1、 Made By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结一之散点运动的问题- 1 -带电粒子在磁场中的运动归纳总结之“散点”运动（以下是个人的总结，个别名词属于原创，在分析中会有所提示。专门针对全国卷进行分析，如有不足之处还请指出）大纲版全国卷中，带点粒子在电磁场中的运动，从 0711 年来看，基本来说都是作为理科综合物理卷的“压轴题” ，难度也是比较高的，那么，就此本人对该类问题进行一定的归纳总结。2010 年大纲版全国 I 卷理科综合第 26 题，是一道关于带点粒子在磁场中的运动的问题，原题如下：（10 年全国理综卷 I，26）如下图，在 区域内存在与 xy03xa平面
2、垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B.在 t=0 时刻，一位于坐标原点的粒子源在 xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与 y 轴正方向的夹角分布在 0180范围内。已知沿 y 轴正方向发射的粒子在 时刻刚好从磁场边界上 点离开磁场。0t(3,)Pa求：1 粒子在磁场中做圆周运动的半径 R 及粒子的比荷 qm;2 此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与 y 轴正方向夹角的取值范围；3 从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。分析：本题的特点是，在一个平面直角坐标系内，从原点发射大量与 x 轴（或 y 轴）成 0180的夹角（看坐标轴原点那个地方不是很像一盘散沙吗？然
3、后它又是一大堆粒子，故美其名曰散点） ，运动轨迹多得无法确定，这也是这类题目的难点所在，即：不确定的运动方向和运动轨迹（此题更是可恶，连磁场的方向都不给） ，由此，解此类题时只能根据题目的意思，找到“临界条件” ，然后再逐个击破。（1） ，既然题目已知，沿 y 轴方向的粒子最终达到 P 点，则根据匀速圆周运动的规律可知，轨迹是逐渐偏离 y 轴而形成一条弧，由此，可根据数学几何关系，画出轨迹和半径，解出 R，再由 T=2m/qB 即可解得第一问；（2） ，既然沿 y 轴正方向的粒子已经离开，相应的，在第四象限一定有与其运动轨迹相同的粒子，可根据几何关系画出，最后由角度关系，找出临界条件，即可知道
4、，角度范围在 60120之间；（3）要让全部粒子离开，只要找到运动时间最长的那个粒子即可，根据几何关系、数学计算即可解得。参考答案如下： aR32032Btmq速度与 y 轴的正方向的夹角范围是 60到 120从粒子发射到全部离开所用 时间 为 0t【解析】 粒子沿 y 轴的正方向进入磁场，从 P 点经过做 OP 的垂直平分线与 x 轴的交点为圆心，根据直角三角形有 22)3(RaRMade By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结一之散点运动的问题- 2 -解得 aR32，则粒子做圆周运动的的圆心角为sin120，周期为 03tT粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，
5、根据牛顿第二定律得， ，化简得RTmBqv2)(v032Btmq仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于 120，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。角度最小时从磁场右边界穿出圆心角 120，所经过圆弧的弦与中相等穿出点如图，根据弦与半径、x 轴的夹角都是 30，所以此时速度与 y 轴的正方向的夹角是 60。角度最大时从磁场左边界穿出，半径与 y 轴的的夹角是 60，则此时速度与 y 轴的正方向的夹角是 120。所以速度与 y 轴的正方向的夹角范围是 60到 120在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，在三角形中两个相等的腰为 ，而它的高是aR32，半径与
6、 y 轴的的夹角是 30，这aah323种粒子的圆心角是 240。所用 时间 为 。02t所以从粒子发射到全部离开所用 时间 为 。经过上述分析，我们了解到，要解开此类题目，首先要抓住的就是临界条件，找到了这个特殊的位置，接下来要注意的就是计算不出错，图像要画好。这样就万无一失了！类似于这样的散点问题还有很多，接下来我们来看几道题目：（出自 2011 届的高考模拟）如图所示，在 xoy 坐标的第 I 象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B，在 x0轴上有一平面荧光屏，在 y 轴上距坐标原点 O 为 L 的 S 处有一粒子源，在某时刻同时发射大量质量为 m，电荷量为 q 的带正电粒子
7、，它们的速度大小相同，速度方向均在xy 平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在 0180范围内观察发现：荧光屏 OP 之间发光，P 点右侧任何位置均无发光，在 P、Q 之间的任一位置会先后二次发光；O、Q之间的任一位置只有一次发光，测出 O、P 间距为 3L，不考虑粒子间的相互作用和RRRMade By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结一之散点运动的问题- 3 -粒子所受重力，求：（1）粒子发射时的速度大小；（2）Q 点先后发光的时间间隔。解析：本题与上述全国卷有所不同的地方是：1.粒子发射的位置不在原点上，而是在距离远点有一定距离的 y 轴上；2.其运动轨迹的讨论与上
8、题不同，该题需要考虑优弧、劣弧的轨迹加以分析；3.在分析临界条件时，需要特别注意该题中的一句话：荧光屏 OP 之间发光，P 点右侧任何位置均无发光，在 P、Q 之间的任一位置会先后二次发光；O、Q 之间的任一位置只有一次发光，这句话提示了我们，Q 、P 点是一个临界，并且两个临界的性质有所不同，重点需要分析的是：为什么会产生一次发光和二次发光？上述三个问题解决后，我们把思路理清：（1） 、依题意，粒子能达到的最远的地方，一定是 P 点，则 S 与 P 点的连线一定为圆的最长的一条弦，即圆的直径。故通过几何关系、数学计算及公式2qBmr即可解出。（2）在求（1）问时，我们发现，SP 是一条直径，
9、则以 SP 为直径所发射的粒子的速度方向（即下图中的 aS）即为轨迹的一个临界（如果实在不明白，可以在 aS 的附近作几条速度，根据速度画圆，就能看到一些奇妙的事情） 。然而， Q 点之后全部能产生二次发光现象，说明以aSy 以内发射的粒子以优弧形式运动至 QP 之间，在aSP 到 90以内发射的粒子以劣弧的形式运动至 QP 之间，故两次发光的原因，是因为 aS 为一条临界线，在其上方的运动轨迹较长，下方运动轨迹较短，甚至是运动到了 OQ 之间（有兴趣的可以算出aSy 的大小） 。所以，根据几何关系及数学计算，可以将 Q 点的位置给算出来，再结合MtqB即可求解。综上，这题随与全国卷类似，但难
10、度却稍大，需要认真分析，让我们一起看看，答案如下：（1）根据2qmr得： qB所以每个粒子在匀强磁场中做圆周运动半径相同。而 x轴的任一亮点与 S的连线为圆的弦长，由于 P 点是粒子到达 x轴上的最远点，所以 SP 的连线为圆的最大弦长，即圆的直径Made By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结一之散点运动的问题- 4 -即 2SPr（3 分）根据几何关系： 22SPO 得： rL（2 分） mLqB Lq（2 分）（2） as连线与 p连线垂直，在 aso范围内发射的粒子运动一段劣弧可以到达 OP间任何一位置，在 sy范围内发射的粒子运动一段优弧只能到达 QP 之间
11、任何一位置，设粒子发射方向与 轴成 角度时，运动圆轨迹恰好与 x轴上的 Q点相切根据几何知识： inLr（2 分）cosOQr（2 分） = 00（1 分）（1 分） MtqB 粒子沿优弧运动到达 Q 点的时间 23mtqB（2 分）粒子沿劣弧运动到达 点的时间 12tq（2 分） 21mtqB（1 分）通过上述分析，我们可以体会到，临界条件的寻找、题意的理解、突破是非常重要的问题，由此，对于该类问题，寻找临界条件可谓是重中之重！接下来我们来看一道稍微简单的题目：Made By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结一之散点运动的问题- 5 -如图在第一象限内的 Y 轴和直
12、线 x=1.0m 之间有一匀强磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向外，磁感应强度 B=2T，在直线右侧有沿 Y 轴负向的匀强电场，电场强度为E=2.5105N/C。放置在原点的离子源在纸面内沿不同方向向第一象限不断放射比荷为1.0106C/kg，速度均为 V0=1.0106m/s 的粒子，粒子通过磁场区域后都平行 X 轴射入电场。求：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径；（2）在 x 轴上有粒子穿过的区域的范围；（3）磁场区域的最小面积。1.0O X/mY分析：那么这道题与前边两题相比起来，难度和突破方面都相对容易，主要体现如下：1 临界的寻找较为容易；2 在计算上，数字都是相对友好的；3 第三题随涉
13、及到接下来要讨论的面积问题，不过通过题目提示，找到最大临界和最小临界后，即可轻松解决。具体解析，答案应该很明了，那么我们来看一下该题如何解的吧：【命题理由】带电粒子在电、磁场中的运动，是高考试题中重要的命题点，特别是带电粒子在组合场中的运动更是命题人的首选，此类试题变化多样，自 2005 年以来连续六年以大题形式出现，如要保持试题稳定，此方面应与足够的重视。本题考查难度循序渐进，并引入新的变化动态轨迹问题。【答案】 （1）R ；（2）在 1mx3m 范围有粒子通过 X 轴；（3）)(5.0mqBvSmin=0.14m2【解析】 （1）由 R V00 )(5.0mqBv（2）粒子在电场中做类平抛
14、运动，射入电场时距离 X 轴最远的粒子恰好在磁场中运动了 1/4 圆周，这个粒子打在 X 轴上的点距离原点最远由 qE=ma R= x=V0t 解得：x=2m21at因此在 1mx3m 范围有粒子通过 X 轴。 （3）沿 Y 轴正方向射出的粒子，其轨迹为以（0.5,0）为圆心的 1/4 圆周，即为磁场的左上边界。 任取一粒子 P 设该粒子出磁场时的位置坐标为Made By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结一之散点运动的问题- 6 -（x，y）有几何知识可得 22)(yRx由数学知识可知，P 点轨迹为以（0,0.5）为圆心的 1/4 圆周 因此，磁场的最小区域如图(阴影
15、部分)磁场区域最小面积 Smin= )24(Smin=0.14m2 最后一道题，我们再看一道稍难的题目：此题一看就又比前两题提高了一个档次，主要是因为：1.此题连速度大小都是不确定的，换句话说，运动轨迹、半径都是比较难确定的；2.前两题的临界还相对好找，但第 3 题，除了考虑临界以外，还得考虑一下半径的问题，从而找出真正的范围；3.与前 3 题相比，更加注重了运动轨迹、角度大小的求解。也因此，本题相对于前边几题，难度又有所加大，我们来看看答案：25 解（1）离子进入磁场中做圆周运动的半径为 R，由牛顿第二定律得：(2 分)RmBq2解得最大半径 (2 分)q离子在磁场中运动的周期为 T，则 (
16、2 分)BT2因为 ，所以 t 时刻这些离子刚好转过 90角，设 某一离子在此时t41刻的坐标为（ ， ） ，则有 ( 2 分)xyx(2 分)qBmv0 yO xAMade By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结一之散点运动的问题- 7 -（2）离子以最大速度 m 向 x 轴正方向发射时，将到达屏的最右端。(2 分)qBvRdLm54)(221离子与屏刚好相切时，将到达屏的最左端。 (2 分)(22离子打在屏上的范围为 x qBv54mv(2 分)（3）将第（1）问中图中的 OA 段从沿-x 轴方向顺时针方向旋转 135，在 y 轴上找一点 C，以 Rm 为半径作圆
17、弧，相交于 O，则两圆弧及 x 轴所围成的面积即为所求的解。 （或画出示意图） (2 分)由几何关系可求得此面积为 222 14183mmRRS）（ (2 分)则： (2 分)2)(qBv（综上，我们来做个总结：类似于该类散点运动的问题，临界的寻找是必不可少的，临界可以包括：1、圆周运动中的最长弦（即半径） ；2、圆周运动所能达到的最远的地方； 3、圆周运动时如受边界限制，则与边界相切的那一条圆周轨迹；4、在运动中的最的语言以及思考、转化（就类似于数学中的化归思想） 。由此，如果做到以上几点，加上在计算方面、轨迹分析方面、作图方面不出错，那么该类题目即可轻松解出。本次总结到此，望对广大同学有所帮助。Made By YZYZ268-fvans 志不立，如无舵之舟，无衔之马，飘荡奔逸，终亦何所底乎？O xyAC
