1、一、 案例介绍某运营商无线增值业务全国各省某一个月内运营情况，变量 35 个，样本 31 个（全国 31 个省），希望通过因子分析对各省综合实力进行排序。二、 问题描述通过 spss 的因子分析对原始变量进行降维处理时，SPSS 提示相关系数矩阵为“非正定矩阵” ，无法给出 KMO 值，但是 SPSS 仍然给出了后续因子分析结果。三、 疑问1) 什么是正定矩阵？2) 因子分析是否一定要求变量的相关系数矩阵为正定矩阵？3) 非正定矩阵的存在对因子分析结果有何影响？4) 如何修正使得变成正定矩阵？四、 解决办法通过在论坛上查阅人相关问题，发现其他网友总结出现这种情况的原因主要集中在两点：1) 样本
2、量太少，而指标过多2) 某些变量间相关性太强而解决方案分别要求增加样本，或者剔除某些显著强相关的变量，但是在我的这个例子里面无法增加样本，因此只能从变量的相关性上考虑，看是不是存在一些和其他变量高度相关的变量。通过查看因子分析结果中的相关系数矩阵，的确发现大部分变量之间都存在高度相关性，而且相关系数在 0.9 以上：但是现在问题来了，那是不是应该直接删除高度相关的变量？该删除哪些变量？按照我的情况估计很多变量都要剔除了，那对于分析结果就会产生很大的影响。为了找出具体是哪些变量导致问题的出现，我用了一个比较笨的办法：逐一淘汰法。刚开始时不把所有变量都用来做因子分析，只选取一小部分，例如我先选取了
3、 10 个变量做分析，发现 spss 没有再提示“非正定矩阵”而是正常的输出了 KMO 检验值，而且顺利完成了因子分析结果；然后下一步我再逐个添加其他变量进行测试，当发现添加某个变量 spss 提示“非正定矩阵”时，就记下这个变量，然后再换成下一个变量继续测试，直到把所有变量测试完。通过这样的测试，我终于找到让 spss 认为“非正定矩阵”的原因：一共有 5 个变量，只要不纳入这 5 个变量进行分析， spss 就能正常的进行因子分析。找到原因后，我本来想直接删除掉这 5 个变量好了，但是我查看了一下 spss 因子分析的输出结果，发现了为什么是这 5 个变量的原因，如下图：上图的截图是“解释
4、的总方差”显示所有变量的相关系数矩阵的所有特征值，大家可以看到在用红色方框标注的 5 个特征值，他们的数值的数量级都是 10 的负 16 次方、17 次方、18 次方，甚至出现了负值，几乎可以认为就是零了，远远小于其他特征值，根据之前的逐一测试法确认，这 5 个特征值是与之前发现的那 5 个变量是对应的，我想这就应该是为什么是这 5 个变量导致出现非正定矩阵的原因吧。那进一步思考，特征值过小或者为负值说明了什么呢，根据正定矩阵的判定，正定矩阵的充分必要条件是：特征值0,所有出现负的特征值就肯定会出现“非正定矩阵”的原因，但就靠这点似乎还不够，因为有些特征值是大于 0 的，只是非常非常小而已。
5、我推测（仅仅是我推测） ，因为我们在做主成分分析的时候，每个主成分的方差就等于对于特征值，特征值太小意味着主成分的方差太小，方差太小意味着包含变量的信息量太少，而我们在做因子分析时往往也是用主成分法来抽取公因子，所以特征值太小可能也无法满足正定矩阵的条件，当然这是我的推测。五、 总结根据整个过程，我总结了一下几点：1) 出现非正定矩阵的情况，并不一定都是样本太少（本例中样本才 31，变量有 35 个）2) 剔除变量的时候，可以利用逐一淘汰法来发现问题变量，再考虑是否要删除3) 非正定矩阵似乎对因子分析结果并无太多影响，因为我们往往只抽取了部分公因子（累计方差贡献率85%） ，特征值过小意味着方差贡献率也会很小，往往不会被选作公因子，所以对结果影响不大，这也是为什么 spss 仅仅是提示，仍然会输出因子分析结果的原因。好了，这个是我工作中碰到的一个实际例子，之前一直困扰了我很久，现在写出来与大家分享，希望能对有同样问题的朋友一个启发，当然里面一定有不对的地方，希望大家多多指正。
