,2,相对论的基本原理,在总结新的实验事实之后，爱因斯坦（Einstein）提出了两条相对论的基本假设： （1）相对性原理 所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对论原理是被大量事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变原理 真空中的光速相对于任何惯性系沿任意方向恒为c，
2、并与光源运动无关。,山东大学物理学院 宗福建,3,洛伦兹变换,洛伦兹变换,山东大学物理学院 宗福建,4,上一讲复习,速度变换公式 由洛伦兹变换式可以推出相对论的速度变换公式，设物体相对于的速度,山东大学物理学院 宗福建,5,上一讲复习,6. 速度变换公式,山东大学物理学院 宗福建,6,上一讲复习,6. 速度变换公式 反变换式为,山东大学物理学院 宗福建,7,上一讲习题解答,4. 一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔，求车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方
3、向一致。铁塔到建筑物的地面距离已知都是l0。,山东大学物理学院 宗福建,8,上一讲习题解答,解 取静止系，随列车运动系 ，列车经过一高大建筑物时避雷针上跳起一脉冲点火花，选此时为事件0，（0，0）， （0，0）则，静止系上 事件1，后面的铁塔被电光照亮，时空坐标为：静止系上 事件2，前面的铁塔被电光照亮，时空坐标为：,山东大学物理学院 宗福建,9,上一讲习题解答,所以随列车运动系,山东大学物理学院 宗福建,10,本讲主要内容,三维空间的正交变换 物理量按空间变换性质的分类 洛伦兹变换的四维形式 四维协变量 物理规律的协变性,山东大学物理学院 宗福建,11,二维空间的正交变换,设坐标系相对于坐标
4、系转了一个角设平面上一点P的坐标在系为x，y；在系为x , y。新旧坐标之间有变换关系 OP长度平方为,山东大学物理学院 宗福建,12,二维空间的正交变换,山东大学物理学院 宗福建,13,二维空间的正交变换,设坐标系相对于坐标系转了一个角设平面上一点P的坐标在系为x，y；在系为x , y。设为平面上任意矢量。在系中的分量为x , y；在系中的分量为x，y。任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式，这些分量有变换关系,山东大学物理学院 宗福建,14,三维空间的正交变换,系的直角坐标为（x1 , x2 , x3），系的直角坐标为（x1 , x2 , x3）。三维坐标线性变换一般具有形式 坐标系转动时距
5、离保持不变，应有,山东大学物理学院 宗福建,15,三维空间的正交变换,设为三维空间任意矢量。在系中的分量为x , y , z ；在系中的分量为x，y，z 。任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式，这些分量有变换关系,山东大学物理学院 宗福建,16,三维空间的正交变换,系的直角坐标为（x1 , x2 , x3），系的直角坐标为（x1 , x2 , x3）。三维坐标线性变换一般具有形式 在一般情形中，当公式中出现重复下标时（如上式右边的j），往往都要对该指标求和。以后为了书写方便起见，我们省去求和符号。除特别申明外，凡有重复下标时都意味着要对它求和。这是现代物理中通用的约定，称为爱因斯坦求和约定。,
6、山东大学物理学院 宗福建,17,三维空间的正交变换,由此，变换式可简写为 正交条件是 引入符号ij，定义为 则，,山东大学物理学院 宗福建,18,三维空间的正交变换,山东大学物理学院 宗福建,19,物理量按空间变换性质的分类,我们知道物理量可以分为标量、矢量、张量等类别，这种分类是根据物理量在空间转动下的变换性质来规定的。 标量 有些物理量在空间中没有取向关系，当坐标系转动时，这些物理量保持不变。这类物理量称为标量。如质量、电荷等都是标量。设在坐标系中某标量用u表示，在转动后的坐标系 中用u表示。由标量不变性有 u = u,山东大学物理学院 宗福建,20,物理量按空间变换性质的分类,矢量 有些
7、物理量在空间中有一定的取向性，这种物理量用三个分量表示，当空间坐标按公式作转动变换时，该物理量的三个分量按同一方式变换。这类物理量称为矢量。 例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量。 有些微分算符以具有矢量的性质。例如算符，它在系中的分量为/xi，在 系中的分量为/xi。根据微分公式有,山东大学物理学院 宗福建,21,物理量按空间变换性质的分类,二阶张量 有些物理量显示出更复杂的空间取向性质。这类物理量要用两个矢量指标表示，有9个分量。当空间转动时，其分量Tij按以下方式变换 具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。例如应力张量，电四极矩等都是二阶张量。,山东大学物理学院 宗福建,22,物理
8、量按空间变换性质的分类,二阶张量,山东大学物理学院 宗福建,23,物理量按空间变换性质的分类,二阶张量,山东大学物理学院 宗福建,24,物理量按空间变换性质的分类,二阶张量,山东大学物理学院 宗福建,25,物理量按空间变换性质的分类,若Tij对指标i，j对称Tij = Tji ，则变换后的张量仍然是对称的。同样，反对称张量Tij = Tji变换后保持反对称性。张量之迹Tii是一个标量,山东大学物理学院 宗福建,26,物理量按空间变换性质的分类,因此，二阶张量可以分解为三个部分：迹 Tii ，无迹对称张量 Tij = Tji，Tii = 0 ,反对称张量 Tij = Tji。,山东大学物理学院
9、宗福建,27,洛伦兹变换的四维形式,洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换。如果形式上引入第四维虚数坐标则间隔不变性可写作,山东大学物理学院 宗福建,28,洛伦兹变换的四维形式,以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3，希腊字母代表1-4，间隔不变式可写为 洛伦兹变换是满足间隔不变性的四维线性变换由此，洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”，因而三维正交变换的关系可以形式上推广到洛伦兹变换中去。,山东大学物理学院 宗福建,29,洛伦兹变换的四维形式,沿x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为,山东大学物理学院 宗福建,30,洛伦兹变换的四维形式,沿x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为,山东大学
10、物理学院 宗福建,31,洛伦兹变换的四维形式,逆变换矩阵为,山东大学物理学院 宗福建,32,洛伦兹变换的四维形式,逆变换为,山东大学物理学院 宗福建,33,四维协变量,在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转动”。由于物质在时空中运动，描述物质运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的特点。把三维情形推广，我们也可以按照物理量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性质来把物理量分类。在洛伦兹变换下不变的物理量称为洛伦兹标量或不变量。,山东大学物理学院 宗福建,34,四维协变量,具有四个分量的物理量V，如果它在惯性系变换下与坐标有相同变换关系，它就成为四维矢
11、量。满足变换关系的物理量T称为四维张量。这些物理量（标量、矢量和各阶张量）在洛伦兹变换下有确定的变换性质，称为协变量。,山东大学物理学院 宗福建,35,四维协变量,例如间隔 为洛伦兹标量。固有时 也是洛伦兹标量。,山东大学物理学院 宗福建,36,四维协变量,因物体的位移dx为四维矢量，d为标量，所以 是一个四维矢量。这个四维矢量称为四维速度矢量。而通常意义下的速度是 （下角指标用拉丁字母表示由1-3。）ui不是四维矢量的分量。因为当坐标系变换时，dxi按四维矢量的分量变换，但dt亦发生改变，因此ui就不按矢量方式变换。,山东大学物理学院 宗福建,37,四维协变量,因为所以四维速度的分量是 U的
12、前三个分量和普通速度联系着，当 c时即为u，因此U称为四维速度。参考系变换时，四维速度有变换关系,山东大学物理学院 宗福建,38,四维协变量,山东大学物理学院 宗福建,39,四维协变量,山东大学物理学院 宗福建,40,四维协变量,山东大学物理学院 宗福建,41,四维协变量,山东大学物理学院 宗福建,42,四维协变量,山东大学物理学院 宗福建,43,四维波矢量,设有一角频率为，波矢量为k的平面电磁波在真空中传播。在另一参考系上观察，该电磁波的频率和传播方向都会发生改变（多谱勒效应和光行差效应）。以和k表示上观察到的角频率和波矢量。现在我们研究k和如何变换。,山东大学物理学院 宗福建,44,四维波
13、矢量,我们知道，计算辐射场的基本公式是推迟势公式 若电流J是一定频率的交变电流，有,山东大学物理学院 宗福建,45,四维波矢量,电磁波的相位因子是在另一参考系观察的相位因子是,山东大学物理学院 宗福建,46,四维波矢量,设参考系和的原点在时刻t=t=0重合，在该时刻位相 =0，取此事件为第1事件。在参考系上n个周期后，第n个波峰通过原点，=-2n,取此事件为第2事件。因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件，而位相只是计数问题，不应随参考系而变。相位是一个不变量。,山东大学物理学院 宗福建,47,四维波矢量,我们知道x与ict合为四维矢量x，因此，若k与i /c合为另一个四维矢量k，它们按四维
14、矢量方式变换，有我们得到一个四维波矢量,山东大学物理学院 宗福建,48,四维波矢量,山东大学物理学院 宗福建,49,四维波矢量,山东大学物理学院 宗福建,50,四维波矢量,设波矢量k与x轴方向的夹角为，k与x轴方向的夹角为，有这就是相对论的多普勒效应和光行差公式。,山东大学物理学院 宗福建,51,四维波矢量,若为光源的静止参考系，则 = 0，0为静止光源的辐射角频率。有 这就是相对论的多普勒效应。,山东大学物理学院 宗福建,52,四维波矢量,在垂直于光源运动方向观察辐射时，经典公式给出 = 0 ，而相对论公式给出 即在垂直与光源运动方向上，观察到的辐射频率小于静止光源的辐射频率。这现象称为横向
15、多谱勒效应。横向多谱勒效应为Ives-Stilwell实验所证实，它是相对论时间延缓效应的证据之一。,山东大学物理学院 宗福建,53,四维波矢量,设在参考系上观察,由光源辐射出的光线在xy面上,在x轴有夹角,则 设 系相对与以速度沿x轴方向运动,在 系上观察到光线与x轴有夹角 ,山东大学物理学院 宗福建,54,四维波矢量,光行差较早为天文观察所发现（Bradley于1728年）。地球相对于太阳参考系的运动速度为，在上看到某恒星发出的光线的倾角为 = ，在地球上用望远镜观察该恒星时，倾角变为 = 。由于 c，,山东大学物理学院 宗福建,55,四维波矢量,光行差较早为天文观察所发现（Bradley
16、于1728年）。地球相对于太阳参考系的运动速度为，在上看到某恒星发出的光线的倾角为 = ，在地球上用望远镜观察该恒星时，倾角变为 = 。由于 c，由于地球绕太阳公转，一年之内地球运动速度的方向变化一个周期，因此，同一颗恒星发出的光线的表现方向亦变化一个周期。天文观测证实了这种周期变化，并且由光线表现方向的改变比较准确的导出光的传播速度。,山东大学物理学院 宗福建,56,物理规律的协变性,如果一个方程的每一项属于同类协变量，在参考系变换下，每一项都按相同方式变换，结果保持方程形式不变。在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性。相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的。在不同惯性系中，物理规律应该可以表为相同形式。如果表示物理规律的方程式协变的话，它就满足相对性原理的要求。,山东大学物理学院 宗福建,57,物理规律的协变性,设某方程具有形式其中F和G都是四维矢量。在参考系变换下，有因而在新参考系中有F= G，这方程形式上和原参考系 中的方程一致。,山东大学物理学院 宗福建,58,课下作业,课下作业：无,
