1、第一章习题 1 证明 恒等式e jtkstjsitjke证明 jtkstjs ktjsjtksjtkstjs itjsiiitkstjsikjtsjiiistjke 3习题 2 证明若 ，则jiijijba; 0ija证明 ，jiijjiij ;jiijb0pqijjiij baba又因为所有的指标都是哑指标， ，所以 ，即ijpqa02ij习题 3 已知某一点的应力分量 ， ， ， 不为零，而 ，试求过该点和 z 轴，与xyzxyyzxx 轴夹角为 的面上的正应力和剪应力。解 如图 1.1，过该点和 z 轴，与 x 轴夹角为 的面的法线，其与 x 轴，y 轴和 z 轴的方向余弦分别为cos，
2、sin，0，则由斜面应力公式的分量表达式， ，可求得该面上的应力为ijj)(sinco1)( xyxj sinco2)( yyxj03jv)(由斜面正应力表达式 ，可求得正应力为jin？22 sinsicocosyxyx 剪应力为 2cssin)(212)()( xyxynn 习题 4 如已知物体的表面由 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷0),(zf。试写出其边界条件。zyxp,解 物体表面外表面法线的方向余弦为2222,cos,coszyxzyxzyxffznffymffnl带入应力边界条件， ，得3,1,jinTjii 0pfff ffpfzyxzyyxzxyx习题 5 已
3、知某点以直角坐标表示的应力分量为 ， ， ， ， ， ，试求该点以柱坐标xyzxyzyz表示的应力分量。解 如图 1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：x y zr cos sin 0 -sin cos 0z 0 0 1 注意由应力分量转换公式 ，求得 jnimjn cosin2sincos2xyyxr icizrxyyxr )sin(cocsincosin 2 zzxzicossinzxyzr利用三角公式可将上面的式子改写为 2sincs2xyyxyxr ioz 2cssin2xyyxr zzyxzcocossinzxyzr习题 6 一点的应力状态由应力张量 给定，式中， ， ， 为常
4、数， 是某应力cbaij abc值，求常数 ， ， ，以使八面体面 上的应力张量为零abc )e(n3213解 由斜面应力公式的分量表达式， ，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：ijj)( 031031031 )(,),( cbcaba解得 2cba习题 7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力 ， ， 必为实根123证明 （1）设任意两个不同的主应力为 、 ，对应的主方向为 、 。根据主应力定义有：kl knl， k()nlll)(将以上两式分别点乘 和 再相减，得knl kllklk n是对称应力张量，上式可改写为 ln)(lk0所以应力的三个主方向互相垂直（2）设
5、任意两个不同的主应力为 、 ，对应的主方向为 、kl ),(1nmlk ),(l2n002121nml,nlk若 为复数，则 为其共轭复数，从而方向余弦 、 互为共轭1 ),(n1lk ),(l2与主方向相互垂直矛盾212l所以三个主应力必为实数习题 8 证明球形应力张量 在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为m m证明 球形应力张量 ，设任意斜面的方向余弦为321eem nl,由斜面应力公式 ，得n()21() nl由斜面正应力公式 ，得()mnl)2由斜面剪应力公式，得 0)(222)()( mnn nl习题 9 求应力偏量张量的不变量解 应力张量 可分解为球形应力张量 和应力偏量张量 ，m
6、S)(31(32m应力偏量张量 ，其主应力方程为 ，即)()ijijS n ),21(0jSijnij上述方程存在非零解 的必要条件是系数行列式为零，即in 332312211nnSS得到关于 的三次代数方程，nS 03213JSJSnn其中 ， 和 分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量1J23J设 ， 和 为应力偏量张量的三个主值 ，则S miiS0321321 mJ1321212213132 SSSSSSSJ 3213231SJ习题 11 设 为二阶对称张量，证明由 导出的应力一定满足无体力的平衡方程rspmqnjipije,证明 又 关于 ， 反对称， 关于 ， 对称pmjqnji
7、pjie,j,jpmjqn,j，即 满足无体力的平衡方程， 忽略体力下的平0,jqnjmipjie pmqnjipije, 0,ji衡微分方程习题 12 已知直角坐标系中各点的应力张量 ，试求体积力分量0205331xij解 根据平衡微分方程 ，得 对谁偏导的问题3,1,0,jiFiji00zzyzxyzyxzxyF得体积力分量为 ,2,13zyxF习题 13 如图 1.3 所示的三角形截面水坝，材料的比重为 ，承受着比重为 液体的压力，已求得应力1解为 ，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数 , , 和aydxcby abcd解 如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为 ，受
8、外力 的作用sin,coyPx21,0根据应力边界条件， ，在 处3,21,jinPjiiytg sincos2i0ydxaydxyab水坝右侧表面法线的方向余弦为 ，受外力 的作用,1n0,1yxP根据应力边界条件， ，在 处3,2,jiPjiiaydxb01由上述两个方程组，得 外力是如何确定的21211,0tgcttgcba习题 14 如图 1.4 所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为 的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。解 如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为 ，受外力 的作用sin,co ayPyxsin21,cos根据应力边界条件， ，在 处3,21,jinPjiitgsinicoscoyyxyx水坝右侧表面法线的方向余弦为 ，受外力 的作用in, 0yxP根据应力边界条件， ，在 处3,21,jinPjiith0sincoyxyx
