1、Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解平新乔微观经济学十八讲第 2 讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。1设一个消费者的直接效用函数为 。求该消
2、费者的间接效用函数。并且12lnuq运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。解：（1）当 时，消费者的效用最大化问题为：20yp1212,mlnaxqstpy构造拉格朗日函数： 1212lnLqqp对 、 和 分别求偏导得：L1q2110pq22L120qyp从式和式中消去 后得：21p再把式代入式中得：22yq从而解得马歇尔需求函数为：21p 22ypq由式可知：当 时， ，消费者同时消费商品 1 和商品 2。20yp2q将商品 1 和商品 2 的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： 211212,lnpvyy
3、uBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解当 时，消费者只消费商品 1，为角点解的情况。20yp从而解得马歇尔需求函数为：1qyp20q将商品 1 和商品 2 的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： 12121,lnvyupy（2）当 时，此时的间接效用函数为：20yp211212,lnvpypqyu将间接效用函数分别对 、 和 求偏导得：121vp22vyp2vp由罗尔恒等式，得到：11 21vypq22221yvqp当 时，间接效用函数为 ，将间接效用函数20yp1211,lnv
4、pyuyq分别对 、 和 求偏导得：121vp20vpvy由罗尔恒等式，得到：111vypq220vpyq（3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。2某个消费者的效用函数是 ，商品 1 和 2 的价格分别是 和 ，此消1212,ux1p2费者的收入为 ，求马歇尔需求函数和支出函数。m解：（1）消费者的效用最大化问题为： 12max，.spt构造该问题的拉格朗日函数： 2112xpLxBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解拉格朗日函数对 、 和 分别求偏导得：1
5、x21210Lxp122120Lmpx从式和式中消去 后得：12xp把式代入式中得：121,3m把式代入式中得：212,xpp式和式就是商品 1 和 2 的马歇尔需求函数。将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数： 2321144,97xymVpp由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为： 232112 17,4uepuu3试根据间接效用函数 求出相应的马歇尔需求函数，这里 表示1212,mvp m收入。解：由间接效用函数可得： ， ， 。211vp21vmp12vp根据罗尔恒等式可知商品 1 和商品 2 的马歇尔需求函数分别为（其中 或 2）：i2111 122pvxy
6、p1222 12mpvxyp4考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解假定他的选择决策只依赖于其效用函数 ，这里 。已知北京的物价为12ux21,xR，上海的物价为 ，并且 ，但 ， 。又知广州的物12,ap12,bpabpabp2abp价为 。若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生1212,cabab，活？解：老人的效用最大化问题为： 122max.stp，构造该问题的拉格朗日函数： 121212,Lxxxp拉格朗
7、日函数对 、 和 分别求偏导得：1x22110xp22L120mpx由三式求解，可得： ， 。1,212,mxpp将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数： 2121,4vpmp于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：214aavp21bb21ccmvp因为 ，所以 。1212abpb又因为 ，由于已知212 121212aac abababppp，所以该不等式的等号并不成立，则有 。1ababpp， cabv综合上述分析可知：若该退休老人是理性的，则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。5 （1）设 ，这里 ，求与该效用函数相对应的支出函数 。12ux21,xR12,ep
8、u（2）又设 ，这里， ，求与该效用函数相对应的支出函数ln21,xBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解。12,epu（3）证明： ，其中 。1212,epuepulnu答：（1）消费者的支出最小化问题为： 122maxpstu，构造该问题的拉格朗日函数： 121212Lxpxx， ，拉格朗日函数对 、 和 分别求偏导得：1x2120px21L120ux由上述三式解得： ， 。21px122p把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数： 12121212,epupupu（2）消费者的
9、支出最小化问题为： 122min.lxxstu，构造该问题的拉格朗日函数： 121212, lnLxpxx拉格朗日函数对 、 和 分别求偏导得：1210px2L12ln0ux由三式可解得： ， 。21upxe122upeBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数： 1212 12, uuepupepe （3）证明： 12 ln121212lnlnuuuxeep根据（1）与（2）的结果，可得 。1212,epp6设某消费者的间接效用函数为 ，这里
10、 。什么是该消费1212,mvp1者对物品 1 的希克斯需求函数？答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为，从中反解出 关于 、 和 的表达式，并用 替换 ，就得到了1212,mvppm1p2vuv消费者的支出函数： 12,eu根据谢泼特引理，可知物品 1 的希克斯需求函数为： 112211, pephpuu7考虑含 种商品的 Cobb-Douglass 效用函数 ，这里 ， 。n 1iniuxA01ni（1）求每种商品的马歇尔需求函数。（2）求消费者的间接效用函数。（3）计算消费者的支出函数。（4）计算每种商品的希克斯需求函数。解：（1）消费者的效用最大化问题
11、为： 121maxinniiuAxstpy，构造该问题的拉格朗日函数： 11inniiLAxyx拉格朗日函数对 和 分别求偏导数得：ix1,2 101,2ji ijixpinBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解10niLypx从前 个等式可知，对任意的 和 ，都有如下关系成立：njijijxpj从而得到，对任意的 都有：jijijpx把这 个等式代入式中，就有：1n 0jiijipxy即： 1i iijiiiippxxy从而解得商品的马歇尔需求函数为： 1,2iiyxnp（2）把每个商品的
12、马歇尔需求函数代入效用函数中，就得到了消费者的间接效用函数： 11,i innii iiyvpyuxyApp（3）从间接效用函数中反解出 关于 、 和 的表达式，并用 替换 ，就得到了12vuv消费者的支出函数： 1,iniipuepA（4）把支出函数两边取对数，得： 1lnllniiieupa上式关于 求导得：ip iiepBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解再根据谢泼特引理 得到消费者对物品的希克斯需求函数为：,i iepuxh1, ,12,3j ijhj ijj j ipxAjnp8
13、以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。答：（1）如果消费者的效用函数为柯布道格拉斯效用函数，那么他的效用最大化问题可以描述为： 1212max.Astp，构造该问题的拉格朗日函数： 112212,xxpx拉格朗日函数对 、 和 分别求偏导得：121211 0Axp122120mpx从式和式中消去 后得：122xp把式代入式中解得：1m把式代入式中解得：22xp、两式就是与柯布道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数，把它们代入目标函数式中，就得到了间接效用函数： 112,vpmAp（2）消费者的支出最小化问题为： 1221inxxstuA，B
14、orn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解构造该问题的拉格朗日函数： 112122,xpxuAx拉格朗日函数对 、 和 分别求偏导得：1x21120pAx212x120ux从式和式中消去 后得：122px把式代入式中解得商品 1 的希克斯需求函数为：121,puhpA把式代入式中解得商品 2 的希克斯需求函数为：122,puhp把，两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数： 12,ueppA（3）下面来验证问题的结论：对柯布道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到
15、同一需求函数。把间接效用函数的表达式代入商品 1 和 2 的希克斯需求函数中，就得到了它们的马歇尔需求函数： 1112112, pAamxpmp 1121222, p把支出函数的表达式代入商品 1 和 2 的马歇尔需求函数中，就得到了它们的希克斯需求函数： 11 21211, =puuhppAA 11222 2,uppBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解由此可知，对柯布道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。9下列说法对吗？为什么？函数 可以作为某
16、个消费者对某种商品的希克斯需求函数。12,hxxpu答：函数 不能作为某个消费者对某种商品的希克斯需求函数。理12,hxxpu由如下：希克斯需求函数（用 表示，其中下标表示第 种商品）是指在消费者的效用保,i i持不变的情况下，商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。特别地，希克斯需求函数具有以下性质：（1） 关于价格 是零次齐次的，即：对任意的 ， ；,ihpup0t,iihput（2） 关于第 种商品的价格 单调递减，即： ；,i iip,i（3）对任意的 和 两种商品， 总是成立。ij,jijihu对任意的 ， ，0t1212, ,h hxxxxputptp。,12hxxpu故对于函数 而言，由于不满足上述三条性质中的前两条，所以它12,hxxpu不是希克斯需求函数。10下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗？为什么？ 2,xxyypIpI这里， 与 为两种商品， 为收入。xyI答：马歇尔需求函数是指在消费者的收入保持不变和消费者追求效用最大化的条件下，商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。马歇尔需求函数具有以下性质：（1）马歇尔需求函数关于价格 和收入 是零次齐次的，即：对任意的 ，都有pm0t。,iixpmt（2）如果一种商品是正常品，即 ，那么该商品的马歇尔需求函数关于商,0ix品的价格单调递减，即 。,0ixpm
