1、数学期望在实际生活中的应用1摘要在现代快速发展的社会中，数学期望作为一门重要的数学学科，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，体现出数学期望在实际生活中颇有价值的应用。 通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用” 。 所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。关键词：数学期望 随机变量 性
2、质 实际应用数学期望在实际生活中的应用2AbstractIn the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important mathematical subject, it is one of the important digital features of random variables, is also one of the basic characteristics of random variables. Through several examples, in this
3、paper, the mathematical expectation in the practical application of life including economic decision-making, lottery tickets, job, health, sports, etc. In some instances, manifests the mathematical expectation valuable application in real life. Through discuss the application of mathematical expecta
4、tion in real life to play let everybody understand the knowledge and practice closely linked human rich background, personal experience “mathematics really useful“. So-called mathematical expectation is to actually ask for random variables of the probability weighted average of the weight, and mean
5、value in actual application of this concept is our one of the most commonly used indicators, used in the forecast, it is very scientific.Key words: Mathematical Expectation; Stochastic Variable; quality; Practical Application数学期望在实际生活中的应用3目录摘要 .1Abstract .2第一章 绪论 .41.1 数学期望的起源及定义 .41.2 数学期望的意义 .5第二章
6、 数学期望前瞻 .52.1 离散型 .52.2 连续型 .62.3 随机变量的数学期望值 .72.4 单独数据的数学期望的算法 .72.5 数学期望的基本性质 .8第三章 数学期望在实际中的应用 .83.1 经济决策中的应用 .93.2 彩票、抽奖问题 .93.2.1 彩票问题 .93.2.2 抽奖问题 .113.3 求职决策问题 .123.4 医疗问题 .133.5 体育比赛问题 .14结论 .16参考文献 .16致 谢 .17数学期望在实际生活中的应用4第 1 章 绪论1.1 数学期望的起源及定义早在 17 世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们
7、两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得 100 法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这 100 法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为 1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75 法郎，乙的期望所得值为 25 法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，其定义我们可以通
8、过一个数学例题来了解：掷一枚质地均匀的骰子 次，观察每次出现点数.它是一个随机变量 ，如果用 、 、 、N1N23、 、 表示出现 1、2、3、4、5、6 点的次数，那么每次投掷骰子出现456点数的平均值为=X123456NN表示事件投掷骰子出现 点的频率，由于频率具有波动性，因此该平均值也i i具有波动性，并不能代表每次投掷骰子出现点数的平均值，当 很大时，N应稳定于 ，故该平均值也应该稳定于iN161 +2 +3 +4 +5 +661616= （1+2+3+4+5+6）= 72那么，这使得平均值是真正的每次投掷骰子出现点数的平均值，他是随机变量的可能取值 与所对应的概率 乘积的总和，这是一
9、个常数，可以用来描述ixip随机变量 的数学特征，称之为 的数学期望，记作 E 。定义 1 若离散型随机变量 可能取值为 （ =1，2，3 ，） ，其分布列为ia数学期望在实际生活中的应用5（ =1，2，3， ） ，则当 时，则称 存在数学期望，并且数学期ipiipa1望为 E = ，如果 = ，则数学期望不存在。1iipaii1定义 2 设连续型随机变量 的概率密度函数为 , 若积分 是一个xPdxP)(有限值，则称积分 为 的数学期望，记作 ，即 。dxP)( E)(1.2 数学期望的意义数学期望在实际中的应用涉及面又大又广泛，作为数学基础理论中统计学上的数字特征，广泛应用于数据分析、经济
10、、社会、医学等领域。其意义是解决实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。第 2 章 数学期望前瞻2.1 离散型离散型随机变量的分类：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型） ，随机变量的函数仍为随机变量。有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限个或无限多个，这种随机变量称为“离散型随机变量 “。离散型随机变量在某一范围内的取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和。定义 2.1：如果随机变量
11、 X 只可能取有限个或至多可列个值，则称 X 为离散型随机变量。数学期望在实际生活中的应用6定义 2.2：设 X 为离散型随机变量，它的一切可能取值为X1，X2，Xn，记 P=PX=xn,n=1,2(2.1)称(2.1)式为 X 的概率函数，又称为 X 的概率分布，简称分布。离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：(1)非负性 Pn0 n=1,2,(2)归一性 pn=1对于集合xn,n=1,2,中的任何一个子集 A,事件“X 在 A 中取值” 即“X A”的概率为PXA=Pn特别的，如果一个试验所包含的事件只有两个，其概率分布为PX=x1=p(0p1)PX=x2=1-p=q这种分布称为两点分布
12、。 如果 x1=1,x2=0,有PX=1=pPX=0=q这时称 X 服从参数为 p 的 0-1 分布，它是离散型随机变量分布中最简单的一种。由于是数学家伯努利最先研究发现的，为了纪念他，我们也把服从这种分布的试验叫伯努利试验。习惯上，把伯努利的一种结果称为“成功” ，另一种称为“失败” 。2.2 连续型若随机变量 X 的分布函数 F(x)可表示成一个非负可积函数 f(x)的积分，则称 X 为连续性随机变量，f(x)称为 X 的概率密度函数（分布密度函数） 。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取
13、值范围(取值)确定，变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量；比如，一次掷 20 个硬币，k 个硬币正面朝上，k 是随机变量，k 的取值只能是自然数 0，1，2，20，而不能取小数 3.5、无理数20，因而 k 是离散型随机变量。如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量；比如，公共汽车每 15 分钟一班，某人在站台等车时间 x 是个随机变量，x 的取值范围是0,15） ，它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、20 等，因而称这随机变量是连续型随机变量。连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，若积分： 绝对收敛
14、，则称此积分值为随机变量 X 的数学期望，记为：数学期望在实际生活中的应用72.3 随机变量的数学期望值在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”“期望值”也许与每一个结果都不相等（我们可以用一道简单的数学题目来参照） 。假设：某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层可以停靠。若该电梯在底层载有 3 位乘客,且每位乘客在第三层下电梯的概率均为 3 分之一，用期望值
15、表示这 3 位乘客在第 20 曾下电梯的人数，求：1.随机变量“E“(随机变量)的分布列2.随机变量“E“(随机变量)的期望设 A 为这三个乘客中在第 20 层下电梯人数，则 A 的可能取值为 0，1，2，3，下面计算每一种可能取值的概率：P(A=0)=P(三个人都不在 20 层下)=（2/3）3=8/27 ,P(A=1)=P(其中两人不在 20 层下另一人在 20 层下)=C（3 ，2） （2/3）2 1/3=4/9 ,P(A=2)=P(其中两人在 20 层下另一人不在 20 层下)=C（3 ，2） （1/3）2 2/3=2/9 ,P(A=3)=P(三人都在 20 层下)=（1/3）3=1/
16、27检验 P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=1 ,满足归一条件。分布列及数学期望便即可得出：A 0 1 2 3P 8/27 4/9 2/9 1/27数学期望 E=1.数学期望的计算还有更简单的方法：每个人在三层中的任一层下电梯是等概率的，等可能事件，概率为 1/3，所以在每层下的人数的期望 E=总人数*每个人在每层下的概率 =3 1/3=1。本题若改为有 6 人，则期望=6 1/3=2。2.4 单独数据的数学期望的算法数学期望：E(X) = X1 p(X1） + X2 p(X2） + + Xn p(Xn)X1,X2,X3，Xn 为这几个数据，p(X1）,p(X2）,p(X3） ，p(Xn
17、) 为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中 p(X1）,p(X2 ）,p(X3） ，p(Xn) 数学期望在实际生活中的应用8概率函数就理解为数据 X1,X2,X3，Xn 出现的频率 f(Xi).则：E(X) = X1 p(X1） + X2 p(X2） + + Xn p(Xn) = X1 f1(X1） + X2 f2(X2） + + Xn fn(Xn)很容易证明 E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。我们举个例子，比如说有这么几个数：1，1，2，5，2，6，5，8，9，4，8，11 出现的次数为 3 次，占所有数据出现次数的 3/12，这个 3/12 就是 1 所对应的频率。同
18、理，可以计算出 f(2) = 2/12, f(5) = 2/12,f(6) = 1/12,f(8) = 2/12,f(9) = 1/12,f(4) = 1/12 根据数学期望的定义：E(X) = 1 f(1) + 2 f(2) + 5 f(5) + 6 f(6) + 8 f(8) + 9 f(9) + 4 f(4) = 13/3所以 E(X) = 13/3,现在算这些数的算术平均值：Xa = （ 1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1）/12 = 13/3所以 E(X) = 13/3。2.5 数学期望的基本性质设 C、a、b 为常数， 为随机变量，则有如下性质性质 1 常数 的数学期望
19、等于本身： .CE证明：以离散随机变量为例来证明，对于连续随机变量可类似地证明。下同，把常数 视为概率 1 取本身值的离散随机变量，即得 .性质 2 CE证明：设随机变量 的概率分布为 = ,（ =1,2,）则)(ixP(i. CExCEiiiiii )(性质 3 .E证明： .i iiii xPCx)()()(性质 4 .ba证明：利用前三个性质得 。bEaE)(第 3 章 数学期望在实际中的应用数学期望在实际生活中的应用93.1 经济决策中的应用假设某一超市出售的某种商品，每周的需求量 在 10 至 30 范围内等可能X取值，该商品的进货量也在 10 至 30 范围内等可能取值（每周只进一
20、次货）超市每销售一单位商品可获利 500 元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损 100 元；若供不应求，可从其他超市调拨，此时超市商品可获利 300元。试计算进货量多少时，超市可获得最佳利润？并求出最大利润的期望值。分析：由于该商品的需求量（销售量） 是一个随机变量，它在区间上均匀分布，而销售该商品的利润值 也是随机变量，它是 的函数，10,3 YX称为随机变量的函数。题中所涉及的最佳利润只能是利润的数学期望（即平均利润的最大值） 。因此，本问题的解算过程是先确定 与 的函数关系，再求出的期望 。最后利用极值法求出 的极大值点及最大值。YEE先假设每周的进货量为 ，则a=Y503(
21、),1xa= 2,60ax利润 的数学期望为：Y= +E1(601)2axad3(20)2adx=-7.5 +350 +5250=-15 +350=0daY= 23.333501的最大值 =-7.5 +350 +5250 9333.3 元EEmx270()3根据结果可知，周最佳进货量为 23.33（单位） ，最大利润的期望值为9333.3 元。3.2 彩票、抽奖问题3.2.1 彩票问题 随着社会生活的丰富，人们购买彩票，谈论彩票中奖的热潮正在兴起。报纸上不时发表谈论彩票的文章，有时也谈到摸彩与数学的关系。但众所纷纭，也说不详，论也不确。众所周知，彩票抽奖属于“独立随机事件” ，彩票预测违数学期
22、望在实际生活中的应用10背科学。但从总体上来说，中奖号码有服从于某些统计规律。为了研究彩票中的概率统计问题，我们选取了体育彩票和七乐彩及一些简单的模拟实验来帮助我们研究，例如：我们进行了模红白球的实验，先进性简单的概率计算问题，我们又以体育彩票和七乐彩为辅助实验并根据。由此我们计算出体彩的中奖概率如下（以一注为单位）特等奖 P0=1/10000000一等奖 P1=1/1000000二等奖 P2=20/1000000三等奖 P3=300/1000000四等奖 P4=4000/1000000五等奖 P5=50000/1000000P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543211这就是说每
23、 1000 注彩票约有 54 注中奖经过公式计算我们计算出了七乐彩的中奖概率：一等奖 C301/2035二等奖 P1=1/290829三等奖 P2=1/13219四等奖 P3=1/4406五等奖 P4=1/420六等奖 P5=1/252七等奖 P6=1/38一般来说，各类彩票各奖级的中奖几率总和在 4%-5%左右。如果要中奖金数目大的最高奖，概率一般为几十万至几百万分之一，难度更大，是可遇不可求的。对于购买题材只能是本着对中国体育事业的支持的想法，而不能对回报有过高的期望。彩票的中奖概率与数学里的统计学有着密切的关系，通过统计概率，我们可以更好的发现数学统计学与生活的密切关系。在彩票市场异常火爆的今天作为一个理性的彩迷，我们应该对彩票有正确的认识，买彩票是一种自愿的活动，是彩民的个人爱好，理智的彩民不该抱着赌博的心态，孤注一掷，投入极大的资金，应量力而出以平常健康重在参与的心态买彩票。
