1、测绘信息网 http:/测绘信息网测绘专业门户网站.高等级公路卵形曲线的计算方法周 烨摘要 在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭。本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设。关键词 卵形曲线 复曲线 匝道桥 高等级公路卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。其中线坐标解算方法有如下几种：http:/ 测绘信息网1 补全缓和曲线我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的
2、一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值：RLA，假设 R1R 2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长 ls，求缓和曲线的总长 L。lLl s (1)l 就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由 YH 点补长 l 至 o 点，以 o 点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴方向建立坐标系（图 1）。缓和曲线公式（推导过程略）如下：http:/ 测绘信息网(2)(3)测绘信息网 http:/测绘信息网测绘专业门户网站.图 1利用 x、y 值可以求得 oYH 弦与 x 轴的夹角：3。 1为 YH点的切线方位角，则 ox 的方位： 1。o
3、点的坐标可由几何关系求得为（x 0，y 0）。缓和段上任一点统一坐标可求得：(4)y=yo+xsinycos (5)2 曲率推算 http:/ 测绘信息网缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径 R1变为第二段曲率半径R2（假设 R1R 2），则缓和曲线曲率半径变化为：(6)其中 ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y轴的坐标系（图 2），设 P 点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为l，该点附近的微分弧长为 dl，缓和曲线偏角为 ，则有dx=dlcos (7)dy=dlsin (8)测绘信息网 http:/
4、测绘信息网测绘专业门户网站.图 2由于 http:/ 测绘信息网将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程：(9)(10)中间缓和段统一坐标计算为：(11)Yy YHxsinycos (12) 为曲线 YH 点切线方位。3 其它 http:/ 测绘信息网连接两反曲线或在立交桥匝道上为使墩位美观，常采用缓和曲线连接（图 3）。其解算方法以 YH 点作为起点，以其切线为 x 轴建立坐标系，不考虑第一种情况中所讲的缓和曲线加长，而直接用式（2）、（3）进行计算，然后统一坐标。测绘信息网 http:/测绘信息网测绘专业门户网站.图 3圆曲线坐标计算在此不再赘述。全站仪广泛地应用到路桥施工中，外业施工放样可
5、在仪器匹配的支持下自动完成。复曲线内业计算、复核线路坐标则成为繁琐问题。4 实例 http:/ 测绘信息网已知 R1为 5000m，R 2为 90m，YH 点切线方位 1为3275659，YH 点里程为3279，坐标为（61205.283，101834.119），HY 点里程为416.28，坐标为：（61140.068，101892.317）。由已知数据可得：由式（2）、（3）计算填至附表第 3、4 栏内，由式（4）、（5）公式计算填入第 5、6 栏内。里程 延长至原点距离（m) x(m) y(m) x yK036000 579 57652 3982 61185452 101859215K03
6、2790 90 87776 14734 61205283 101834119作者简介：周烨，男，1996 年毕业于辽宁工程技术大学测量工程专业，现任铁道部十九局二处助理工程师，先后参加过太峪隧道、南京长江二桥、宁台温高速公路等工程的施工建设。 作者单位：（铁道部十九局）http:/ 测绘信息网测绘信息网 http:/测绘信息网测绘专业门户网站.曲线任意里程中边桩坐标正反算(CASIO fx-4800P 计算器 )程序一、程序功能本程序由一个主程序(TYQXjs)和两个子程正算子程序(SUB1)、反算子程序(SUB2)序构成，可以根据曲线段直线、圆曲线、缓和曲线（完整或非完整型）的线元要素（起点
7、坐标、起点里程、起点切线方位角、线元长度、起点曲率半径、止点曲率半径）及里程边距或坐标，对该曲线段范围内任意里程中边桩坐标进行正反算。另外也可以将本程序中核心算法部分的两个子程序移植到其它相关的程序中，用于对曲线任意里程中边桩坐标进行正反算。本程序也可以在 CASIO fx-4500P 计算器及 CASIO fx-4850P 计算器上运行。二、源程序1.主程序(TYQXjs)“1.SZ = XY“：“2.XY = SZ“：N ：U“X0“ ：V“Y0“：O“S0“：G“F0“：H“LS“ ：P“R0“ ：R“RN“：Q：C=1P：D=(P-R)(2HPR)：E=180 ：N=1=Goto 1：
8、Goto 2Lbl 1：SZ：SZ：W=Abs(S-O)：Prog “SUB1“：X“XS“=XY“YS“=YGoto 1Lbl 2：XY ： XY：I=X：J=Y：Prog “SUB2“：S“S“=O+WZ“Z“=ZGoto 22. 正算子程序(SUB1)A=0.1739274226：B=0.3260725774：K=0.0694318442：L=0.3300094782：F=1-L：M=1-K： X=U+W(Acos(G+QEKW(C+KWD)+Bcos(G+QELW(C+LWD)+Bcos(G+QEFW(C+FWD)+Acos(G+QEMW(C+MWD)：Y=V+W(Asin(G+QEK
9、W(C+KWD)+Bsin(G+测绘信息网 http:/测绘信息网测绘专业门户网站.QELW(C+LWD)+Bsin(G+QEFW(C+FWD)+Asin(G+QEMW(C+MWD)：F=G+QEW(C+WD)+90：X=X+ZcosF：Y=Y+ZsinF3. 反算子程序(SUB2)T=G-90：W=Abs(Y-V)cosT-(X-U)sinT)：Z=0：Lbl 0：Prog “SUB1“：L=T+QEW(C+WD)：Z=(J-Y)cosL-(I-X)sinL：AbsZGoto1 ：W=W+Z：Goto 0Lbl 1：Z=0：Prog “SUB1“：Z=(J-Y)sinF三、使用说明1、规定(
10、1) 以道路中线的前进方向（即里程增大的方向）区分左右；当线元往左偏时，Q=-1；当线元往右偏时，Q=1；当线元为直线时，Q=0。(2) 当所求点位于中线时，Z=0；当位于中线左铡时，Z 取负值；当位于中线中线右侧时，Z 取正值。(3) 当线元为直线时，其起点、止点的曲率半径为无穷大，以 10 的 45 次代替。(4) 当线元为圆曲线时，无论其起点、止点与什么线元相接，其曲率半径均等于圆弧的半径。(5) 当线元为完整缓和曲线时，起点与直线相接时，曲率半径为无穷大，以 10 的 45次代替；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。止点与直线相接时，曲率半径为无穷大，以 10 的 45 次代替；
11、与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。(6) 当线元为非完整缓和曲线时，起点与直线相接时，曲率半径等于设计规定的值；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。止点与直线相接时，曲率半径等于设计规定的值；与圆曲线相接时，曲率半径等于圆曲线的半径。2、输入与显示说明输入部分：测绘信息网 http:/测绘信息网测绘专业门户网站.1. SZ = XY2. XY = SZ N ? 选择计算方式，输入 1 表示进行由里程、边距计算坐标 ；输入 2 表示由坐标反算里程和边距。X0 ？线元起点的 X 坐标 Y0 ？线元起点的 Y 坐标 S0 ？线元起点里程F0 ？线元起点切线方位角LS ？线元长度R0 ？
12、线元起点曲率半径RN ？线元止点曲率半径Q ？ 线 元左右偏标志(左偏 Q=-1，右偏 Q=1，直线段 Q=0）S ？ 正算时所求点的里程Z ？正算时所求点距中线的边距(左侧取负，值右侧取正值，在中线上取零)X ？反算时所求点的 X 坐标Y ？反算时所求点的 Y 坐标显示部分：XS= 正算时，计算得出的所求点的 X 坐标YS= 正算时，计算得出的所求点的 Y 坐标S= 反算时，计算得出的所求点的里程Z= 反算时，计算得出的所求点的边距四、算例某匝道的由五段线元（直线+完整缓和曲线+圆曲线+非完整缓和曲线+直线）组成，各段线元的要素（起点里程 S0、起点坐标 X0 Y0、起点切线方位角 F0、线
13、元长度测绘信息网 http:/测绘信息网测绘专业门户网站.LS、起点曲率半径 R0、止点曲率半径 RN、线 元左右偏标志 Q）如下：S0 X0 Y0 F0 LS R0 RN Q500.000 19942.837 28343.561 125 16 31.00 269.256 1E45 1E45 0769.256 19787.340 28563.378 125 16 31.00 37.492 1E45 221.75 -1806.748 19766.566 28594.574 120 25 54.07 112.779 221.75 221.75 -1919.527 19736.072 28701.8
14、93 91 17 30.63 80.285 221.75 9579.228 -1999.812 19744.038 28781.659 80 40 50.00 100.000 1E45 1E45 0 1、正算（注意：略去计算方式及线元要素输入，请自行根据所求点所在的线元输入线元要素）S=700 Z=-5 计算得 XS=19831.41785 YS=28509.72590S=700 Z=0 计算得 XS=19827.33592 YS=28506.83837S=700 Z= 5 计算得 XS=19823.25398 YS=28503.95084S=780 Z=-5 计算得 XS=19785.257
15、49 YS=28575.02270S=780 Z=0 计算得 XS=19781.15561 YS=28572.16358S=780 Z= 5 计算得 XS=19777.05373 YS=28569.30446S=870 Z=-5 计算得 XS=19747.53609 YS=28654.13091S=870 Z=0 计算得 XS=19742.68648 YS=28652.91379S=870 Z= 5 计算得 XS=19737.83688 YS=28651.69668S=940 Z=-5.123 计算得 XS=19741. 59118 YS=28722.05802S=940 Z=0 计算得 XS
16、=19736.47687 YS=28722.35642S=940 Z= 3.009 计算得 XS=19733.47298 YS=28722.53168测绘信息网 http:/测绘信息网测绘专业门户网站.2、 反算X=19831.418 Y=28509.726 计算得 S=699.9999974 Z= -5 .00018164X=19827.336 Y=28506.838 计算得 S=699.9996493 Z= 0.000145136X=19823.25398 Y=28503.95084 计算得 S=699.9999985 Z= 5.000003137X=19785.25749 Y=28575
17、.02270 计算得 S=780.0000035 Z= -5 .000001663X=19781.15561 Y=28572.16358 计算得 S=780.0000025 Z=- 0.000002979X=19777.05373 Y=28569.30446 计算得 S=780.0000016 Z= 4.99999578X=19747.536 Y=28654.131 计算得 S=870.0001137 Z= -4.99941049X=19742.686 Y=28652.914 计算得 S=870.0003175 Z=- 0.00041814X=19737.837 Y=28651.697 计算得
18、 S=870.0002748 Z= 4.999808656X=19741.5912 Y=28722.0580 计算得 S=939.9999786 Z= -5.123024937X=19736.4769 Y=28722.3564 计算得 S=939.9999862 Z=- 0.000027710X=19733.4730 Y=28722.5317 计算得 S=940.0000238 Z= 3.00898694另一个程序功能及原理1.功能说明：本程序由一个主程序(TYQXjs)和四个子程正算子程序(SUB1)、反算子程序(SUB2)等构成，可以根据曲线段直线、圆曲线、缓和曲线（完整或非完整型）的线元
19、要素（起点坐标、起点里程、起点切线方位角、线元长度、起点曲率半径、止点曲率半径）及里程边距或坐标，对该曲线段范围内任意里程中边桩坐标进行正反算。本修改版程序既可实现正算全线贯通，亦可实现反算全线贯通。本程序也可以在 CASIO fx-4800P 计算器运行。2计算原理：利用 Gauss-Legendre 5 点通用公式正算线路中边桩坐标、线外测点至曲线元起点和终点的垂距的符号是否相异（即 DcaDcb该测点在其线元内）进行判断并利用该线元要素反算中桩里程、支距，最后计算出放样数据。测绘信息网 http:/测绘信息网测绘专业门户网站.二、源程序1.主程序(TYQXjs)Lbl 0：Defm 50
20、:“1.SZ = XY ，2.XY = SZ“ ：N： N=1=Goto 1：Goto 2Lbl 1：SZ：SZSZ18=J=1：Prog “DAT1” ：Goto 3SZ26=J=2：Prog “DAT1” ：Goto 3SZ34=J=3：Prog “DAT1” ：Goto 3SZ42=J=4：Prog “DAT1” ：Goto 3SZ8（N+1）+2=J=n ：Prog “DAT1”：Goto 3Lbl 3：W=Abs(S-O)：Prog “SUB1“：“XS=“:X=X “YS=“:Y=Y”FWI=”: F=F-M :FDMS Goto 4Lbl 2：XY ： XY：Z4=X：Z5 =Y
21、：N=0Lbl A：Isz N： A=Z8N+3-M：B=Z8（N+1）+3-M ：Prog “ZX1“ ：Z6Z7J=N：Prog DAT1“ ：Goto BA=Z8N+3+M：B=Z8（N+1）+3+M：Prog “ZX1“ ：Z6Z7J=N：Prog DAT1“ ：Goto B： Goto ALbl B：Prog “SUB2“：“S=“:S=O+W“Z=“:Z=ZGoto 2Lbl 4:J=0:I=Pol(X-Z1，Y-Z2):F=J:FF=F+360 ”DIST=”: I”FW=”:FDMSGoto 12. 正算子程序(SUB1)A=0.1184634425:B=0.239314335
22、2:N=0.2844444444:K=0.0469100770:L=0.2307653449:Z3=0.5:X=U+W(Acos(G+QEKW(C+KWD)+Bcos(G+QELW(C+LWD)+Ncos(G+QEZ3W(C+Z3WD)+Bcos(G+QE(1-L)W(C+(1-L)WD)+Acos(G+QE(1-K)W(C+(1-K)WD): Y=V+W(Asin(G+QEKW(C+KWD)+Bsin(G+QELW(C+LWD)+Nsin(G+QEZ3W(C+Z3WD)+Bsin (G+QE(1-L)W(C+(1-L)WD)+Asin (G+QE(1-K)W(C+(1-K)WD)：M”ANG=”: F=G+QEW(C+WD)+M：X=X+ZcosF：Y=Y+ZsinF 3. 反算子程序(SUB2)M”ANG=”:T=G-M：W=Abs(Y-V)cosT-(X-U)sinT)：Z=0 ： Lbl 0：Prog “SUB1“ ：L=T+QEW(C+
