1、空气孔形状对光子晶体线缺陷波导慢光特性的影响摘 要：采用平面波展开法仿真分析了正方形和圆形空气孔三角晶格光子晶体线缺陷波导的慢光特性。结果表明，两种常规线缺陷波导结构在填充比相同时，导模受空气孔形状影响较小。为了减小光子晶体固有的群速度色散，通过优化波导相邻两行内层孔和波导宽度得到平坦的低群速度低色散（LVLD）区域，其中正方孔 LVLD 区域的等效折射率可以达到 ，这远优于圆孔结构。在空气孔尺寸和波导宽度相同时，正方孔比圆孔线缺陷波导210允许传输的信号速率更高，可达 ，研究结果对于光子晶体波导在光网络中的应用35/Gbs具有重要的参考价值。关键词 光子晶体；线缺陷波导；等效折射率；波形展宽
2、因子；信号比特率； 1 引言光子晶体是一种折射率周期性调制的结构，能够产生光子带隙，即一些频率的光不能通过，引入缺陷在禁带中会产生导模，可以很好的控制光的传输。光子晶体自提出以来由于其特殊的性质和导光机理引起了科学家们的广泛关注1,2 。目前研究最多的是二维光子晶体线缺陷波导，由于周期性晶格产生强烈的结构色散和增强的非线性效应，禁带中导模的群速度会大幅降低，形成慢光。慢光使得延迟和色散补偿器件在很微小的尺寸上可以被实现，因此在光缓存、数据同步、光存储和光信号处理等方面有很多潜在的应用，为全光网络的实现提供了可能2。然而，光子晶体波导中存在较明显的群速度色散3-8，传输脉冲信号时，不同频率的光传
3、输速度相差较大，最终会导致脉冲信号展宽，波形畸变，严重影响了光子晶体在实际中的应用。为了改进线缺陷波导的群速度色散特性，已有研究提出很多方法，例如优化相邻两行圆孔、改变波导的宽度、用流体材料填充内层空气圆孔等方法1,5-8，可以得到相对较低的群速度、低色散(LVLD)的平坦区域。然而单纯的改变相邻两行半径的大小， 很难达gn到 以上；单纯的平移两行空气孔，虽然能使得等效折射率 达到 以上，但是这需10 gn20要进行 以下的精细调整，然而目前大部分制作工艺只能微调到 ，远不能达到要2nm1m求8。因此，针对常见的正方形和圆形空气孔二维三角晶格光子晶体通过同时调整相邻波导内层孔大小和波导宽度的方
4、法优化得到三种结构，并分析优化结构的低群速度低色散（LVLD）区域对脉冲波形展宽因子 以及最大允许传输的信号比特率 的影响。BFbR2 理论模型2.1 线缺陷波导结构模型研究常见的基于硅基底材料的三角晶格空气孔结构，背景介质 Si 和空气孔折射率分别为 和 。采用两种空气孔形状9：圆形和四方形，如图(1)所示。定义圆形孔填充比为3.51，正方孔填充比为 ，取圆形孔半径 ，正方形孔2cylinderfa2squarefw0.32ra宽度为 ， 为晶格常数，此时两种结构的填充比相同。0.567wa w,1airnr,1in3.5S3.5S图 1 填充比相同时的圆形和正方形空气孔示意图圆形空气孔线缺
5、陷波导结构如图 2 所示，定义波导相邻第一行半径为 ，第二行半径1r为 ，其他空气孔半径为 ，普通 W1 波导宽度为 ，对称下移第一行空气孔后波导宽度2rrD为 。dL i g h tA i rS id21YXZ图 2 圆形空气孔线缺陷波导结构示意图正方形空气孔线缺陷波导结构如图 3 所示，定义波导相邻第一行宽度为 ，第二行宽1w度为 ，其他空气孔宽度为 ，普通 W1 波导宽度为 ，对称下移第一行空气孔后波导2wwD宽度为 。dYXZL i g h tS iA i rd12图 3 正方形空气孔线缺陷波导结构示意图2.2 线性脉冲传输模型光在光子晶体波导中的传输可以表示为13,14：(1)2()
6、2() 0!lmllAAjjzT上式中， 沿着光子晶体波导传输的电场幅度， 是损耗系数， 为传输距离, 在线(,)AzTz性波导中自相位调制 SPM 系数 ，方程(1)是线性的。当 时， 为群速度色散系02ll数，定义 ，此时忽略高阶色散 。()mod(,2)ll(0,)l不同频率的光传输时速度相差很大，这直接导致了信号波形的展宽，一般用群速度色散 度量对信号的影响，其定义为1,2：2(2)122()ggdvndkwc其中， 为归一化频率， 为波矢， 为真空中的群速度， 为导模的群速度，由导wkgv模能带曲线的斜率表示1,2：(3)ggcvdnkw为等效折射率，可表示为：gn(4)gcdknv
7、公式(4)表明等效折射率 与群速度 成反比。gg在线性波导中，采用高斯脉冲的形式 ，当经过长为 的光子20(0,)exp()ATL晶体波导后，由群速度色散导致的展宽因子定义为15：(5)21/()()LDBFz其中， 用来衡量色散展宽程度，当 时，认为信号可以正确传输，当BF.3时，信号展宽过大，不可传输16。色散长度 可以表示为15 ：1.3 L(6)20/DLT采用归零码调制，脉冲的初始宽度 由半极大全脉宽 决定，FWHMt，而 由最大比特率 决定12:0/1.65FWHMTtFWHMtbR(7)1(4)FWHMt给定光子晶体波导的长度 ，可以计算延迟时间 12:L()delayT(8)(
8、)/delaygLnc随着 变化，一旦给定延时 ，就可以定义中心波长 ，即 ，()delayT 00()delayT同理若中心波长 定义在给定的 处，就可以得出 。0gn()delayT3 仿真结果3.1 空气孔形状对导模的影响三角晶格空气孔线缺陷结构会产生两条导模：奇模和偶模。一般认为偶导模近似是无损耗的1 ，因此这里仅分析偶摸。图 4 为填充比相同时圆孔和四方孔线缺陷波导偶模曲线，横轴为波矢 ，纵轴为归一化频率 ，圆形空气孔半径为 ，正kw0.32ra方孔宽度为 。表明在填充比相同时，空气孔形状对导模的影响很小。带边0.567wa处导模很平坦，因此带边处的群速度很小，等效折射率很大。0 0
9、.1 0.2 0.3 0.4 0.50.210.220.230.240.250.260.270.280.290.30.31Wave VectorNormalizedFrequency-a/2ccylindersquare图 4 填充比相同的正方孔与圆孔常规线缺陷波导结构导模能带图图 5 为相应的圆孔和四方孔线缺陷波导偶模等效折射率曲线，横轴为归一化频率，纵轴为等效折射率 。由图中可见带边处 的斜率很大，根据公式(2)可得对应wgngn的群速度色散很大，这使得信号展宽严重，允许传输的信号比特率降低。0.214 0.216 0.218 0.22 0.222 0.224 0.226050100150
10、200250300Normalized Frequency-a/2cThe Group Index-ngcylindersquare图 5 填充比相同的正方孔与圆孔常规线缺陷波导结构等效折射率曲线3.2 光子晶体波导优化为了改进线缺陷波导的群速度色散特性，已有研究对圆形空气孔结构提出很多优化方法1,5-8 ，例如改变相邻两行内层孔半径、波导的宽度、用流体材料填充内层孔等方法，可以得到相对较低的群速度，低色散的平坦区域，称为低群速度低色散慢光（LVLD）区域4-6，可用于光缓存和光逻辑器件。然而计算表明单纯的改变相邻两行半径的大小， 很难达到 以上；单纯的平移两gn10行空气孔，在保证相应 和带
11、宽积不变的情况下，虽然能使得 达到 以上，但是需gng2要进行 以下的精细调整6,8，由于目前大多数工艺只能微调约 ，远达不到需求，2nmnm只能通过粗调优化结构。下面通过即调整空气孔的大小，又平移空气孔的方法优化得到三种结构，仿真分析相应结果。结构 1. 仅减小波导第一行空气孔半径时，当正方形宽度减小到 时，四方晶10.85*w格出现群速度平坦的区域，而圆形半径减小到 时，才出现平坦区域，见图 6，10.75*r横轴为归一化频率 ，纵轴为等效折射率 。这时四方晶格的 比圆形大，因此改变结wgngn构对四方晶格影响较大。图 7 为两种结构的群速度色散曲线，横轴为归一化频率 ，纵轴w为群速度色散
12、 ，可以看出群速度平坦区域的色散减少到约 ，这是信号传输可以接2 610:受的值10,11。0.206 0.208 0.21 0.212 0.214 0.216 0.218 0.22 0.222010203040506070Normalized Frequency-a/2cThe Group Index-ngcylinder r1=0.75rsquare w1=0.85w图 6 优化结构 1 等效折射率曲线，实线为圆孔， ，虚线为正方孔，.75*r10.85*w0.208 0.21 0.212 0.214 0.216 0.218 0.22 0.2220123456789x 106Normali
13、zed Frequency-a/2cGroup VelocityDispersion GVD 2(ps2/kmcylinder r1=0.85rsquare w1=0.75w图 7 优化结构 1 色散曲线，实线为圆孔， ，虚线为正方孔，75*1.85*w结构 2. 在减小第一行空气孔大小的同时减小波导宽度，圆形与正方形减小第一行空气孔分别为 、 ，波导宽度减小到 时，仿真结果如图 8 所示，10.8*r10.8*w0.8D横轴为归一化频率 ，纵轴为等效折射率 ，图中可以看出正方形平坦区域等效折射率gn大于圆形 。_64.5gsquaren_4gcylinder0.222 0.224 0.226
14、 0.228 0.23 0.2320153045607590105120135Normalized Frequency-a/2cThe Group Index-ngcylinder r1=0.8r d=0.8*Dsquare w1=0.8w d=0.8*D图 8 优化结构 2 等效折射率曲线，波导宽度减小到 ，圆孔 ，正方孔.*D1.8*r10.8*w结构 3. 在以上两种情况的基础上，增大第二行半径。当正方形第二行空气孔宽度增大到，圆形第二行半径同样增大到 ，第一行空气孔分别减小到 （21.*w21.r .r） ，波导宽度同时减小到 时，得到正方形空气孔的平坦区域00.9d，这远优于圆形空气
15、孔结构，此时圆形没有明显的平坦区域，继续减少波_0gcylinder导到 时，圆形空气孔结构才会产生相对平坦的区域 ，但依然低于正.8*D_125gsquaren方形，如图 9 所示，横轴为波矢 ，纵轴为等效折射率 。k0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50255075100125150175200225250275300325350Wave VectorThe Group Index-ngcylinder r1=0.8r r2=1.1r d=0.9*Dcylinder r1=0.8r r2=1.1r d=0.8*Dsquare w1=
16、0.8w w2=1.1w d=0.9*D图 9 优化结构 3 等效折射率曲线，圆孔 ， ，波导宽度分别减小到 和1.*r1. 0.8*dD，正方孔 ， ，波导宽度减小到.9*dDw2w.从结构 1 和 3 看出，第一行半径大小和位置改变时，正方形空气孔先出现平坦的区域，说明正方孔对于第一行空气孔的大小较为敏感，色散和非线性影响较为强烈；结构 2 和 3表明，相同参数的结构，正方形平坦区域的等效折射率 比圆形结构大，可达 ，然而gn10要使得圆形波导结构 达到 以上，这需要进行极其精细的调整，目前大多数工艺远达gn20不到需求；仿真得到，在周期晶格 ， 时正方形平坦带宽为 。35am_210gs
17、quarenm3.3. 光子晶体波导中的线性脉冲展宽研究群速度色散不仅严重影响传输脉冲波形，也极大的限制了网络中可最大传输的信号比特率12，因此研究脉冲波形随着信号比特率变化的展宽情况也尤为重要。另外，信号的延迟在光网络中是一个非常重要的参数，采用光子晶体慢光可以实现延迟。下面重点研究两种结构， 长的正方形和圆形空气孔光子晶体波导，比较分析前面1cm所述常规线缺陷波导与优化结构 2 的延迟时间 、展宽因子 和最大可传输的信号比delayTBF特率 。bR图 11 为圆孔和正方孔常规线缺陷波导和优化结构 2 波导的延迟时间曲线，横轴为归一化波长 ，纵轴为延迟时间 。从优化结构的延迟时间曲线中的平
18、坦区域可以()nm()tps看出不同波长的延迟时间相差很小，即经过相同的时间到达波导末端，波形变化不大；对应相同 区域的普通线缺陷结构，不同波长对应的延迟时间不同，到达波导末端所用时间g不同，波形展宽，信号失真。1480 1500 1520 1540 1560 1580 1600 1620012345678910wavelengthnmthe delay timetpscylindercylinder r1=0.8r d=0.8*Dsquaresquare w1=0.8w d=0.8*D图 11 圆形和正方形优化结构 2 与普通线缺陷波导延迟时间曲线接着分析两种形状的波导，找到优化结构中相对平
19、坦区域的 以及对应的群速度色散g，联立式(5)(6)(7) 可以得到展宽因子 随信号比特率 变化的曲线。对应于优化结构2k LBFbR2 平坦区域的 时，普通结构和优化结构 2 的展宽因子随比特率的变化曲线如图 12 所示，gn横轴表示的是信号的比特率 ，纵轴表示脉冲展宽因子 ，圆形平坦区域的()bRGitsBF，而正方形平坦区域为 ；圆形普通线波导结构的最大传输比_4gcylinder_64.5gsquaren特率约为 ，优化结构 2 的最大可达 ；正方形普通波导结构可达7.2/bs /b，优化结构可达 。结果表明，两种空气孔形状优化后平坦区域的色散较6.5/G35/b小，导致优化结构 2
20、比普通的线缺陷波导所允许传输的最大信号比特率高，四方晶格随着比特率的增加展宽较小，允许传输的最大比特率更高。0 5 10 15 20 25 30 35 40 4511.11.21.31.41.51.61.71.8the bit rate of the signalRb(Gbit/s)the broaden factorBFcylinder r!=0.8r d=0.8*Dsquare w1=0.8w d=0.8*D0 2 4 6 811.11.21.31.41.5the bit rate of the signalRb(Gbit/s)the broadenfactorBFcylindersqua
21、reg.5g64.5g图 12 优化结构 2 圆形和正方形展宽因子随传输比特率变化曲线，插图为两种形状普通线缺陷结构展宽因子曲线4 结论本文首先对相同填充比的正方形空气孔与圆形空气孔进行结构优化，得到正方形比圆形更容易出现平坦的区域，且正方形平坦区域的 大，即群速度小，延迟时间大；其次，gn在相同传输比特率时，结构优化后的展宽因子比普通波导的展宽因子小，即信号传输过程中保形较好，正方形空气孔能达到的最大传输比特率高于圆形空气孔。群速度色散决定了网络中传输数据的最大比特率，并且对信号波形影响很严重，为了减小这种影响，通过优化光子晶体波导结构，得到群速度平坦的区域，在这个区域中色散很小，允许传输的
22、信号比特率高，可以有效的提高网络的带宽，对于全光网络的实现提供重要的理论依据。5 参考文献1Lars H.Frandsen, Andrei V.Lavrinenko, Jacob Fage-Pedersen, and PeterI.Borel. Photonic crystal waveguides with semi-slow light and tailored dispersion properties. Opt.Express, VOL.14, No.20, 2006, 9444-9450 2Toshihiko Baba. Slow light in photonic crystals
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