1、园区公开课讲师团公开课教案第 1 页 共 17 页课题：函数与方程西安交通大学苏州附属中学 秦卫东【 教 学 目 标 】1、函数零点的定义；2、函数零点的判定(零点存在性定理 )；3、函数与方程的转化【重点难点】重点：三个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf (x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x) 有零点难 点 ： 等 价 转 换 ， 函 数 的 图 像【 基 础 训 练 】1、函数 f(x)(x 22)( x23x2)的零点为_答案： ， ，1,22 2解析：解方程即得结果。点评：零点不是一个点，函数零点就是方程 f(x)0 的实数根。2、根据表格中的数据，可以判定方程 exx
2、20 的一个根所在的区间为_x 1 0 1 2 3ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09x2 1 2 3 4 5答案：(1，2)解析：设函数 f(x)e xx2，从表中可以看出 f(1)f(2)x 1，得 x0，此时 f(x)( x1) 2 (2x1)(x1) x 2x，所以f(x) Error!作出函数 f(x)的图象如图所示，要使方程 f(x)a 恰有三个互不相等的实数根x1，x 2，x 3，不妨设 x10，f（1） 4m 20) m 56，) 0，f（1）0， 0，0 12，m 12，m 1 2或 m 1 2， 10 时，设 g(x)x 2，h( x)ln x，如图分别作出两
3、个函数的图象，由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数 f(x)在 x0 时有两个零点(2)函数 f(x) Error!的图象如图所示，当 a1， )|1 实根的个数为_答案：4解析：由题意得：求函数 yf(x)与 y1g(x)交点个数以及函数 yf(x)与y1g(x)交点个数之和，因为 y1g(x) 所以函数 yf(x)与1，0 x 1，7 x2，x 2，x2 1，1 x 2，)y1g(x)有两个交点又 y1g(x) 所以函数 yf(x)与 1，0 x 1，5 x2，x 2，x2 3，1 x 2，)y1g(x)有两个交点，因此共有 4 个交点园区公开课讲师团公开课教案第 6 页 共 17 页
4、点评：函数 y f(x)有零点方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x)的图象与 ym 有交点，准 确 熟 练 地 画 出 函 数 图 像 。例 3、若函数 f（x）= ln（x+1）不存在零点，则实数 k 的取值范围是 解：由题意可知 ，解得 x1 且 x0，由对数的性质可得 lnkx=2ln（x+1）=ln（x+1） 2，可得 kx=（x+1） 2，变形可得 k= =x+ +2， （x1 且 x0）由“对号函数”的性质可知 x+ 2，或 x+ 2，x+ +20，或 x+ +24，要使函数 f（x）= ln（x+1）不存在零点，只需 k 取 x+ +2 取值集合的补集，即k|0k4，当 k
5、=0 时，函数无意义，故 k 的取值范围应为：（0，4）答案为：（0，4）点评：本题要注意题目的问法。例 4、设函数 f(x) ax 2，aR.(1) 当 a2 时，求函数 f(x)的零点；|x|x 2(2) 当 a0 时，求证：函数 f(x)在(0，) 内有且仅有一个零点；(3) 若函数 f(x)有四个不同的零点，求 a 的取值范围(1) 解：当 x0 时，由 f(x)0，得 2x 20，即 x(2x24x1) 0，xx 2解得 x0 或 x (舍负)； 2 62当 x0 且 x0 时，由 f(x)0，得 ax 20，即 ax22ax10.xx 2记 g(x)ax 22ax1，则函数 g(x
6、)的图象是开口向上的抛物线又 g(0)10，由(2)知，当 a0 时，函数 f(x)在区间(0，) 内有且仅有一个零点；当 a0 时，g(x)ax 22ax 11，1a综上所述，a 的取值范围是(1，) 点 评 ： 本 题 考 查 了 函 数 的 零 点 与 方 程 的 根 的 关 系 ， 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 。例 5、已知函数 ( 为常数, 是自然对数的底 )， 是函数 的()exfce(fx()yfx导函数 （1）求 的单调区间；（2）当 时，试证明： 对任意的 ，1c0恒成立；(ln)(l)fcxf函数 有两个相异的零点y解析：（1） ，()exfc若 ，则 恒成立，此时
7、函数 的增区间为 ；0c 0()fx(,)若 ，令 ，得 ，()flnxcx,l)lc(ln,)c()f 0 减 极小值 ln增所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ()yfx(,ln)c(l,)c（2）令 ln)le)2xgcf x则 ，且 仅在 时成立，()e20xc (0g园区公开课讲师团公开课教案第 8 页 共 17 页所以 在 上单调递增 ()gxR所以当 时, ，即 0()0g(ln)(l)fcxfcx因为 ，所以 1clnfcl而 ,所以 ，所以 在 内存在一个零点，()ef()10f()f1,ln)取 ( )，22lnl(e2lncc设 ( ), ，()elcc)所以 在
8、上单调递增,所以 1)(1)e0c从而 ，(2ln(0f所以 ,所以 在 内存在一个零点)l)cf()fxln,2)点评：本题涉及函数零点的证明，不能用图像来代替证明，而应该根据根的存在性定理找一些特殊点的函数值，要得到 ， 才能证明。(l)10fcf(l)ln1)0fcf例 6、设函数 ， ，其中 为实数。axfln)( axeg)(（1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范x,1)(),1a围；（2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论。)(g),)(xf解析：（1）由 即 对 恒成立，01 axfx,1max1而由 知 1 ),(x由 令 则aeg
9、x 0)(gaxln当 时 0，当 时 0，ln )(g 在 上有最小值)(x),1 1 ale园区公开课讲师团公开课教案第 9 页 共 17 页综上所述： 的取值范围为a),(e（2）证明： 在 上是单调增函数)(xg1 即 对 恒成立，0)( exe),1( minxa而当 时， ),1(xeea分三种情况：（）当 时， 0 f（x）在 上为单调增函数0af1)(),0(x f（x）存在唯一零点)1(f（）当 0 时， 0 f（x）在 上为单调增函数af)( ),(x 0 且 01)(aaeefaf)1(f（x）存在唯一零点（）当 0 时， ，令 得xf)( )(xf1当 0 时， 0；
10、时， 0xa1af)1)(xaf)1()( 为最大值点，最大值为 1lnln)(af当 时， ， ， 有唯一零点1ln1lnae)(xf e当 0 时，0 ， 有两个零点ae)(xf实际上，对于 0 ，由于 0，ea1l01ln1ln)(aaf且函数在 上的图像不间断 函数 在 上有存在零点e, )(xfae,园区公开课讲师团公开课教案第 10 页 共 17 页另外，当 ， 0，故 在 上单调增， 在ax1,0axf1)( )(xfa1,0)(xf只有一个零点,下面考虑 在 的情况，先证)(xf,1a0)(lnln 11111 2 aaa eeeef为此我们要证明：当 时， ，设 ，则 ，再设xx2)xhxeh2)( exl2)( x当 1 时， -20， 在 上是单调增函数)(xel xel2)(,1故当 2 时， 0xh2 4h从而 在 上是单调增函数，进而当 时， 2)(ex, xe2)(xeh0h即当 时， ，xex2当 0 时，即 e 时，a110)(lnln)( 11111 2 aaa eeef又 0 且函数 在 上的图像不间断，a xf1,函数 在 上有存在零点，又当 时， 0 故)(xf1,aeaxaf)()(在 上是单调减函数函数 在 只有一个零点1 )(xf,1
